资源详情

2021_2022学年高中数学第三章不等式课时素养评价含解析（8份打包）北师大版必修5

文档属性

名称	2021_2022学年高中数学第三章不等式课时素养评价含解析（8份打包）北师大版必修5
格式	zip
文件大小	4.6MB
资源类型	教案
版本资源	北师大版
科目	数学
更新时间	2021-03-15 20:43:52

点击下载

文档简介

不
等
关
系
(20分钟　35分)
1.设x(　　)
A.x2B.x2>ax>a2
C.x2D.x2>a2>ax
【解析】选B.因为x2-ax=x(x-a)>0,所以x2>ax.
又ax-a2=a(x-a)>0,所以ax>a2,所以x2>ax>a2.
【补偿训练】
已知a(　　)
A.>　　B.ab<1　　C.>1　　D.a2>b2
【解析】选D.由a所以a2>b2.
2.(2020·九江高一检测)如果a(　　)
A.<
B.abC.-ab<-a2
D.-<-
【解析】选D.由于a,故A不正确.可得ab=2,b2=1,所以ab>b2,故B不正确.可得-ab=-2,-a2=-4,所以-ab>-a2,故C不正确.对于D,由a-b>0,故-<-成立.
3.(2020·北京高一检测)若-1≤x(　　)
A.[-2,2]
B.[-2,0)
C.(0,2]
D.(-2,2)
【解析】选B.因为-1≤x4.当x>2时,x2与2x的大小关系为　　　　.?
【解析】x2-2x=x(x-2),因为x>2,故x(x-2)>0,即x2>2x.
答案:x2>2x
5.对于实数a,b,c,有下列结论:
①若a>b,则ac②若ac2>bc2,则a>b;
③若aab>b2;
④若a>b,>,则a>0,b<0.其中正确结论的序号是　　　　.?
【解析】①c的正、负或是否为零未知,因而判断ac与bc的大小关系缺乏依据,故不正确.
②由ac2>bc2知c≠0,所以c2>0,所以a>b,故正确.
③?a2>ab,?ab>b2,所以a2>ab>b2.
故正确.
④a>b?a-b>0,>?->0?>0.
因为a-b>0,所以b-a<0,所以ab<0.
又因为a>b,所以a>0,b<0,故正确.
答案:②③④
6.某中学为加强现代信息技术教学,拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房,每个计算机房只配置1台教师用机,若干台学生用机.其中初级机房教师用机每台8
000元,学生用机每台3
500元;高级机房教师用机每台11
500元,学生用机每台7
000元.已知两机房购买计算机的总钱数相同,且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元.则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机?
【解析】设该校拟建的初级机房有x台计算机、高级机房有y台计算机,
则
解得
因为x,y为整数,所以　或
即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56、28或58、29台计算机.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2020·哈尔滨高一检测)若a,b是任意实数,且a>b,则
(　　)
A.a2>b2
B.<1
C.a-b>1
D.<
【解析】选D.令a=1,b=-2,则a21,故B错误;令a=2,b=,则a-b<1,故C错误;对于选项D,指数函数y=为R上的减函数,因为a>b,所以<正确.
2.如果a>0>b且a+b>0,那么以下不等式正确的个数是
(　　)
①<;
②>;
③a3b④a3⑤a2bA.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选B.由a>0>b知①不正确,②正确;a3b-ab3=ab(a+b)·(a-b)<0,故③正确;a3-ab2=a(a+b)(a-b)>0,故④不正确;a2b-b3=b(a+b)(a-b)<0,故⑤正确.
3.有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c(　　)
A.d>b>a>c
B.b>c>d>a
C.d>b>c>a
D.c>a>d>b
【解析】选A.因为a+b=c+d,a+d>b+c,所以a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c,所以bb>a>c.
4.(2020·南昌高一检测)已知实数a,b满足1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,则4a-2b的取值范围是
(　　)
A.[3,12]
B.(3,12)
C.(5,10)
D.[5,10]
【解析】选D.设4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
所以,解得,
因为1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,
所以3≤3(a-b)≤6,所以5≤3(a-b)+(a+b)≤10,
即5≤4a-2b≤10.
【误区警示】本题容易犯的错误是将条件式子中a,b范围求出,进而求4a-2b范围.
5.已知c>1,a=-,b=-,则正确的结论是
(　　)
A.a>b
B.aC.a=b
D.a≥b
【解析】选B.由题意得a=-=,b=-=,c>1,显然+>+>0,所以<,即a【光速解题】设函数f(x)=-,则f(x)=为减函数,故f(c)二、填空题(每小题5分,共15分)
6.如果a>b,下列不等式:
①a3>b3;②<;③3a>3b;④lg
a>lg
b.
其中恒成立的是　　　　(填序号).?
【解析】①a3-b3=(a-b)(a2+b2+ab)
=(a-b)·>0;
②a=-1,b=-2时,=1,=结论不成立;
③因为y=3x是增函数,a>b,所以3a>3b;
④当a,b至少有一个是非正值时,lg
a>lg
b,显然不成立.
答案:①③
【补偿训练】
已知a,b∈R,且ab≠0,则ab-a2　　　　b2(填“<”“>”或“=”).?
【解析】因为ab-a2-b2=--b2<0,
所以ab-a2答案:<
7.如果30【解析】因为2又因为30即18答案:(18,32)
8.(2020·孝感高一检测)甲、乙两人同时从寝室出发去教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同(步行速度与跑步速度不相等),则　　　　先到教室.(填“甲”或“乙”)?
【解析】设甲用时间为T,乙用时间为2t,步行速度为a,跑步速度为b,距离为s
所以T=+=,ta+tb=s,
所以2t=所以T-2t=-=s×=s·>0,所以乙先到教室.
答案:乙
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”.乙车队说:“你们买团体票,按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.
【解析】设该单位有职工n人(n∈N
),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,
则y1=x+x(n-1)=x+xn,y2=xn,
所以y1-y2=x+xn-xn=x-xn
=x.当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1y2.
因此,当单位人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.
10.甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食,且两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购粮1
000
kg,乙每次购粮用去
1
000元钱,谁的购粮方式更合算?
【解析】设两次粮食的价格分别为a元/kg与b元/kg,且a≠b.则甲采购员两次购粮的平均单价为=元/kg,乙采购员两次购粮的平均单价为=元/kg.
因为-==,又a+b>0,
a≠b,(a-b)2>0,所以>0,即>.
所以乙采购员的购粮方式更合算.
1.(2020·北京高一检测)如图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口A,B,C,的机动车辆数如图所示,图中x1,x2,x3分别表示该时
段单位时间通过路段,,的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则
(　　)
A.x1>x2>x3
B.x1>x3>x2
C.x2>x3>x1
D.x3>x2>x1
【解题指南】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系,即可比较出大小.
【解析】选C.依题意,有x1=50+x3-55=x3-5,
所以x1同理,x2=30+x1-20=x1+10,所以x1同理,x3=30+x2-35=x2-5,所以x3所以x12.设a>0,a≠1,t>0,比较logat与loga的大小.
【解析】logat=loga,
因为-==,
所以当t=1时,=;
当t>0且t≠1时,>.
①因为当a>1时,y=logax是增函数,
所以当t>0且t≠1时,loga>loga=logat.
当t=1时,loga=logat.
②因为当0所以当t>0且t≠1时,loga当t=1时,loga=logat.
综上知,当t=1时,loga=logat;
当t>0且t≠1时,若a>1,则loga>logat,
若0PAGE一元二次不等式的解法
(20分钟　35分)
1.(2020·柳州高一检测)不等式9-x2<0的解集为
(　　)
A.{x|x>3}
B.{x|x<-3}
C.{x|-3D.{x|x<-3或x>3}
【解析】选D.将不等式9-x2<0变形为x2-9>0,即(x-3)(x+3)>0,解得x<-3或x>3,因此不等式9-x2<0的解集为{x|x<-3或x>3}.
2.已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是
(　　)
A.{x|x>5a或x<-a}
B.{x|x<5a或x>-a}
C.{x|-aD.{x|5a【解析】选B.因为x2-4ax-5a2>0,所以(x-5a)(x+a)>0.因为a<-,所以5a<-a.所以不等式的解集为{x|x>-a或x<5a}.
3.(2020·阜新高一检测)一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b的值是
(　　)
A.10
B.-10
C.14
D.-14
【解析】选D.根据题意可知ax2+bx+2=0的两根为-和,故解得a=-12,b=-2,故a+b=-14.
4.若关于x的不等式x2-3x+t<0的解集为{x|1【解析】因为不等式x2-3x+t<0的解集为{x|1所以解得.所以t+m=4.
答案:4
5.若关于x的不等式ax2+ax+a-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是　　　　.?
