模块素养评价(二)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.已知α=-,则下列4个角中与角α终边相同的是
( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选C.与α=-终边相同的角的集合为
{β|β=-+2kπ,k∈Z}.
取k=6时,β=.
所以与角α终边相同的是.
2.已知=(-3,-2),=(m,1),||=3,则·=
( )
A.7
B.-7
C.15
D.-15
【解析】选B.=(-3,-2),=(m,1),||=3,
可得:=(m+3,3),
所以:(m+3)2+9=9,所以m=-3.
所以=(-3,1),
则·=(3,2)·(-3,1)=-7.
3.(2020·青岛高一检测)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E是BC的中点,则·=
( )
A.
B.
C.
D.9
【解析】选D.由题意∠ABC=120°,·
=2×2×cos
120°=-2,
·=(-)·(-)
=(-)·
=-·+=×22-×(-2)+22=9.
4.(2020·成都高一检测)已知cos
α=-,α∈(-π,0),则tan
=
( )
A.
B.7
C.-
D.-7
【解析】选C.因为cos
α=-,α∈(-π,0),
所以α∈,所以sin
α=-,tan
α=,
则tan
===-.
5.已知点A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B在第二象限.记∠AOB=θ且sin
θ=,则=
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.点A是单位圆与x轴正半轴的交点,
点B在第二象限.记∠AOB=θ且sin
θ=,
可得θ∈.cos
θ=-,tan
θ=-,
则=
==-.
6.(2020·南昌高一检测)设向量a=与b=,α∈,且a·b=,则α=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由于a·b=,所以sin
2α-cos
2α=,即cos
2α=-,而2α∈,故2α=,α=.
7.为了得到函数y=sin
3x+cos
3x的图象,可以将函数y=cos
3x的图象( )
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
【解析】选A.y=sin
3x+cos
3x=sin
=sin.
又y=cos
3x=sin
=sin.
所以应向右平移个单位.
【补偿训练】
若函数y=cos的图象向右平移个单位,则得到的图象所对应的函数解析式为( )
A.y=sin
2x
B.y=cos
2x
C.y=-sin
2x
D.y=-cos
2x
【解析】选D.由题意函数
y=cos的图象向右平移个单位,即y=cos=cos
(2x-π)=-cos
2x.
8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金△ABC中,=.根据这些信息,可得sin
234°
=( )
A.
B.-
C.-
D.-
【解析】选C.由题干图可知,∠ACB=72°,
且cos
72°==.
所以cos
144°=2cos
272°-1=-.
则sin
234°=sin
(144°+90°)=cos
144°=-.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.(2020·海南高一检测)下列化简正确的是
( )
A.cos
82°sin
52°-sin
82°cos
52°=
B.sin
15°sin
30°sin
75°=
C.=-
D.cos
215°-sin
215°=
【解析】选CD.A中,cos
82°sin
52°-sin
82°cos
52°
=sin
=sin
=-sin
30°=-,则A错误;
B中,sin
15°sin
30°sin
75°=sin
15°cos
15°
=sin
30°=,则B错误;C中,=tan
=tan
120°=-,则C正确;
D中cos
215°-sin
215°=cos
30°=,则D正确.
10.如图,已知点O为正六边形ABCDEF的中心,下列结论中正确的是
( )
A.++=0
B.(-)·(-)=0
C.(·)=(·)
D.
【解析】选BC.对A,++=2,故A错误;对B,因为-=-=,-=-=,由正六边形的性质知OF⊥AE,所以(-)·(-)=0,故B正确;对C,设正六边形的边长为1,则·=1×1·cos
120°
=-,·=1×1·cos
60°=,
所以(·)=(·)?-
=,式子显然成立,故C正确;
对D,设正六边形的边长为1,|+|=||=1,|+-|=|+-|=|-|=||=,故D错误.
11.(2020·日照高一检测)已知函数f=2sin
xcos
x-2sin
2x,给出下列四个选项,正确的有
( )
A.函数f的最小正周期是π
B.函数f在区间上是减函数
C.函数f的图象关于点对称
D.函数f的图象可由函数y=sin
2x的图象向右平移个单位,再向下平移1个单位得到
【解析】选AB.因为f=2sin
xcos
x-2sin
2x+1-1=sin
2x+cos
2x-1=sin-1,
对A,因为ω=2,所以f的最小正周期T=π,结论正确.
对B,当x∈时,2x+∈,
则f在上是减函数,结论正确.
对C,因为f=-1,得到函数f图象的一个对称中心为,结论不正确.
对D,函数f的图象可由函数y=sin
2x的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到,结论不正确.
