单元素养评价(一)(第七章)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.下列各角中,与角终边相同的角是
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选B.与角终边相同的角的集合为,取k=-1,可得α=-.
所以与角终边相同的角是-.
2.(2020·北京高考)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值,按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是
( )
A.3n
B.6n
C.3n
D.6n
【解析】选A.对于内接多边形,将其分割为三角形,如图①,在△OPQ中,O是圆心,半径OP为1,OM为PQ边上的高,∠POQ==,所以在Rt△POM中,∠POM=,sin∠POM==PM=sin,所以边长PQ=2sin,周长6nPQ=12n·sin;
对于外切多边形,将其分割为三角形,如图②,在△OPQ中O是圆心,半径OM为1,OM为PQ边上的高,∠POQ==,所以在Rt△POM中,
∠POM=,tan∠POM==PM=tan,
所以边长PQ=2tan,周长为6nPQ=12n·tan.
综上,2π的近似值为12n·sin+12n·tan=6nsin+tan,
π的近似值为3nsin+tan.
3.(2020·北京高一检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α(0<α<π)的始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆的交点为A,将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB,过点B作x轴的垂线,垂足为Q.记线段BQ的长为y,则函数y=f的图象大致是
( )
【解析】选B.由题可得A,
将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB,
可得B,
即B.
因为线段BQ的长为y,
所以函数y=f=.
4.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是
( )
A.y=cos
x
B.y=2|sin
x|
C.y=cos
D.y=tan
x
【解析】选B.对于A,y=cos
x的最小正周期为2π,所以A不符合题意;
对于B,结合函数图象可知y=2的最小正周期为π,在上单调递减,所以B符合题意;
对于C,y=cos
的最小正周期为4π,所以C不符合题意;
对于D,y=tan
x的最小正周期为π,在区间上单调递增,所以D不符合题意.
综上可知,B为正确选项.
5.已知a=sin
50°,b=cos(-20°),c=tan
60°,则
( )
A.c>b>a
B.c>a>b
C.b>a>c
D.b>c>a
【解析】选A.利用公式得c=tan
60°=>1,
b=cos(-20°)=cos
20°=sin
70°,
因为050°70°<1,所以a6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<,A为其图象的对称中心,B,C是该图象上相邻的最高点和最低点,若BC=4,则f(x)的单调递增区间是
( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
【解析】选C.函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<,A,0为f(x)图象的对称中心,B,C是该图象上相邻的最高点和最低点,若BC=4,
所以+=42,即12+=16,得ω=.
再根据·+φ=kπ,k∈Z,可得φ=-,
所以f(x)=sin.
令2kπ-≤x-≤2kπ+,
求得4k-≤x≤4k+,
故f(x)的单调递增区间为,(k∈Z).
7.函数f(x)=sin
2x和g(x)图象的部分,如图所示.g(x)的图象由f(x)的图象平移而来,C,D分别在g(x)、f(x)图象上,ABCD是矩形,A,B,则g(x)的表达式是
( )
A.g(x)=sin
B.g(x)=sin
C.g(x)=cos
D.g(x)=cos
【解析】选C.由图象知,函数f(x)=sin
2x的图象向右平移×=个单位,
得g(x)=sin
2=sin的图象;
又sin=cos
=cos=cos,
所以g(x)=cos.
8.(2020·广元高一检测)设函数f=
函数g=则方程f=g根的个数是
( )
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】选B.当x≥0时,f(x)=2x,g(x)=x2,它们的图象有两个交点(2,4),(4,16),
当x<0时,f(x)=是周期函数,最小正周期是π,其最大值是1而lg[-(-10)]=1,-π<-10<-3π,
当x<0时,作出函数f(x),g(x)的图象,如图,
由图象可以看出,它们有5个交点,
所以函数f(x),g(x)的图象在R上有7个交点,
即方程f=g有7个根.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.若sin
α=,且α为锐角,则下列选项中正确的有
( )
A.tan
α=
B.cos
α=
C.sin
α+cos
α=
D.sin
α-cos
α=-
【解析】选AB.因为sin
α=,且α为锐角,
所以cos
α===,故B正确,
所以tan
α===,故A正确,
所以sin
α+cos
α=+=≠,故C错误,
所以sin
α-cos
α=-=≠-,故D错误.
10.(2020·济南高一检测)已知f(x)=2cos,x∈R,满足f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值是π的ω的值可以为
( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选AC.由f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值是π,可得=,故=,
所以ω=±.