【解析】若关于x的不等式ax2+ax+a-1<0的解集为R,则当实数a=0时,满足条件;
当实数a≠0时,则有?,
解得a<0.综上所述,a≤0.
答案:
6.解不等式0≤x2-x-2≤4.
【解析】原不等式等价于
解①得x≤-1或x≥2;解②得-2≤x≤3.
所以原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥2}∩{x|-2≤x≤3}={x|-2≤x≤-1或
2≤x≤3}.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2020·全国Ⅰ卷)设集合A=,B={x|2x+a≤0},且A∩B=,则a=
(　　)
A.-4
B.-2
C.2
D.4
【解析】选B.解一元二次不等式x2-4≤0可得:
A=,
解一元一次不等式2x+a≤0可得B=.
由于A∩B=,故-=1,解得:a=-2.
2.(2020·西安高一检测)若关于x的不等式ax2-2x+c>0的解集为,则ac=
(　　)
A.-24
B.24
C.6
D.-6
【解析】选A.依题意得-,为方程ax2-2x+c=0的两个实数根,由根与系数的关系,得
解得故ac=-24.
3.(2020·长沙高一检测)若关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R)的解集为,则a的取值范围是
(　　)
A.a<0或a>1
B.a>1
C.0D.a<0
【解析】选B.不等式ax2-(a+1)x+1<0可化为(ax-1)(x-1)<0,由不等式ax2-(a+1)x+1<0的解集为,得a>0,方程(ax-1)(x-1)=0的两根为x1=1,x2=且<1故a的取值范围为a>1.
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a<0时,不等式ax2+bx+c≥0的解集为
(　　)
A.{x|x<-1或x>2}
B.{x|x≤-1或x≥2}
C.{x|-1D.{x|-1≤x≤2}
【解析】选D.因为一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a<0时,函数y=ax2+bx+c=0的图像开口向下,所以不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-1≤x≤2}.
【误区警示】如果不能灵活运用“三个二次”内在关系,本题将无法解决.
5.不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.[-1,4]
B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞)
D.[-2,5]
【解析】选A.x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.
【光速解题】选A.由x2-2x+5=(x-1)2+4知其最小值为4,可代值验证.当a=5,a2-3a=52-3×5=10,故不成立.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2020·成都高一检测)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则a的取值范围是　　　　.?
【解题指南】不等式等价转化为(x-1)(x-a)<0,当a>1时,得1【解析】关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0,
不等式可变形为(x-1)(x-a)<0,
当a>1时,得1答案:[-3,-2)∪(4,5]
【补偿训练】
(2020·厦门高一检测)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=　　　　.?
【解析】因为x2-2ax-8a2<0,所以(x+2a)(x-4a)<0,因为a>0,所以-2a因为x2-x1=15,所以4a-(-2a)=6a=15,解得a=.
答案:
7.已知函数f(x)=则不等式f(x)-x≤2的解集是　　　　.?
【解析】当x≤0时,原不等式等价于2x2+1-x≤2,所以-≤x≤0;当x>0时,原不等式等价于-2x-x≤2,所以x>0.综上所述,
原不等式的解集为{x|x≥-}.
答案:{x|x≥-}
8.若对于实数x,当n≤x【解析】原不等式可化为(2[x]-3)(2[x]-15)<0,解得<[x]<.因为[x]∈N+,所以2≤[x]≤7,因此原不等式的解集为[2,8).
答案:[2,8)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0.
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.
【解析】(1)因为f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,
所以f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3,
所以原不等式可化为a2-6a-3<0,
解得3-2所以原不等式的解集为{a|3-2(2)f(x)>b的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,
等价于解得
10.(2020·宜春高一检测)(1)若关于x的不等式ax2-3x+2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b},求a,b的值;
(2)解关于x的不等式ax2-3x+2>5-ax(a∈R).
【解析】(1)不等式ax2-3x+2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b},所以a>0,1,b是一元二次方程ax2-3x+2=0的两个实数根,
所以
解得a=1,b=2.
(2)不等式ax2-3x+2>5-ax化为ax2+(a-3)x-3>0,即(ax-3)(x+1)>0.
当a=0时,化为x+1<0,解得x<-1,其解集为(-∞,-1),当a>0时,>-1,解得x<-1或x>,其解集为(-∞,-1)∪,
当-3当a<-3时,>-1,解得-1综上所述:当a=0时,解集为(-∞,-1);
当a>0时,解集为(-∞,-1)∪;
当-3当a=-3时,解集为?.
当a<-3时,解集为.
1.(2020·襄阳高一检测)已知函数f(x)=(x-1)(ax+b)为定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,则af(3-x)<0的解集是
(　　)
A.(2,4)
B.(-∞,2)∪(4,+∞)
C.(-1,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】选A.f(x)=(x-1)(ax+b)=ax2+(b-a)x-b,
若f(x)是偶函数,则b-a=0,即a=b,
此时f(x)=ax2-a=a(x2-1),
因为f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以a<0,
则af(3-x)<0等价为a2[(3-x)2-1]<0,
即(x-3)2<1,得-1即不等式的解集为(2,4).
2.已知不等式mx2+nx-<0的解集为{x|x>2或x<-}.
(1)求m,n的值.
(2)解关于x的不等式:(2a-1-x)(x+m)>0,其中a是实数.
【解析】(1)由不等式mx2+nx-<0的解集为
,
得方程mx2+nx-=0的两根为-,2,且m<0,
则解得m=-1,n=.
(2)由(1)知,不等式可化为(2a-1-x)(x-1)>0,
即[x-(2a-1)](x-1)<0,而方程[x-(2a-1)](x-1)=0的两根为x1=2a-1,x2=1,
①当2a-1<1,即a<1时,原不等式的解集为{x|2a-1②当2a-1=1,即a=1时,原不等式的解集为?;
③当2a-1>1,即a>1时,原不等式的解集为{x|1综上,当a>1时,原不等式的解集为{x|1当a=1时,原不等式的解集为?,
当a<1时,原不等式的解集为{x|2a-1PAGE一元二次不等式的应用
(20分钟　35分)
1.不等式≤0的解集为
(　　)
A.{x|x<1或x≥3}
B.{x|1≤x≤3}
C.{x|1D.{x|1【解析】选C.由≤0,得
解得1【补偿训练】
不等式组的解集为
(　　)
A.{x|-1B.{x|0C.{x|0D.{x|-1【解析】选C.由得
所以02.(2020·徐州高一检测)不等式<1的解集是
(　　)
A.(-∞,3)
B.(2,+∞)
C.(-∞,2)∪(3,+∞)
D.(2,3)
【解析】选C.根据题意-1<0,即<0,整理得(x-2)(x-3)>0,解得x<2或x>3.
故该不等式的解集为(-∞,2)∪(3,+∞).
3.(2020·宝鸡高一检测)不等式x>的解集是
(　　)
A.(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
【解析】选C.因为x>,所以x->0,
即>0即x(x2-1)=x(x+1)(x-1)>0,
由图可得解集为(-1,0)∪(1,+∞).
4.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则这批台灯的销售单价(单位:元)的取值范围是(　　)
A.[10,16)
B.[12,18)
C.[15,20)
D.[10,20)
【解析】选C.设这批台灯的销售单价为x元,
则[30-(x-15)×2]x>400,即x2-30x+200<0,
因为方程x2-30x+200=0的两根为x1=10,x2=20,
所以解x2-30x+200<0得10又因为x≥15,所以15≤x<20,
因此,应将这批台灯的销售单价制定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.
5.(2020·黄山高一检测)不等式x2-2x+5>a2对x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.?
【解析】由于x=1是y=x2-2x+5的对称轴,所以当x>1时,x2-2x+5>12-2+5=4,所以a2≤4,解得-2≤a≤2.
答案:[-2,2]
6.解关于x的不等式<0.
【解析】原不等式等价于ax(x+1)<0.
当a>0时,ax(x+1)<0,即x(x+1)<0,
解得-1当a=0时,原不等式的解集为?;
当a<0时,ax(x+1)<0,
即x(x+1)>0,解得x<-1或x>0,
所以解集为{x|x<-1或x>0}.
综上可知,
当a>0时,原不等式的解集为{x|-1当a=0时,原不等式的解集为?;
当a<0时,原不等式的解集为{x|x<-1或x>0}.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若00的解集是
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为00的解集为.