12.已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为,则下列结论正确的是
( )
A.e1,e2的夹角是
B.e1,e2的夹角是或
C.|e1+e2|=1或
D.|e1+e2|=1或
【解析】选BC.由题可知,
(e1+λe2)2=λ2+2λe1·e2+1=(λ+e1·e2)2+1-≥1-,因为e1,e2是两个单位向量,且|e1+λe2|的最小值为,所以的最小值为,
则1-=,解得cos
=±,
所以e1与e2的夹角为或,
所以|e1+e2|2=1+2e1·e2+1=2±2×=1或3,
所以|e1+e2|=1或.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.若扇形的周长是
16
cm,圆心角是2
rad,则扇形的面积是 cm2.?
【解析】设扇形半径为r
cm,弧长为l
cm,
则l=2r,
16=2r+2r,所以r=4,则扇形面积为
S=×2×r2=16(cm2).
答案:16
14.(2020·上海高一检测)若sin
=,且sin
θ<0,则θ是第 象限角.?
【解析】由二倍角公式得cos
θ=1-2sin
2
=1-2×=-<0,
又因为sin
θ<0,因此θ是第三象限角.
答案:三
15.已知2cos
2x+sin
2x=Asin
(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .?
【解析】因为2cos
2x+sin
2x=1+cos
2x+sin
2x
=sin+1=Asin
(ωx+φ)+b,
所以A=,b=1.
答案: 1
16.(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f(x)=sin
x+有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .?
【解析】对于①,由sin
x≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},故定义域关于原点对称,由f(-x)
=sin(-x)+=-sin
x-=-f(x),
所以函数为奇函数,图象关于原点对称,
①错②对.
对于③,由于f(π-x)=sin(π-x)+
=sin
x+=f(x),
所以f(x)关于x=对称,③对.
对于④,令t=sin
x,t∈[-1,0)∪(0,1],由对勾函数g(t)=t+的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④错.
答案:②③
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知角θ的终边经过点P(-3a,4a).(a≠0)
(1)当a=1时,求sin
θ-2cos
θ的值.
(2)若sin
θ<0,求3tan
θ+5cos
θ的值.
【解析】(1)a=1时,P,
此时r===5.
再根据sin
θ=,cos
θ=,
求出sin
θ=,
cos
θ=-,进而得出sin
θ-
2cos
θ=-2×=2.
(2)由sin
θ<0可得sin
θ=-,由此得出a<0,
r=-5a.再根据tan
θ=,
cos
θ=,进而得出
tan
θ==-,cos
θ==,进而得出
3tan
θ+5cos
θ=3×+5×=-1.
18.(12分)在平行四边形
ABCD中,=a,=b,=,=.
(1)用a,b表示
.
(2)若
|a|=1,|b|=4,∠DAB=60°,
求
·的值.
【解析】(1)=-=-
=-+=-a+b.
(2)因为|a|=1,|b|=4,∠DAB=60°,
所以
a·b=|a|·|b|·cos
60°=2.
由题干图可得:
=+=a+b,
所以
·=·
=a2+a·b-b2=+-=-4.
19.(12分)(2020·岳阳高一检测)已知向量a=,b=.
(1)已知a∥b且x∈,求x;
(2)若f(x)=a·b,写出f(x)的单调递减区间.
【解析】(1)因为a∥b,
所以cos
×sin
-sin
cos
=0,即sin
x=0,
因为x∈,所以x=0.
(2)f(x)=a·b=cos
cos
+sin
sin
=cos
x,f(x)的单调减区间为,k∈Z.
20.(12分)已知函数f(x)=sin
(π-ωx)cos
ωx+cos
2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最小值.
【解析】(1)因为f(x)=sin
(π-ωx)cos
ωx+cos
2ωx.
所以f(x)=sin
ωxcos
ωx+
=sin
2ωx+cos
2ωx+
=sin
+.
由于ω>0,依题意得=π,所以ω=1.
(2)由(1)知f(x)=sin
+,
所以g(x)=f(2x)=sin
+.
当0≤x≤时,≤4x+≤,
所以≤sin
≤1.
因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间上的最小值为1.
21.(12分)向量a=,b=(sin
x,cos
2x),x∈R,设函数
f(x)=a·b.
(1)求
f(x)
的表达式并化简.
(2)写出
f(x)
的最小正周期并在下边直角坐标中画出函数
f(x)在区间
[0,π]
内的简图.
(3)若方程
f(x)-m=0
在
[0,π]
上有两个根
α,β,求m的取值范围及
α+β
的值.
【解析】(1)f=sin
2x-cos
2x
=sin
.
(2)
f(x)
的最小正周期
T=π.
(3)由图可知,当
m∈时,=,
即
α+β=,当
m∈时,=,
即
α+β=,所以
α+β=或.
22.(12分)已知函数
f(x)=4sin
2·sin
x+(cos
x+sin
x)(cos
x-
sin
x)-1.
(1)求满足
f(x)≥1
的实数
x
的取值集合.
(2)当
a≥-2
时,若函数
g(x)=f(2x)+a·f(x)-a·f-x-a-1
在-,的最大值为2,求实数
a
的值.