11.(2020·青岛高一检测)将函数f=cos2x+-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g的图象,则下列关于函数g的说法正确的是
( )
A.最大值为,图象关于直线x=对称
B.图象关于y轴对称
C.最小正周期为π
D.图象关于点对称
【解析】选BCD.将函数f=cos-1的图象向左平移个单位长度,得到
y=cos-1=cos-1
=-cos
2x-1的图象;再向上平移1个单位长度,得到函数g=-cos
2x的图象,对于函数g,它的最大值为,由于当x=时,g=-,不是最值,故g的图象不关于直线x=对称,故A错误;由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故B正确;它的最小正周期为=π,故C正确;
当x=时,g=0,故函数g的图象关于点对称,故D正确.
12.已知函数f=2sin+1,则下列说法正确的是
( )
A.f=2-f
B.f的图象关于x=对称
C.若0D.若x1,x2,x3∈,则f+f>f
【解析】选BD.函数f=2sin+1
A:当x=0时f=f=1,2-f=2-f=1+,故A错;
B:f=2sin+1,当x=时,对应的函数值取得最小值-1,所以B正确;
C:x∈时,2x-∈,所以函数f=2sin+1在不单调,故C错;D:因为x∈,所以2x-∈,所以f∈,又2>3
即2f>f,所以x1,x2,x3∈,f+f>f恒成立,故D正确.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知角α的终边过点P(1,-2),则tan
α= ,= .?
【解析】因为角α的终边过点P(1,-2),
所以tan
α==-2,
可得
====.
答案:-2
14.(2020·太原高一检测)若函数f=cos2x+的图象向左平移φ个单位后所得的函数图象关于x=对称,则φ的最小值为 .?
【解析】函数f=cos的图象向左平移φ个单位后所得的函数为g=cos.由于y=g的图象关于x=对称,所以当x=时,y=g取得最值.可得2×+2φ+=kπ(k∈Z),解得φ=-+,又φ>0.所以φ的最小值为.
答案:
15.(2020·黄冈高一检测)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形,则ω= ,f= .?
【解析】因为f=Acos(ωx+φ)为奇函数且0<φ<π,故φ=,
故f=-Asin
ωx.
因为△EFG是边长为2的等边三角形,
故=2,故T=4,故=4,故ω=.
因为A=,故f=-sinx,
f=-sin=-.
答案: -
16.(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示,O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=,BH∥DG,EF=12
cm,DE=2
cm,A到直线DE和EF的距离均为7
cm,圆孔半径为1
cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.?
【解析】由题意得A到DG的距离与A到FG的距离相等,均为5
cm,所以∠AOH=45°,设O到DE的距离为5t
cm,则由tan∠ODC=得点O到DG的距离为3t
cm,则OAcos
45°+5t=7,OAsin
45°+3t=5,因此2t=2,t=1,OA=2,OH=4,所以图中阴影部分的面积为OA2·+×4×2-π=π+4(cm2).
答案:π+4
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知扇形AOB的周长是80
cm.
(1)若其面积为300
cm2,求扇形的圆心角∠AOB的弧度数.
(2)求扇形AOB面积的最大值及此时圆心角的弧度数.
【解析】设扇形的半径为r,弧长为l,则
(1)?或
所以圆心角α===6或α===.
(2)因为l+2r=80,所以l=80-2r,
所以S=lr=(80-2r)·r=40r-r2
=-r2+40r=-(r-20)2+400,
所以当r=20时,Smax=400,
此时l=80-2r=40,所以α===2.
18.(12分)如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,已知点P的坐标为.
(1)求的值;
(2)若OP⊥OQ,求3sin
β-4cos
β的值.
【解析】(1)由题得cos
α=-,sin
α=,
所以=.
(2)由题得α-β=,所以α=+β,
所以cos
α=-sin
β,sin
α=cos
β,
所以sin
β=,cos
β=,
所以3sin
β-4cos
β=-=-.
19.(12分)(2020·襄阳高一检测)已知α是第三象限角,且f=.
(1)化简f;
(2)若tan=-2,求f的值;
(3)若α=-420°,求f的值.
【解析】(1)根据题意,利用诱导公式化简,
f(α)=
==-cos
α.
(2)因为tan(π-α)=-2,所以tan
α=2,
所以sin
α=2cos
α,则(2cos
α)2+cos2α=1,
解得cos2α=,
因为α是第三象限角,所以cos
α=-,
所以f(α)=.