2.(2020·无锡高一检测)方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内,则实数a的取值范围为
(　　)
A.1B.a<1或a>
C.-1D.-【解析】选A.令f(x)=x2-2ax+1,因为方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内,
所以即解得13.若关于x的不等式x2-4x-2-a≥0在区间[1,4]内有解,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2]
B.[-2,+∞)
C.[-6,+∞)
D.(-∞,6]
【解析】选A.不等式x2-4x-2-a≥0在区间[1,4]内有解等价于a≤(x2-4x-2)max,
令y=x2-4x-2,x∈[1,4],因为y=(x-2)2-6在[1,2]上递减,在(2,4]上递增且f(1)=-54.(2020·阜阳高一检测)若关于x的不等式x2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有4个正整数,则实数m的取值范围为
(　　)
A.(6,7]
B.(6,7)
C.[6,7)
D.(6,+∞)
【解析】选A.原不等式可化为(x-2)(x-m)<0.
若m≤2,则不等式的解为m所以m>2;所以不等式的解是2所以不等式的解集中4个正整数分别是3,4,5,6,故实数m的取值范围为(6,7].
【误区警示】本题找出四个正整数为3,4,5,6之后,易错选B,要特别注意端点值的选取.
5.(2020·安顺高一检测)已知集合A={x|x2-ax-a-1>0},U=R且集合Z∩(UA)中只含有一个元素,则实数a的取值范围是
(　　)
A.(-3,-1)
B.[-2,-1)
C.(-3,-2]
D.[-3,-1]
【解析】选A.因为A={x|x2-ax-a-1>0},
所以UA={x|x2-ax-a-1≤0},
又x2-ax-a-1≤0可变为(x-a-1)(x+1)≤0.
当a+1=-1时,(x-a-1)(x+1)≤0,
即(x+1)2≤0,可得x=-1,此时a=-2满足题意;
当a+1>-1,即a>-2时,(x-a-1)(x+1)≤0的解满足-1≤x≤a+1,必有a+1<0,
解得a<-1,此时实数a的取值范围是(-2,-1);
当a+1<-1,即a<-2时,(x-a-1)(x+1)≤0的解满足a+1≤x≤-1,必有a+1>-2,
解得a>-3,此时实数a的取值范围是(-3,-2).
综上可得实数a的取值范围是(-3,-1).
【光速解题】选A.x2-ax-a-1≤0可变为(x-a-1)(x+1)≤0,方程(x-a-1)(x+1)=0有两根-1,a+1,集合Z∩(UA)中只有一个元素-1,则-2二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2020·济南高一检测)不等式(x2-4)(x-6)2≤0的解集是　　　　.?
【解析】因为(x2-4)(x-6)2≤0,
所以(x-2)(x+2)(x-6)2≤0.因为(x-6)2≥0,
所以①当(x-6)2=0,即x=6时不等式成立;
②当(x-6)2>0,即x≠6时,(x-2)(x+2)≤0,
解得-2≤x≤2.综上可知该不等式的解集为{x|-2≤x≤2或x=6}.
答案:{x|-2≤x≤2或x=6}
【补偿训练】
(2020·北海高一检测)不等式≥0的解集为　　　　.?
【解析】由题意可得
①式可化为(x-2)(x+2)(x+1)2≥0,利用穿针引线法可解得-2≤x≤或x≥2.
解②可得x≠±2.
综上知该不等式的解集为,
即∪(2,+∞).
答案:∪(2,+∞)
7.不等式>0的解集为　　　　.?
【解析】原不等式可化为(x+1)(x+2)2(x+3)(x+4)>0,根据穿针引线法,解集为{x|-4-1}.
答案:{x|-4-1}
8.(2020·镇江高一检测)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,若关于x的不等式f(x)<0的解集是(-∞,-1)∪(0,2),则的值为　　　　.?
【解析】因为f(x)=ax3+bx2+cx=x(ax2+bx+c),且关于x的不等式f(x)<0的解集是(-∞,-1)∪(0,2),
所以ax2+bx+c=0的两根为-1和2,
所以
整理得b=-a且c=-2a,所以==-3.
答案:-3
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在一个限速40
km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12
m,乙车的刹车距离略超过10
m.又知甲,乙两种车型的刹车距离S
m与车速x
km/h之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,
S乙=0.05x+0.005x2.问谁应负超速行驶主要责任.
【解析】由题意列出不等式S甲=0.1x甲+0.01>12,
S乙=0.05x乙+0.005>10.
分别求解,得x甲<-40或x甲>30,x乙<-50或x乙>40.
由于x>0,从而得x甲>30
km/h,x乙>40
km/h.
经比较知乙车超过限速,应负主要责任.
10.已知不等式x2+px+1>2x+p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立,求x的取值范围.
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立,求p的取值范围.
【解析】(1)不等式化为:(x-1)p+x2-2x+1>0,
令f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,
则f(p)的图像是一条直线.又因为|p|≤2,
所以-2≤p≤2,于是得:
即
即所以x>3或x<-1.
故x的取值范围是(-∞,-1)或(3,+∞).
(2)不等式可化为(x-1)p>-x2+2x-1,
因为2≤x≤4,所以x-1>0.
所以p>=1-x.
由于不等式当2≤x≤4时恒成立,
所以p>(1-x)max.而2≤x≤4,
所以(1-x)max=-1,
故p的取值范围是(-1,+∞).
1.不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为　　　　.?
【解析】因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对于任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立,
由二次不等式的性质可得,
Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,
所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.
答案:[-8,4]
2.(2020·贺州高一检测)已知不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立?并说明理由.
(2)若不等式对任意x∈[0,1]恒成立,求实数m的取值范围.
(3)若对于m∈[-2,2],不等式恒成立,求实数x的取值范围.
【解析】(1)当m=0时,-2x+1<0,不可能恒成立;当m<0时,Δ=4-4m(-m+1)=4m2-4m+4<0,
即m2-m+1=+<0,不存在.
因此不存在实数m使不等式对任意x∈R恒成立.
(2)令f(x)=mx2-2x-m+1.
当m>0时,
解得m>1,符合题意.
当m=0时,-2x+1<0,不成立;
当m<0时,因为抛物线对称轴x=<0,抛物线开口向下,所以只需f(0)=-m+1<0,m>1,与m<0矛盾.
综上所述m>1.
(3)设f(m)=(x2-1)m+(1-2x).
①当x2-1≠0,即x≠±1时,要使当|m|≤2时,
f(m)<0恒成立有
即
得
所以②当x2=1即x=±1时,经检验x=1满足题意.
由①②可知所求的x的取值范围是.
PAGE基本不等式
(20分钟　35分)
1.设0(　　)
A.logab+logba≥2
B.logab+logba≥-2
C.logab+logba≤-2
D.logab+logba>2
【解析】选C.因为0所以logab<0,logba<0,-logab>0,-logba>0,
所以(-logab)+(-logba)
=(-logab)+≥2,
当且仅当ab=1时,等号成立,
所以logab+logba≤-2.
【补偿训练】
(2020·宁波高一检测)下列不等式①a2+1>2a;②x2+≥1;③≥2;
④sin2x+≥4,其中恒成立的不等式的个数是
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.①因为a2+1-2a=(a-1)2≥0,
所以a2+1≥2a,故不恒成立;
②因为x2+=x2+1+-1≥2-1=1,
当x2+1=1时等号成立,所以x2+≥1正确;
③若a<0,b<0,则<0,故不恒成立;
④令t=sin2x∈(0,1],y=t+∈[5,+∞),
故原不等式sin2x+≥4恒成立,所以恒成立的有2个.
2.已知等比数列{an}中各项均为正数,公比q≠1,设P=,Q=,则P与Q的大小关系是
(　　)
A.PB.P>Q
C.P=Q
D.无法确定
【解析】选B.由等比数列的性质得Q==≤=P,又a2≠a9,故等号不成立,则P>Q.
3.已知m>0,n>0,α=m+,β=n+,m,n的等差中项为1,则α+β的最小值为(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选B.由已知得m+n=2,所以α+β=m++n+=(m+n)+=2+.因为m>0,n>0,所以mn≤=1,所以α+β≥2+=4,当且仅当m=n=1时等号成立.所以α+β的最小值为4.
4.设正数a,使a2+a-2>0成立,若t>0,则logatloga(填“>”“≥”“≤”或“<”).
【解析】因为a2+a-2>0,所以a<-2或a>1,
又a>0,所以a>1,因为t>0,所以≥,
所以loga≥loga=logat.
答案:≤
5.若a<1,则a+与-1的大小关系是　　　　.?
【解析】因为a<1,即a-1<0,
所以-(a-1+)=(1-a)+≥
2=2.即a+≤-1.
答案:a+≤-1
6.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.
证明:(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1.
【证明】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ac.
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.