【解析】(1)
f(x)=2·sin
x+cos
2x-sin
2x-1=(2+2sin
x)
sin
x+1-2sin
2x-1=2sin
x,由
f(x)=2sin
x≥1,
得
x∈,(k∈Z).
(2)g(x)=sin
2x+asin
x-acos
x-a-1,
令
sin
x-cos
x=t,则
sin
2x=1-t2,
所以y=1-t2+at-a-1=-t2+at-a
=+-a.
因为
t=sin
x-cos
x=sin
,由
-≤x≤
得
-≤x-≤,所以-
≤t≤1.
①当
-≤≤1,即
-2≤a≤2
时,
ymax=-a,由
-a=2,得a2-2a-8=0
解得
a=-2
或
a=4
(舍),
②当
>1,即
a>2
时,在t=1处ymax=-1,
由
-1=2
得
a=6.因此
a=-2
或
a=6.
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(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.已知α=-,则下列4个角中与角α终边相同的是
( )
A.
B.
C.
D.-
2.已知=(-3,-2),=(m,1),||=3,则·=
( )
A.7
B.-7
C.15
D.-15
3.(2020·青岛高一检测)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E是BC的中点,则·=
( )
A.
B.
C.
D.9
4.(2020·成都高一检测)已知cos
α=-,α∈(-π,0),则tan
=
( )
A.
B.7
C.-
D.-7
5.已知点A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B在第二象限.记∠AOB=θ且sin
θ=,则=
( )
A.
B.
C.-
D.-
6.(2020·南昌高一检测)设向量a=与b=,α∈,且a·b=,则α=
( )
A.
B.
C.
D.
7.为了得到函数y=sin
3x+cos
3x的图象,可以将函数y=cos
3x的图象( )
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
【补偿训练】
若函数y=cos的图象向右平移个单位,则得到的图象所对应的函数解析式为( )
A.y=sin
2x
B.y=cos
2x
C.y=-sin
2x
D.y=-cos
2x
8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金△ABC中,=.根据这些信息,可得sin
234°
=( )
A.
B.-
C.-
D.-
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.(2020·海南高一检测)下列化简正确的是
( )
A.cos
82°sin
52°-sin
82°cos
52°=
B.sin
15°sin
30°sin
75°=
C.=-
D.cos
215°-sin
215°=
10.如图,已知点O为正六边形ABCDEF的中心,下列结论中正确的是
( )
A.++=0
B.(-)·(-)=0
C.(·)=(·)
D.
11.(2020·日照高一检测)已知函数f=2sin
xcos
x-2sin
2x,给出下列四个选项,正确的有
( )
A.函数f的最小正周期是π
B.函数f在区间上是减函数
C.函数f的图象关于点对称
D.函数f的图象可由函数y=sin
2x的图象向右平移个单位,再向下平移1个单位得到
12.已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为,则下列结论正确的是
( )
A.e1,e2的夹角是
B.e1,e2的夹角是或
C.|e1+e2|=1或
D.|e1+e2|=1或
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.若扇形的周长是
16
cm,圆心角是2
rad,则扇形的面积是 cm2.?
14.(2020·上海高一检测)若sin
=,且sin
θ<0,则θ是第 象限角.?
15.已知2cos
2x+sin
2x=Asin
(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .?
16.(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f(x)=sin
x+有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .?
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知角θ的终边经过点P(-3a,4a).(a≠0)
(1)当a=1时,求sin
θ-2cos
θ的值.
(2)若sin
θ<0,求3tan
θ+5cos
θ的值.
18.(12分)在平行四边形
ABCD中,=a,=b,=,=.
(1)用a,b表示
.
(2)若
|a|=1,|b|=4,∠DAB=60°,
求
·的值.
19.(12分)(2020·岳阳高一检测)已知向量a=,b=.
(1)已知a∥b且x∈,求x;
(2)若f(x)=a·b,写出f(x)的单调递减区间.
20.(12分)已知函数f(x)=sin
(π-ωx)cos
ωx+cos
2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最小值.
21.(12分)向量a=,b=(sin
x,cos
2x),x∈R,设函数
f(x)=a·b.
(1)求
f(x)
的表达式并化简.
(2)写出
f(x)
的最小正周期并在下边直角坐标中画出函数
f(x)在区间
[0,π]
内的简图.
(3)若方程
f(x)-m=0
在
[0,π]
上有两个根
α,β,求m的取值范围及
α+β
的值.
22.(12分)已知函数
f(x)=4sin
2·sin
x+(cos
x+sin
x)(cos
x-
sin
x)-1.
(1)求满足
f(x)≥1
的实数
x
的取值集合.
(2)当
a≥-2
时,若函数
g(x)=f(2x)+a·f(x)-a·f-x-a-1
在-,的最大值为2,求实数
a
的值.
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