(3)因为cos(-420°)=cos
420°=cos
60°=,
所以f(α)=-cos
α=-.
20.(12分)(2020·北京高一检测)现给出三个条件:①函数f(x)的图象关于直线x=对称;②函数f(x)的图象关于点对称;③函数f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π.从中选出两个条件补充在下面的问题中,并以此为依据求解问题.
已知函数f(x)=sin(ωx+φ), , .求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.?
【解析】方案一:选①③.由已知,得函数f(x)的最小正周期T=π,所以=π,ω=2,
所以f(x)=sin(2x+φ).
令2x+φ=+kπ,得x=-+,k∈Z.
所以f(x)的对称轴方程为x=-+,k∈Z.
令-+=,k∈Z,由|φ|<,得φ=-.
综上f(x)=sin.
因为x∈,所以2x-∈.
所以当2x-=-或,
即x=-或时,f(x)max=;
当2x-=-,即x=-时,f(x)min=-.
方案二:选②③.由已知,得函数f(x)的最小正周期T=π,所以=π,ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).
所以f=sin=0,
于是-+φ=kπ,k∈Z.由|φ|<,得φ=.
综上f(x)=sin.
因为x∈,所以2x+∈.
所以当2x+=,即x=时,f(x)max=;
当2x+=-,即x=-时,f(x)min=-.
方案三:选①②.由已知可知函数图象的一个对称轴为x=,一个对称中心为,
则,
解得
因为|φ|=<,
则-2当k1+2k2=-1时,φ=-,ω=2-2k2+1=-6k2-1,
因为ω>0,则-6k2-1>0?k2<-,
当k2=-1时,ω=5,则T==,
又因为区间的区间长度为-=>T,所以函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-,显然k2=-2,-3,…时也成立,
当k1+2k2=0时,φ=,ω=2-2k2+1
=-6k2+1,
因为ω>0,则-6k2+1>0?k2<,
当k2=0时,ω=1,则T=2π>,
此时函数f(x)=sin,
则其在区间上有-≤x+≤,
即-≤sin≤,故最大值为,最小值为-,当k2=-1时,ω=7,则T=<,所以函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-,显然k2=-2,-3,…时也成立.综上所述,函数f(x)=sin(ω=-6k-1,k≤-1,k∈Z)和函数f(x)=sin(ω=-6k+1,k≤-1,k∈Z)在区间上的最大值为,最小值为-;函数f(x)=sin在区间上的最大值为,最小值为-.
21.(12分)(2020·潍坊高一检测)如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)把函数y=f(x)的图象的周期扩大为原来的两倍,然后向右平移个单位,再把纵坐标伸长为原来的两倍,最后向上平移一个单位得到函数y=g(x)的图象.若对任意的0≤m≤3,方程|g(kx)|=m在区间上至多有一个解,求正数k的取值范围.
【解析】(1)由题图可知:A=1,=-=,即T=π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ);
又由题图可知是五点作图法中的第三个点.
所以2×+φ=π即φ=,
所以f(x)=sin.
(2)先把函数y=f(x)的图象的周期扩大为原来的两倍,得到函数解析式为y=sin;
向右平移个单位后得到的函数解析式为
y=sin=sin;
纵坐标伸长为原来的两倍后得到的函数解析式为
y=2sin;最后向上平移一个单位得到的函数解析式为g(x)=2sin+1,
所以g(kx)=2sin+1,
函数y=|g(x)|的图象如图所示:
要使方程|g(kx)|=m在区间上至多有一个解,则当y=|g(x)|图象伸长为原来的5倍以上时符合题意.所以022.(12分)如图是半径为1
m的水车截面图,在它的边缘(圆周)上有一定点P,按逆时针方向以角速度rad/s作圆周运动,已知点P的初始位置为P0,且∠xOP0=,设点P的纵坐标y是转动时间t(单位:s)的函数记为y=f
(t).
(1)求f(0),f的值,并写出函数y=f
(t)的解析式;
(2)选用恰当的方法作出函数f
(t),0≤t≤6的简图;
(3)试比较f,f,f的大小(直接给出大小关系,不用说明理由).
【解析】(1)由题意,f(0)=sin=,
f=sin=cos=,函数y=f
(t)=sin,t≥0;
(2)根据题意列表如下;
t
0
1
4
6
t+
π
2π
y
1
0
-1
0
在直角坐标系中描点、连线,作出函数f
(t)在0≤t≤6的简图如图所示;
(3)由函数的图象与性质知f>f>f.