所以3(ab+bc+ac)≤1,即ab+bc+ac≤.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2020·宣城高一检测)下列不等式一定成立的是
(　　)
A.<1(x∈R)
B.x+≥2(x≠0)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.lg>lg
x(x>0)
【解析】选C.对于A:因为x2≥0,所以≤1,故A不成立;对于B:当x>0时,
x+≥2=2,当且仅当x==1时取等号;当x<0时,
-x>0,x+=-≤-2=-2,当且仅当-x==1时取等号;故B错误;对于C:因为(|x|-1)2≥0,所以x2+1≥2|x|,故C正确.
对于D:lg>lg
x(x>0)等价于x2+>x,即>0,故得x≠,而题设x>0,当x=时不成立.故D错误.
2.若<<0,则下列不等式:①a+b|b|;③a2中,正确的不等式是
(　　)
A.①④
B.②③
C.①②
D.③④
【解析】选A.由于<<0,
所以b②|b|>|a|,所以②错误.③错误.
④由于b1,有基本不等式得+>2=2,所以④正确.
综上所述,正确不等式的序号是①④.
3.已知a>0,b>0,给出下列三个不等式:①≤;②≤;
③+≥a+b.其中正确的个数是
(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选D.依题意,因为a>0,b>0,
所以≥≥≥,
当且仅当a=b时等号成立,所以①②正确,
因为+===
≥=a+b,
当且仅当a=b时等号成立,所以③正确.
4.(2020·滨州高一检测)小王从甲地到乙地前后半程的时速分别为a和b(a(　　)
A.aB.v=
C.D.v=
【解析】选A.设甲地到乙地的总路程为s
所以v==,
因为a>0,b>0,所以a+b≥2当且仅当a=b时,取等号,又b>a,所以a+b>2,
所以v=<=且=>1,
所以v=>a故a【误区警示】不能正确列出关系式是本题的最大易错点.
5.(2020·珠海高一检测)若x>0,y>0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是
(　　)
A.≤
B.+≥
C.≥2
D.≥1
【解析】选B.对于选项A,因为0所以≥,故A不恒成立;
对于选项B,因为+=≥=,
又因为4≥x+y≥2,所以0<≤2,
所以≥,所以+≥1≥,故B成立;
对于选项C,因为4≥x+y≥2,
所以≤2,故C不恒成立;
对于选项D,由4≥x+y≥2,
所以≤2,即0所以≥,故D不恒成立.
【光速解题】选B.特值法:令x=y=1,则可排除A,C;令x=y=2,则可排除D.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.给出以下结论:①当a≠0时,a2+≥2;②对任意x,y∈R,2x+2y≥2;
③当x>y>0时,有≤.其中正确的结论的序号是　　　　.?
【解题指南】利用基本不等式对式子逐一验证,要注意等号成立的条件是否满足.
【解析】当a≠0时,a2>0,>0,
所以a2+≥2=2,
当且仅当a=±1时取等号,故①正确;
对任意x,y∈R,2x>0,2y>0,
所以2x+2y≥2=2,
当且仅当x=y时取等号,故②正确;当x>y>0时,应有>,故③错误.
答案:①②
【补偿训练】
设a>0,b>0,给出下列不等式:
①a2+1>a;②≥4;③a2+9>6a.
其中恒成立的是　　　　.(填序号)?
【解析】由于a2+1-a=(a-)2+>0,故①恒成立;由于a+≥2,b+≥2,
所以≥4,当且仅当a=b=1时,等号成立,故②恒成立;当a=3时,a2+9=6a,故③不恒成立.综上,恒成立的是①②.
答案:①②
7.(2020·张家界高一检测)设a,b为正数,A为a,b的等差中项,G为a,b的等比中项,则A与G的大小关系为A　　　　G.(用“>”“<”“≥”“≤”填空)?
【解析】因为a,b为正数,A为a,b的等差中项,G为a,b的等比中项,则A=,G=±,
又≥,当且仅当a=b时取等号,
又≥±,所以A≥G.
答案:≥
8.(2020·菏泽高一检测)设a,b∈R,则下列不等式一定成立的是　　　　　.(填写序号)?
①a2+b2≥2ab;②a+≥2;③b2+1≥2b;④||+||≥2.
【解析】①当a,b∈R时,a2+b2≥2ab成立,故①正确;
②当a>0时,a+≥2,等号成立的条件是a=1,当a<0时,a+≤-2,等号成立的条件是a=-1,故②不正确;
③当b∈R时,b2+1-2b=≥0,
所以b2+1≥2b,故③正确;
④||>0,||>0,所以||+||≥2=2,等号成立的条件是当且仅当||=||,即a2=b2,故④正确.
答案:①③④
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知a,b,c>0,求证:a+b+c≥++.
【证明】因为a>0,b>0,c>0,所以a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2,所以2(a+b+c)≥2(++),即a+b+c≥++,当且仅当a=b=c时等号成立.
10.(2020·张家港高一检测)已知a>b,ab=1,求证:a2+b2≥2(a-b).
【证明】因为a>b,所以a-b>0,又ab=1,
所以===a-b+≥2=2
即≥2,即a2+b2≥2,
当且仅当a-b=,即a-b=时取等号.
1.△ABC三边a,b,c满足a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2,则△ABC的形状是　　　　.?
【解析】由a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2,三式相加可得:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,当且仅当a=b=c时等号成立,即△ABC是等边三角形.
答案:等边三角形
2.是否存在常数c,使得不等式+≤c≤+对任意正实数x,y恒成立?证明你的结论.
【解析】当x=y时,由已知不等式得c=.下面分两部分给出证明:
(1)先证+≤,此不等式
3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y)2xy≤x2+y2,此式显然成立.
(2)再证+≥,此不等式
3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y)x2+y2≥2xy,此式显然成立.
综上可知,存在常数c=,对任意的实数x,y使题中的不等式成立.
PAGE基本不等式与最大(小)值
(20分钟　35分)
1.(2020·南京高一检测)下列函数中,最小值为4的函数是
(　　)
A.y=ex+4e-x
B.y=sin
x+(0C.y=
D.y=log3x+logx81(1【解析】选A.y=ex+4e-x≥2=4,
当且仅当ex=4e-x,即x=ln
2时等号成立,故A满足;
因为sin
x∈,所以根据双勾函数的知识可知当sin
x=1时y=sin
x+取得最小值5,故B不满足;y==+,因为≥,所以根据双勾函数的知识可知当x=0时,y=取得最小值,故C不满足;y=log3x+logx81=log3x+4logx3≥2=4,当且仅当log3x=4logx3,即x=9时等号成立,故等号取不到,故D不满足.
【补偿训练】
在下列函数中,当x取正数时,最小值为2的是
(　　)
A.y=x+
B.y=lg
x+
C.y=+
D.y=x2-2x+3
【解析】选D.当x取正数时,A选项中y≥4;B选项中y可为负值,C选项中>1,则y>2;只有D选项通过配方易得y≥2.
2.已知正数x,y满足x+4y=4,则的最小值为
(　　)
A.2
B.6
C.18
D.28
【解析】选C.由于x+4y=4,
则===+=
=10+≥10+8=18,当且仅当x=8y时取等号,所以最小值为18.当且仅当=?x=8y?x=,y=
时等号成立.
3.(2020·海门高一检测)若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是
(　　)
A.18
B.2
C.2
D.6
【解析】选D.因为实数a,b满足a+b=2,
所以3a+3b≥2=2=6,
当且仅当3a=3b即a=b=1时取等号,
所以3a+3b的最小值为6.
4.(2020·烟台高一检测)设x>0,y>0,且+=2,则x+2y的最小值为　　　　.?
【解析】因为x>0,y>0,且+=2,所以+=1,由基本不等式可得x+2y==++≥2+=,当且仅当x=y=时,等号成立,因此x+2y的最小值为.
答案:
5.已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　.?
【解析】因为a>0,b>0,所以a+b>0,又ab=1,所以++=++=+≥2=4,当且仅当a+b=4时取等号,
结合ab=1,解得a=2-,b=2+,或a=2+,b=2-时,等号成立.
答案:4
6.已知x>0,y>0,lg
x+lg
y=1,求+的最小值.
【解析】由已知条件lg
x+lg
y=1,x>0,y>0,可得xy=10.则+=≥=2,
所以=2,当且仅当即x=2,y=5时等号成立.
(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分,共25分)
1.已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=
(　　)
A.-3
B.2
C.3
D.8
【解析】选C.y=x-4+=(x+1)+-5,
因为x>-1,所以x+1>0,
所以y≥2-5=2×3-5=1.
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,
即a=2,b=1,所以a+b=3.
2.若实数x,y满足x>y>0,且+=1,则x+y的最小值为
(　　)
A.2　　
B.3　　
C.　　
D.
【解析】选D.方法一:实数x,y满足x>y>0,且
+=1,令x+y=m(x-y)+n(x+2y),
得m=,n=,
所以x+y=(x-y)+(x+2y)=[(x-y)+2(x+2y)]=[(x-y)+2(x+2y)]
=≥(17+8)=.
当且仅当=,即x+2y=2(x-y),x-y=5,x+2y=10,即x=,y=时,x+y=为所求.
方法二:实数x,y满足x>y>0,且+=1,令x+y=z,
则+=1,去分母,整理,
得2y2+(z-15)y-z2+9z=0,
由Δ=(z-15)2-8(-z2+9z)≥0,
得3z2-34z+75≥0,即(z-3)(3z-25)≥0,
解得z≤3或z≥.
当z=3时,y2-6y+9=0,得y=3,x=0,与x>y>0矛盾;
当z=时,(3y-5)2=0,得y=,x=,
即x+y=为所求.
3.(2020·郑州高一检测)已知等比数列的前n项和为Sn=a·4n-1+b-1(a>0,b>0),则+的最小值为
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.当n=1时,S1=a+b-1,当n≥2时an=Sn-Sn-1=a·4n-1-a·4n-2=3a·4n-2,因为数列为等比数列,所以a1=a+b-1=,所以a+b=4,
所以(a+b)=(+++3)≥(+2)=.
4.正项等比数列中,存在两项am,an使得=4a1,且a6=a5+2a4,则+的最小值是
(　　)
A.
B.2
C.
D.
【解析】选A.在等比数列中,因为a6=a5+2a4,
所以a4q2=a4q+2a4,即q2-q-2=0,
解得q=2或q=-1(舍去).
因为=4a1,所以=4a1,即2m+n-2=16=24,
所以m+n-2=4,即m+n=6,所以+=1,
所以+==+++≥+2=+2×==,当且仅当=,即n=2m时取等号.
【误区警示】不能利用条件=4a1和a6=a5+2a4正确转化m与n的关系,是本题的易错点.
5.设实数x,y满足4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是
(　　)
A.1
B.3
C.
D.
【解析】选D.由4x2+y2+xy=1,得(2x+y)2=1+3xy,由于对于任意实数a,b,不等式(a+b)2≥4ab成立,即ab≤,所以(2x+y)2=1+3xy=1+×2x×y≤1+×,得(2x+y)2≤,
所以-≤2x+y≤,
所以2x+y的最大值是.
【光速解题】本题若找不到思路,可以从待求式子2x+y去观察条件式子可表示为(2x)2+y2+×(2x)·y=1,直接猜测y=2x时取最值.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2020·合肥高一检测)已知正数x,y满足2x+y=1,则+的最小值为　　　.?
【解题指南】配凑可得2x+y+1=2,利用均值不等式即可求得最小值.
【解析】因为2x+y=1,故可得2x+=2,
故+=
=≥
==4+2.
当且仅当=,2x+y=1时,
即x=,y=2-时取得最小值.
答案:4+2
【补偿训练】
(2020·长沙高一检测)已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y【解析】由题可知:若x+2y则m2+2m>,因为+=1,且x>0,y>0,所以x+2y=
=4++≥4+2=8,
当且仅当=,即x=2y时取等号,
所以m2+2m>8,
则m2+2m-8>0?>0.
所以m<-4或m>2,即m的取值范围为∪.
答案:∪
7.(2020·苏州高一检测)已知x,y为正实数,且xy+2x+4y=41,则x+y的最小值为　　　　.?
【解析】因为x,y为正实数,且xy+2x+4y=41,可知x≠-4,
所以y=,所以x+y=x+=(x+4)+-6≥2-6=8,当且仅当x=3时取等号,
所以x+y的最小值为8.
答案:8
8.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　.?
【解析】因为5x2y2+y4=1(x,y∈R),所以y≠0,
所以x2=,
则x2+y2=+y2≥2=,
当且仅当=y2时,即y2=,
x2=时,x2+y2的最小值是.
答案:
【光速解题】4=(5x2+y2)·4y2≤
=,故x2+y2≥,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=,y2=时取等号.
所以=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·桂林高一检测)(1)已知x>0,求函数y=的最小值;
(2)已知0【解析】(1)因为y==x++5≥2+5=9,当且仅当x=,
即x=2时等号成立,
故y=(x>0)的最小值为9.
(2)因为00,
所以y=·2x·(1-2x)≤·
=×=,
当且仅当2x=1-2x,
即x=时,ymax=,
即该函数的最大值为.
10.十九大以来,国家深入推进精准脱贫,加大资金投入,强化社会帮扶,为了服务于人民,调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有100户农民,且都从事水果种植,据了解,平均每户的年收入为2万元.为了调整产业结构,调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工.据估计,若能动员x(x>0)户农民从事水果加工,则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%,而从事水果加工的农民平均每户收入将为2(a>0)万元.
(1)若动员x户农民从事水果加工后,要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入,求x的取值范围;
(2)在(1)的条件下,要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入,求a的最大值.
【解析】(1)由题意(100-x)×2×(1+2x%)≥2×100x-x2≥0得0≤x≤50,由x>0可得0(2)由题意得2(a-)·x≤(100-x)×2×(1+2x%),
所以a≤x++1在x∈上恒成立,
又x++1≥2+1=9(当且仅当x=25时取“=”),所以a≤9,故a的最大值为9.
1.(2020·嘉兴高一检测)已知实数x,y满足2x>y>0,且+=1,则x+y的最小值为
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为2x>y>0,
所以2x-y>0,x+2y>0,
令,
解得,
则m>0,n>0,+=1,
所以x+y=×1=×
=≥×=,
当且仅当=,即m=n,
即2x-y=(x+2y),
即x=,y=时取等号.
2.已知lg(3x)+lg
y=lg(x+y+1).
(1)求xy的最小值;
(2)求x+y的最小值.
【解析】由lg(3x)+lg
y=lg(x+y+1),
得
(1)因为x>0,y>0,
所以3xy=x+y+1≥2+1,
所以3xy-2-1≥0,
即3()2-2-1≥0.
所以(3+1)(-1)≥0.
所以≥1,所以xy≥1.
当且仅当x=y=1时,等号成立.
所以xy的最小值为1.
(2)因为x>0,y>0,
所以x+y+1=3xy≤3·,
所以3(x+y)2-4(x+y)-4≥0,
所以[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0.
所以x+y≥2.
当且仅当x=y=1时取等号.
所以x+y的最小值为2.
PAGE　二元一次不等式(组)与平面区域
(20分钟　35分)
1.(2020?深圳高一检测)已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则实数a的取值范围是
(　　)
A.a<-7或a>24
B.a=7或a=24
C.-24D.-7【解析】选D.因为点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,
所以两点对应式子3x-2y+a的符号相反,
即(9-2+a)(-12-12+a)<0,
即(a+7)(a-24)<0,解得-72.(2020·绍兴高一检测)若点A(2,0),B(a,4)在直线y=3x+7的两侧,则a的取值范围是
(　　)
A.a<-1
B.a>-1
C.a>19
D.a<19
【解析】选A.因为点A(2,0),B(a,4)在直线y=3x+7的两侧,所以(2×3+7)(3a-4+7)<0,
即3a+3<0,解得a<-1.
3.不等式组表示的平面区域内整点的个数是
(　　)
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
【解析】选C.画出可行域后,可按x=0,x=1,x=2,x=3分类代入检验,符合要求的点有(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0)共6个.
4.不等式组所表示的平面区域的面积是　　　　.?
【解析】不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示,它是一个底边长为5,高为4的三角形区域(含边界),其面积S=×5×4=10.
答案:10
5.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则实数a的取值范围是　　　　.?
【解析】如图,当直线y=a介于直线y=5(含该直线)与直线y=7(不含该直线)之间时,符合题意.
所以5≤a<7.
答案:5≤a<7
6.画出不等式|x|+|y|≤1表示的平面区域,并求区域面积.
【解析】不等式|x|+|y|≤1等价于
或
或或
上述四个不等式组表示的平面区域合起来就是不等式|x|+|y|≤1所表示的平面区域,如图阴影部分所示.
因为表示的区域是边长为的正方形.
所以面积为2.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.不等式组表示的平面区域是
(　　)
A.矩形　
B.三角形
C.直角梯形
D.等腰梯形
【解析】选B.不等式组?
或
那么利用不等式(组)表示的区域可知,得到的区域为三角形.
2.(2020·桂林高一检测)在区域Ω=中,若满足ax+y≥0的区域面积占Ω面积的,则实数a的值为
(　　)
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.根据题意,区域Ω为如图所示的三角形ABC,则三角形ABC为等腰直角三角形,所以∠BAC=45°,因为直线ax+y=0过(0,0),结合图形可知a<0时,才能满足ax+y>0的区域面积占Ω面积的,所以满足ax+y≥0的区域为图中阴影三角形AOD,设D点坐标为(x,1-x),满足ax+y≥0的区域面积占Ω面积的,即三角形AOD的面积为三角形ABC面积的,××2×1=×AO×AD×sin
45°,即=×1××,
解得x=,又点D在直线ax+y=0上,
所以a×+=0,
解得a=-.