PAGE单元素养评价(一)(第七章)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.下列各角中,与角终边相同的角是
( )
A.-
B.-
C.
D.
2.(2020·北京高考)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值,按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是
( )
A.3n
B.6n
C.3n
D.6n
3.(2020·北京高一检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α(0<α<π)的始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆的交点为A,将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB,过点B作x轴的垂线,垂足为Q.记线段BQ的长为y,则函数y=f的图象大致是
( )
4.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是
( )
A.y=cos
x
B.y=2|sin
x|
C.y=cos
D.y=tan
x
5.已知a=sin
50°,b=cos(-20°),c=tan
60°,则
( )
A.c>b>a
B.c>a>b
C.b>a>c
D.b>c>a
6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<,A为其图象的对称中心,B,C是该图象上相邻的最高点和最低点,若BC=4,则f(x)的单调递增区间是
( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
7.函数f(x)=sin
2x和g(x)图象的部分,如图所示.g(x)的图象由f(x)的图象平移而来,C,D分别在g(x)、f(x)图象上,ABCD是矩形,A,B,则g(x)的表达式是
( )
A.g(x)=sin
B.g(x)=sin
C.g(x)=cos
D.g(x)=cos
8.(2020·广元高一检测)设函数f=
函数g=则方程f=g根的个数是
( )
A.6
B.7
C.8
D.9
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.若sin
α=,且α为锐角,则下列选项中正确的有
( )
A.tan
α=
B.cos
α=
C.sin
α+cos
α=
D.sin
α-cos
α=-
10.(2020·济南高一检测)已知f(x)=2cos,x∈R,满足f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值是π的ω的值可以为
( )
A.-
B.
C.
D.-
11.(2020·青岛高一检测)将函数f=cos2x+-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g的图象,则下列关于函数g的说法正确的是
( )
A.最大值为,图象关于直线x=对称
B.图象关于y轴对称
C.最小正周期为π
D.图象关于点对称
12.已知函数f=2sin+1,则下列说法正确的是
( )
A.f=2-f
B.f的图象关于x=对称
C.若0D.若x1,x2,x3∈,则f+f>f
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知角α的终边过点P(1,-2),则tan
α= ,= .?
14.(2020·太原高一检测)若函数f=cos2x+的图象向左平移φ个单位后所得的函数图象关于x=对称,则φ的最小值为 .?
15.(2020·黄冈高一检测)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形,则ω= ,f= .?
16.(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示,O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=,BH∥DG,EF=12
cm,DE=2
cm,A到直线DE和EF的距离均为7
cm,圆孔半径为1
cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.?
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知扇形AOB的周长是80
cm.
(1)若其面积为300
cm2,求扇形的圆心角∠AOB的弧度数.
(2)求扇形AOB面积的最大值及此时圆心角的弧度数.
18.(12分)如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,已知点P的坐标为.
(1)求的值;
(2)若OP⊥OQ,求3sin
β-4cos
β的值.
19.(12分)(2020·襄阳高一检测)已知α是第三象限角,且f=.
(1)化简f;
(2)若tan=-2,求f的值;
(3)若α=-420°,求f的值.
20.(12分)(2020·北京高一检测)现给出三个条件:①函数f(x)的图象关于直线x=对称;②函数f(x)的图象关于点对称;③函数f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π.从中选出两个条件补充在下面的问题中,并以此为依据求解问题.
已知函数f(x)=sin(ωx+φ), , .求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.?
21.(12分)(2020·潍坊高一检测)如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)把函数y=f(x)的图象的周期扩大为原来的两倍,然后向右平移个单位,再把纵坐标伸长为原来的两倍,最后向上平移一个单位得到函数y=g(x)的图象.若对任意的0≤m≤3,方程|g(kx)|=m在区间上至多有一个解,求正数k的取值范围.
22.(12分)如图是半径为1
m的水车截面图,在它的边缘(圆周)上有一定点P,按逆时针方向以角速度rad/s作圆周运动,已知点P的初始位置为P0,且∠xOP0=,设点P的纵坐标y是转动时间t(单位:s)的函数记为y=f
(t).
(1)求f(0),f的值,并写出函数y=f
(t)的解析式;
(2)选用恰当的方法作出函数f
(t),0≤t≤6的简图;
(3)试比较f,f,f的大小(直接给出大小关系,不用说明理由).
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