3.已知点(a,2a-1)既在直线y=3x-6的上方,又在y轴的右侧,则a的取值范围是
(　　)
A.(2,+∞)　　　　　
B.(5,+∞)
C.(0,2)
D.(0,5)
【解析】选D.因为(a,2a-1)在直线y=3x-6的上方,所以3a-6-(2a-1)<0,即a<5.
又(a,2a-1)在y轴右侧,所以a>0.
所以04.(2020·芜湖高一检测)以下不等式组表示的平面区域是三角形的是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.对于A,画出不等式组表示的平面区域,如图1阴影部分所示,不是三角形区域;
对于B,画出不等式组表示的平面区域,如图2阴影部分所示,不是三角形区域;
对于C,画出不等式组表示的平面区域,如图3阴影部分所示,不是三角形区域;
对于D,画出不等式组表示的平面区域,如图4阴影部分所示,是三角形区域.
【误区警示】不能正确判断区域是本题的易错点.
5.(2020·宁波高一检测)若点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且在不等式2x+y-3>0表示的平面区域内,则点P的横坐标是
(　　)
A.7或-3　　　
B.7　　
　C.-3　　　
D.-7或3
【解析】选B.把(a,3)代入2x+y-3>0,得2a+3-3>0,得a>0,点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,则=4,得a=-3或a=7,所以a=7.
【光速解题】将选项中的值代入验证,即可快速得到答案.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知点M(a,2a-1)在不等式组所确定的平面区域之外,则a的取值范围是　　　　.?
【解题指南】作出题目中不等式组表示的平面区域,得出如图的阴影部分,根据题意列出不等式组求解即可.
【解析】不等式组所表示的平面区域如图:
根据题意可得若点M(a,2a-1)在平面区域之内,
则
解得≤a≤1,
所以若点M在平面区域之外,则a<或a>1.
答案:∪(1,+∞)
7.(2020·保定高一检测)设不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则实数a的取值范围是　　　　.?
【解析】画出不等式组所表示的平面区域如图所示,直线y=a(x+1)过定点P(-1,0),由图可知a∈[kBP,kAP],而A(0,4),B(1,1),所以a∈.
答案:
8.不等式组所表示的平面区域的面积为　　　　.?
【解析】不等式组
即为,
则不等式组
所表示的平面区域由不等式组
和所表示的平面区域合并而成,
如图所示:
平面区域为两个全等的等腰直角三角形,且腰长为2,因此,所求平面区域的面积为S=2××=8.
答案:8
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米;投资生产B产品时,每生产100米需要资金300万元,需场地100平方米.现某单位可使用资金1
400万元,场地900平方米,用数学关系式和图形表示上述要求.
【解析】设生产A产品x百吨,生产B产品y百米,
则用图形表示以上限制条件,得其表示的平面区域如图所示(阴影部分).
10.(2020·深圳高一检测)已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域上运动,求点P运动轨迹的面积.
【解析】先画出不等式组表示的平面区域如图所示,平面区域是梯形ABCO(包括边界),即是点P的运动轨迹.可得A(0,5),B(3,8),C(3,-3)所以S梯形ABCO=×(5+11)×3=24.
PAGE简单线性规划
(20分钟　35分)
1.若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域内,则2x-y的最小值为
(　　)
A.-6　
B.-2　
C.0　
D.2
【解析】选A.如图,曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示,
令z=2x-y,
则y=2x-z,
作直线y=2x,在封闭区域内平行移动直线y=2x,
当经过点A(-2,2)时,z取得最小值,
此时z=2×(-2)-2=-6.
【补偿训练】
(2020·南宁高一检测)若x,y满足|y|≤2-x且|x|≤1,则2x+y的最小值为
(　　)
A.-7　　
　B.-5　　
　C.1　　　
D.4
【解析】选B.作出x,y满足|y|≤2-x,且|x|≤1,对应的平面区域如图,
由z=2x+y得y=-2x+z,
平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线的截距最小,此时z最小,由解得A(-1,-3),
此时z=2×(-1)+(-3)=-5,则2x+y的最小值为-5.
2.(2020·西安高一检测)若变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x-y的最小值是
(　　)
A.-3
B.0
C.
D..
【解析】选A.由约束条件作出可行域如图,
化目标函数z=2x-y为y=2x-z,
由图可知,当直线y=2x-z经过A(0,3)时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为-3.
3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则a的值为
(　　)
A.-3
B.3
C.-1
D.1
【解析】选A.-==,即a=-3.
4.(2020·全国Ⅲ卷)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为　　　　.?
【解析】不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(含边界),
因为z=3x+2y,所以y=-+,易知截距越大,则z越大,平移直线y=-,
当y=-+经过A点时截距最大,此时z最大,
由,得,A(1,2),
所以zmax=3×1+2×2=7.
答案:7
5.若变量x,y满足约束条件且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是　　　　.?
【解析】画出可行域,如图所示.由图可知,当目标函数过A点时有最大值;过B点时有最小值.联立得方程组?故A(4,4);对x+y=8,令y=0,则x=8,故B(8,0),所以a=5×4-4=16,b=5×0-8=-8,则a-b=16-(-8)=24.
答案:24
6.已知x,y满足约束条件
(1)求目标函数z=2x+y的最大值和最小值;
(2)求z=的取值范围.
【解析】作出可行域如图所示.
(1)作直线l:2x+y=0,并平移此直线,当平移直线过可行域内的A点时,z取最小值;当平移直线过可行域内的B点时,z取得最大值.
解得A.
解得B(5,3).
所以zmax=2×5+3=13,zmin=2×1+=.
(2)z==,可看作区域内的点(x,y)与点D(-5,-5)连线的斜率,
由图可知,kBD≤z≤kCD.
又B(5,3),C,
所以kBD==,
kCD==,
所以z=的取值范围是.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2020·石家庄高一检测)若x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值为
(　　)
A.10
B.8
C.5
D.3
【解析】选D.由约束条件作出可行域如图,
化目标函数z=x+2y为直线方程的斜截式,y=-x+,由图可知,当直线y=-x+过A(3,0)时,直线在y轴上的截距最大,z最大值为3.
2.(2020·绵阳高一检测)已知实数x,y满足条件+≤2,则2x+y的最大值为
(　　)
A.3
B.5
C.6
D.7
【解析】选D.实数x,y满足条件+≤2,如图所示,
所以在A处2x+y的取最大值为7.
3.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组确定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=·的最大值为
(　　)
A.3　　　
B.4　
C.3　　
D.4
【解析】选B.由线性约束条件
画出可行域如图阴影部分(含边界)所示,
目标函数z=·=x+y,
将其化为y=-x+z,结合图形可知,
当目标函数的图像过点(,2)时,z最大,将点(,2)代入z=x+y,得z的最大值为4.
4.(2020·成都高一检测)已知EF为圆(x-1)2+(y+1)2=1的一条直径,点M(x,y)的坐标满足不等式组则·的取值范围为
(　　)
A.
B.[4,13]
C.[4,12]
D.
【解析】选D.不等式组作出可行域如图,A(-2,1),B(0,1),C,
因为D(1,-1),O(0,0),M(x,y),=-,
所以·=(-)·(-)
=·+-·-·
=-+=-1=(x-1)2+(y+1)2-1,
所以当x=-2,y=1时,
·取最大值为12,
当x=-,y=时,
·取最小值,
所以·的取值范围是.
【误区警示】对·进行转化是本题的易错点.
5.(2020·太原高一检测)设x,y满足不等式组且的最大值为,则实数a的值为
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.作出不等式组对应的平面区域如图:
可知a≥-2,的几何意义是可行域内的点与Q(-4,0)连线的斜率,直线x+y-2=0与直线y=x+a的交点为A,
当x=1-,y=1+时,的最大值为,解得a=2,所以实数a的值为2.
【光速解题】本题可直接将选项中的值代入求解.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2020·成都高一检测)已知实数x,y满足不等式组若当且仅当x=1,y=3时,y-ax取得最大值,则实数a的取值范围是　　　　.?
【解题指南】由题意作出其平面区域,将z=y-ax化为y=ax+z,z相当于直线y=ax+z的纵截距,由几何意义可得.
【解析】由题意作出其平面区域,
将z=y-ax化为y=ax+z,
z相当于直线y=ax+z的纵截距,
则由图可知,当且仅当x=1,y=3时y-ax取得最大值就是目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解是B(1,3),则a>1.
答案:(1,+∞)
【补偿训练】
(2020·咸阳高一检测)已知实数x,y满足,若z=x+my的最大值为10,则m=　　　.?
【解析】作出可行域,如图,△ABC内部(含边界),其中A(2,4),B(2,1),C(-1,1),若A是最优解,则2+4m=10,m=2,检验符合题意;若B是最优解,则2+m=10,m=8,检验不符合题意,若m=8,则z最大值为34;若C是最优解,则-1+m=10,m=11,检验不符合题意;
所以m=2.
答案:2
7.已知约束条件若目标函数z=x+ay(a>0)恰好在点(2,2)处取得最大值,则a的取值范围为　　　　.?
【解析】如图,线性约束条件对应的可行域为图中的三角形区域ABC.
线性目标函数z=x+ay(a>0)
化为y=-x+,
当z最大时,最大,
根据图形只要->kAB=-3,
所以a>.
答案:
8.实数x,y满足不等式组则W=的取值范围是　　　.?
【解析】画出题中不等式组所表示的可行域如图所示,目标函数W=表示阴影部分的点与定点A(-1,1)的连线的斜率,由图可知点A(-1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值,最大值趋近于1,
但永远达不到1,
故-≤W<1.
答案:[-,1)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·渭南高一检测)若x,y满足条件
(1)求目标函数z=x-y+的最值;
(2)求点(x,y)到直线y=-x-2的距离的最大值.
【解析】(1)根据条件,作出可行域如图,
则直线x+y=1,-x+y=1,2x-y=2的交点分别为A(3,4),B(0,1),C(1,0).
平移直线x-y+=0,
由图形可知过点A时,
z取得最小值zmin=×3-4+=-2;过点C时,
z取得最大值zmax=+=1.
故z的最大值为1,
最小值为-2.
(2)由图形可知,
所求的最大值即点A到直线x+y+2=0的距离,
则d==.
10.已知x,y满足条件求:
(1)4x-3y的最大值和最小值;
(2)x2+y2的最大值和最小值.
【解析】(1)不等式组
表示的公共区域如图阴影所示:
其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2),
设z=4x-3y.
直线4x-3y=0经过原点(0,0).
作一组与4x-3y=0平行的直线l:4x-3y=t.
则当l过C点时,t值最小;
当l过B点时,t值最大.
因为zmax=4×(-1)-3×(-6)=14,
zmin=4×(-3)-3×2=-18.
故4x-3y的最大值为14,
最小值为-18.
(2)设u=x2+y2,则为点(x,y)到原点(0,0)的距离.结合不等式组所表示的区域,不难知道:点B到原点的距离最大;而当(x,y)在原点时,距离为0.
因为umax=(-1)2+(-6)2=37,umin=0,
所以x2+y2的最大值为37,最小值为0.
1.太极图被称为“中华第一图”,从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫等标记物,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组来表示A=,设点(x,y)∈A,则z=x+y的取值范围是
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解答】选C.由题意可知:z=x+y与x2+(y-1)2=1相切时,切点在上方时取得最大值,
如图可得,≤1,
解得1-≤z≤1+,z=x+y的最大值为1+.
当下移与圆x2+y2=4相切时,z=x+y取最小值,
同理=2,
即z的最小值为-2,
所以z∈.
2.已知实数x,y满足条件若目标函数z=x+ay仅在点(0,1)处取得最小值,求a的取值范围.
【解析】由x,y满足约束条件
作出可行域,如图阴影部分.
当a=0时,z=x,z值仅在点B(0,1)处取得最小值;
当a≠0时,
由z=x+ay得直线族y=-x+.
当直线斜率0<-≤1时,
z值不在点B(0,1)处取得最小值;
当直线斜率->1,
即-1z值仅在点B(0,1)处取得最小值;
当直线斜率-1<-<0,
即a>1时,z值不在点B(0,1)处取得最小值;
当直线斜率-=-1,
即a=1时,z值在点B(0,1),
A(1,0)之间任意一点处取得最小值;
当直线斜率-<-1,
即0综上所述,实数a的取值范围是(-1,1).
PAGE简单线性规划的应用
(20分钟　35分)
1.当前疫情阶段,口罩成为热门商品,小明决定制作两种口罩:N95口罩和N90口罩.已知制作一只N95口罩需要2张熔喷布和2张针刺棉,制作一只N90口罩需要3张熔喷布和1张针刺棉,现小明手上有35张熔喷布和19张针刺棉,且一只N95口罩有4元利润,一只N90口罩有3元利润,为了获得最大利润,那么小明应该制作
(　　)
A.5只N95口罩,8只N90口罩
B.6只N95口罩,6只N90口罩
C.7只N95口罩,6只N90口罩
D.6只N95口罩,7只N90口罩
【解析】选D.设制作x只N95口罩,y只N90口罩,根据题意有,
可行域如图所示:
利润z=4x+3y,目标函数看作斜率为-的直线,当目标函数表示的直线经过可行域内的点,且在y轴上的截距最大时,z最大,
由,求得B(5.5,8),
因为x,y需要取整数,在可行域内与点B最接近的整点为(6,7),所以当x=6,y=7时,z的值最大,所以小明应该制作6只N95口罩,7只N90口罩.
2.某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y需满足约束条件则z=10x+10y的最大值是
(　　)
A.80
B.85
C.90
D.95
【解析】选C.该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影中的整点部分.
由于x,y∈N+,
计算区域内与最近的点为(5,4).
故当x=5,y=4时,z取得最大值为90.
3.(2020·衡阳高一检测)某企业通过前期考察与论证可知,投资每个A项目第一年需资金20万元,从中可获利5万元;投资每个B项目第一年需资金30万元,从中可获利6万元.现公司拟投资两个项目共不多于8个且投入资金不超过200万元,需合理安排这两个项目的个数使第一年获利最多,则获利最多可达到(　　)
A.40万元
B.44万元
C.48万元
D.50万元
【解析】选B.
设投资x个A项目,y个B项目,
则
再求z=5x+6y的最大值.
则投资的项目组合(x,y)为不等式组的可行域中的整数点.易得z=5x+6y在?
即(4,4)处取得最大值.最大值为z=5×4+6×4=44万元.
4.(2020·苏州高一检测)某家具公司生产甲、乙两种书柜,制柜需先制白胚再油漆,每种柜的制造白胚工时数、油漆工时数的有关数据如表:
工艺要求
产品甲
产品乙
生产能力/(工时/天)
制白胚工时数
6
12
120
油漆工时数
8
4
64
单位利润/元
20
24
则该公司合理安排这两种产品的生产,每天可获得的最大利润为　　　　元.?
【解析】设x,y分别为甲、乙两种柜的日产量,根据题意知,需求出线性目标函数z=20x+24y的最大值,其中线性约束条件为
如图所示阴影部分中的整点为线性约束条件的可行域.
作出直线l:20x+24y=0,平移l,当l过点Q时,z取到最大值,解得Q(4,8),代入z=20x+24y,可得zmax=20×4+24×8=272元.
答案:272
5.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品,甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为　　　　.?
(1)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱;
(2)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱;
(3)甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱;
(4)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱.
【解析】设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱,由题意可知
甲、乙两车间每天总获利为z=280x+200y.
画出可行域如图所示.
点M(15,55)为直线x+y=70和直线10x+6y=480的交点,由图像知在点M(15,55)处z取得最大值.
答案:(2)
6.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元.那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
【解析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得:z=2.5x+4y,且x,y满足
　即
让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移.由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值.
因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.某实验室至少需要某种化学药品10
kg,现在市场上出售的该药品有两种包装,一种是每袋3
kg,价格为12元;另一种是每袋2
kg,价格为10元.但由于保质期的限制,每一种包装购买的数量都不能超过5袋,则在满足需要的条件下,花费最少为
(　　)
A.56元
B.42元
C.44元
D.54元
【解析】选C.设购买价格为12元的x袋,价格为10元的y袋,花费为z元,则约束条件为:
目标函数为z=12x+10y,作出可行域,使目标函数为z=12x+10y取最小值的整数点(x,y)是A(2,2),此时z=44.故购买价格为12元的2袋,价格为10元的2袋,花费最少为44元.
2.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元,生产甲产品每件需用A原料2
kg、B原料4
kg,生产乙产品每件需用A原料3
kg、B原料2
kg.A原料每日供应量限额为60
kg,B原料每日供应量限额为80
kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多于10件,则合理安排生产可使每日获得的利润最大为
(　　)
A.500元
B.700元
C.400元
D.650元
【解析】选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x,y件,
则x,y满足
利润z=30x+20y.
不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影区域内的整数点,根据目标函数的几何意义,在直线2x+3y=60和直线4x+2y=80的交点B处取得最大值,解方程组得B(15,10),代入目标函数得zmax=30×15+20×10=650.
3.某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1
600元/辆和2
400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为
(　　)
A.31
200元　
B.36
000元
C.36
800元　
D.38
400元
【解析】选C.设租A型车x辆,B型车y辆,租金为z,
则
画出可行域(图中阴影区域中的整数点),则目标函数
z=1
600x+2
400y在点N(5,12)处取得最小值36
800.
4.车间有男工25人,女工20人,要组织甲、乙两种工作小组,甲组要求有5名男工,3名女工,乙组要求有4名男工,5名女工,并且要求甲种组数不少于乙种组数,乙种组数不少于1组,则要使组成的组数最多,甲、乙各能组成的组数为(　　)
A.甲4组、乙2组　　　　B.甲2组、乙4组
C.甲、乙各3组
　　　　
D.甲3组、乙2组
【解析】选D.设甲种x组,乙种y组.
则
总的组数z=x+y,作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影中整点部分,寻找整点分析,x=3,y=2时,为最优解.
5.为彻底打赢脱贫攻坚战,2020年春,某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10
000斤,成本2
000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5
000斤,成本3
000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为
(　　)
A.4万元
B.5.5万元
C.6.5万元
D.10万元
【解析】选B.设种植冬瓜和茄子的种植面积分别为x,y亩,种植总利润为z万元,
由题意可知,
总利润z=x+y=0.3x+0.4y,
作出可行域如图阴影部分:
联立,
解得,
平移直线0.3x+0.4y=0,当过点A时,一年的种植总利润z取最大值5.5万元.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2020·南京高一检测)一家饮料厂生产甲、乙两种冲果汁饮料,甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加1份苹果汁,乙种饮料的主要配方是李子汁和苹果汁各一半.该厂每天能获得的原料是2
000
L李子汁和1
000
L苹果汁,厂方的利润是生产1
L甲种饮料得3元,生产1
L乙种饮料得4元,那么厂方获得的最大利润是　　　　元.?
【解题指南】设生产甲种饮料x
L,生产乙种饮料y
L,根据题意列出x,y满足的不等关系,然后求(3x+4y)max.
【解析】设生产甲种饮料x
L,生产乙种饮料y
L,生产甲种饮料需要x李子汁和x苹果汁,生产乙种饮料需要y李子汁和y苹果汁,则利润z=3x+4y,
由
解得
作出可行域,如图四边形OABC内部(含边界),作直线l:3x+4y=0,
平移直线l,当l过点B(2
000,1
000)时,z=3x+4y取得最大值10
000.
答案:10
000
【补偿训练】
　某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品,甲种产品每件体积为5
m3,重量为2吨,运出后,可获利润10万元;乙种产品每件体积为4
m3,重量为5吨,运出后,可获利润20万元,集装箱的容积为24
m3,最多载重13吨,该企业可获得的最大利润是　　　　.?
【解析】设甲种产品装x件,乙种产品装y件(x,y∈N),总利润为z万元,
则且z=10x+20y.作出可行域,
如图中的阴影部分所示.
作直线l0:10x+20y=0,即x+2y=0.当l0向右上方平移时z的值变大,平移到经过直线5x+4y=24与2x+5y=13的交点(4,1)时,zmax=10×4+20×1=60(万元),即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大,最大利润为60万元.
答案:60万元
7.(2020·厦门高一检测)回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸,可节约用水约100吨,节约用煤约1.2吨;回收1吨废铅蓄电池可再生铅约0.6吨,可节约用煤约0.8吨,节约用水约120吨,回收每吨废铅蓄电池的费用约为0.9万元,回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元,在保证节约用煤不少于12吨的前提下,最多可节约用水约　　　　吨.?
【解析】设回收废纸x吨,回收废铅蓄电池y吨,可节约用水z吨,
由已知条件可得
即z=100x+120y.
作出不等式组表示的可行域如图所示,y=-x+平移直线可得当直线过点A时,在y轴的截距最大,即z最大.
由图可得点A(90,0),此时z取得最大值为9
000.
答案:9
000
8.(2020·北京高一检测)在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于,且获得一等奖的人数不能少于2人,有下列四个结论:①最多可以购买4份一等奖奖品;②最多可以购买16份二等奖奖品;③购买奖品至少要花费100元;④共有20种不同的购买奖品方案,其中正确结论的序号为　　　　.?
【解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x,y,
则根据题意有
作可行域为:
解得2≤x≤4,6≤y≤16,所以最多可以购买4份一等奖奖品,最多可以购买16份二等奖奖品,
故①②正确,购买奖品至少要花费2×20+6×10=100元,故③正确,由可行域知:A,B,C,
可行域内的整数点有,,…,,,,…,
,,共11+6+1=18个.故④错误.
答案:①②③
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·合肥高一检测)雾霾大气严重影响人们的生活,某科技公司拟投资开发新型节能环保产品,策划部制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且还要考虑可能出现的亏损,经过市场调查,公司打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%,可能的最大亏损率分别为20%和10%,投资人计划投资金额不超过9万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.4万元.
(1)若投资人用x万元投资甲项目,y万元投资乙项目,试写出x,y所满足的条件,并在平面直角坐标系内作出表示x,y范围的图形;
(2)根据(1)的规划,投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
【解析】(1)由题意,知x,y满足的条件为
不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界).
(2)根据第(1)问的规划和题设条件,依题意
可知目标函数为z=x+0.6y,在图中,
作直线l0:x+0.6y=0,平移直线l0,
当经过直线x+y=9与2x+y=14的交点A时,
其纵截距最大,
解方程x+y=9与2x+y=14,
解得x=5,y=4,
即A(5,4),
此时z=5+0.6×4=7.4(万元),
所以当x=5,y=4时,
z取得最大值7.4,
即投资人用5万元投资甲项目,
4万元投资乙项目,才能确保亏损不超过1.4万元,且使可能的利润最大.
10.某化工集团在靠近某河流处修建两个化工厂,流经第一化工厂的河流流量为500万m3/天,在两个化工厂之间还有一条流量为200万m3/天的支流并入大河(如图).第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万m3;第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万m3,从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前,有20%可自然净化.环保要求:河流中工业废水的含量应不大于0.2%,因此,这两个工厂都需各自处理部分工业废水,第一化工厂处理工业废水的成本是1
000元/万m3,第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万m3.试问:在满足环保要求的条件下,两个化工厂应各自处理多少工业废水,才能使这两个化工厂总的工业废水处理费用最小?
【解析】设第一化工厂每天处理工业废水x万m3,
需满足:≤0.2%,0≤x≤2;
设第二化工厂每天处理工业废水y万m3,需满足:
≤0.2%,0≤y≤1.4.
两个化工厂每天处理工业废水总的费用为z=1
000x+800y元.问题即为:约束条件
即
求目标函数z=200(5x+4y)的最小值.如图,作出可行域.可知当x=1,y=0.8时目标函数有最小值,即第一化工厂每天处理工业废水1万m3,第二化工厂每天处理工业废水0.8万m3,能使这两个化工厂总的工业废水处理费用最小.
　某人有楼房一幢,室内面积共计180
m2,拟分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18
m2,可住游客5名,每名旅客每天住宿费40
元;小房间每间面积为15
m2,可以住游客3名,每名游客每天住宿费为50元;装修大房间每间需要
1
000元,装修小房间每间需600元.如果此人只能筹8
000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获最大利益?
【解析】设隔出大房间x间,小房间y间,
则　
即
目标函数为z=5×40x+30×50y,作出约束条件可行域,
根据目标函数z=200x+150y,
作出一组平行线200x+150y=t,
当此线经过直线18x+15y=180和直线1
000x+600y=8
000的交点C时,
目标函数取最大值为,
由于不是整数,所以经过整点(3,8)时,才是它的最优解,同时经过整点(0,12)也是最优解,即应隔大房间3间,小房间8间,或者隔大房间0间,小房间12间,所获利益最大.如果考虑到不同客人的需要,应隔大房间3间,小房间8间.
【补偿训练】
　(2020·咸阳高一检测)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料,生产
1
车皮甲种肥料和生产
1
车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示:现有A种原料
200
吨,
B种原料
360
吨,C种原料
300
吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产
1
车皮甲种肥料,产生的利润为
2
万元;生产
1
车皮乙种肥料,产生的利润为
3
万元.
分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.
原料肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
【解析】(1)由已知,x,y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分:
(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.
考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一条平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.
又因为x,y满足约束条件,
所以由图可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.
解方程组
得点M的坐标为(20,24),
所以zmax=2×20+3×24=112.
答:生产甲种肥料20车皮,乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.
PAGE

点击下载

同课章节目录

点击下载

VIP下载