单元素养评价(一)(第一章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.数列{an}中,对任意m,n∈N+,恒有am+n=am+an,若a1=,则a7等于( )
A.
B.
C.
D.
2.若数列{xn}满足lg
xn+1=1+lg
xn(n∈N+),且x1+x2+x3+…+x100=100,则lg(x101+x102
+…+x200)的值为( )
A.102
B.101
C.100
D.99
3.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )
A.-24
B.0
C.12
D.24
4.(2020·南昌高一检测)已知数列的奇数项依次成等差数列,偶数项依次成等比数列,且a1=1,a2=2,a3+a4=7,a5+a6=13,则a7+a8=( )
A.4+
B.19
C.20
D.23
5.(2020·重庆高一检测)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为2n-1,若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则此数列的前55项和为( )
A.4
072
B.2
026
C.4
096
D.2
048
6.(2020·全国Ⅱ卷)
北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3
699块
B.3
474块
C.
3
402块
D.3
339块
7.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的实数x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N+),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
8.在等比数列{an}中,a1=-512,公比q=-.用Tn表示它的前n项之积:
Tn=a1·a2·…·an,则T1,T2,T3,…中最大的是( )
A.T10
B.T9
C.T8,T11
D.T9,T10
9.夏季高山上气温从山脚起每升高100
m,降低0.7
℃.已知山顶气温是14.1
℃,山脚气温是26
℃,那么此山相对于山脚的高度是( )
A.1
500
m
B.1
600
m
C.1
700
m
D.1
800
m
10.设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=an+1,n∈N+,则a5=( )
A.2
B.-2
C.1
D.-1
11.(2020·太原高一检测)在等差数列中,a1=31,S10=S20,则数列的前n项和Sn的最大值为( )
A.S15
B.S16
C.S15或S16
D.S17
12.(2020·哈尔滨高一检测)已知数列与前n项和分别为Sn,Tn,且an>0,2Sn=+an,n∈N
,bn=,对任意的n∈N
,k>Tn恒成立,则k的最小值是( )
A.1
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.正项等比数列{an}中,Sn为其前n项和,已知a3=,S3=,则S6= .?
14.(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1= .?
15.在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+),则a1+a2+…+a51= .?
16.某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价:由于首层与顶层均为复式结构,因此首层价格为a1元/m2,顶层由于景观好价格为a2元/m2,第二层价格为a元/m2,从第三层开始每层在前一层价格上加价元/m2,则该商品房各层的平均价格为 .?
三、解答题(共70分)
17.(12分)(2020·天水高二检测)已知数列的前n项和为Sn,且2Sn=3an-1.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列是等差数列,且b1=2,b3=14,求数列的前n项和Tn.
18.(12分)(2020·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.
19.(12分)在数列{an}中,a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求数列的前n项和Sn.
20.(12分)(2020·石家庄高一检测)已知各项均为正数的数列的前n项和为Sn,
首项为a1,且,an,Sn成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若=,设cn=,求数列的前n项和Tn.
21.(10分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=1-,其中n∈N
.
(1)设bn=,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式.
(2)设cn=,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn<对于n∈N
,恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
22.(12分)(2020·重庆高一检测)已知数列为等比数列,其前n项和为Sn,且S1,S2的等差中项为S3,若8=-5.
(1)求数列的通项公式;
(2)记Rn=+++…+,对于任意的n≥2,n∈N
,不等式m≥(n-1)2恒成立,求实数m的取值范围.
【补偿训练】
(2020·哈尔滨高一检测)已知等差数列,等比数列,满足a1=b1=1,
a2+b2=,且a3=-10b2,
(1)求数列及数列的通项公式;
(2)设cn=,求数列的前n项和Tn.
PAGE单元素养评价(一)(第一章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.数列{an}中,对任意m,n∈N+,恒有am+n=am+an,若a1=,则a7等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为am+n=am+an,a1=,所以a2=2a1=,a4=2a2=,a3=a1+a2=,a7=a3+a4=.
2.若数列{xn}满足lg
xn+1=1+lg
xn(n∈N+),且x1+x2+x3+…+x100=100,则lg(x101+x102
+…+x200)的值为( )
A.102
B.101
C.100
D.99
【解析】选A.由lg
xn+1=1+lg
xn,得=10,
所以数列{xn}是公比为10的等比数列,又x101=x1·q100,x102=x2·q100,…,x200=x100·q100,
所以x101+x102+…+x200=q100(x1+x2+…+x100)=10100·100=10102,
所以lg(x101+x102+…+x200)=102.
3.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )
A.-24
B.0
C.12
D.24
【解析】选A.由等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6,可得(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或x=-1(此时3x+3=0,不合题意,舍去),故该等比数列的首项x=-3,公比q==2,所以第四项为[6×(-3)+6]×2=-24.
4.(2020·南昌高一检测)已知数列的奇数项依次成等差数列,偶数项依次成等比数列,且a1=1,a2=2,a3+a4=7,a5+a6=13,则a7+a8=( )
A.4+
B.19
C.20
D.23
【解题指南】本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比,然后对a3+a4=7,
a5+a6=13进行化简,得出公差和公比的数值,然后对a7+a8进行化简即可得出结果.
【解析】选D.设奇数项的公差为d,偶数项的公比为q,由a3+a4=7,a5+a6=13,得1+d+2q=7,1+2d+2q2=13,
解得d=2,q=2,
所以a7+a8=1+3d+2q3=7+16=23.
5.(2020·重庆高一检测)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为2n-1,若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则此数列的前55项和为( )
A.4
072
B.2
026
C.4
096
D.2
048
【解题指南】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行,然后令x=1得到对应项的系数和,结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可.
【解析】选A.由题意可知,每一行数字和为首项为1,公比为2的等比数列,则杨辉三角形的前n项和为Sn==2n-1,若去除所有的为1的项,则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,…,可以看成构成一个首项为1,公差为1的等差数列,则Tn=,可得当n=10,所有项的个数和为55,
则杨辉三角形的前12项的和为S12=212-1,
则此数列前55项的和为S12-23=4
072,故选A.
6.(2020·全国Ⅱ卷)
北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3
699块
B.3
474块
C.
3
402块
D.3
339块
【解析】选C.设每一层有n环,由题可知从内到外每环的扇面形石板数之间构成等差数列{an},且公差d=9,首项a1=9,由等差数列的性质可知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且-=n2d,
由题意得9n2=729,所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3n=S27=27a1+×9=3
402(块).
7.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的实数x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N+),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.依题意得f(n+1)=f(n)·f(1),
即an+1=an·a1=an,所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,
所以Sn==1-,所以Sn∈.
8.在等比数列{an}中,a1=-512,公比q=-.用Tn表示它的前n项之积:
Tn=a1·a2·…·an,则T1,T2,T3,…中最大的是( )
A.T10
B.T9
C.T8,T11
D.T9,T10
【解析】选C.因为Tn=·q1+2+…+(n-1)=·=·
=·,所以n=8或11时,T8,T11相等且最大.
9.夏季高山上气温从山脚起每升高100
m,降低0.7
℃.已知山顶气温是14.1
℃,山脚气温是26
℃,那么此山相对于山脚的高度是( )
A.1
500
m
B.1
600
m
C.1
700
m
D.1
800
m
【解析】选C.依题意知14.1=26-(n-1)×0.7,解得n=18.故山高应为1
700
m.
10.设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=an+1,n∈N+,则a5=( )
A.2
B.-2
C.1
D.-1
【解析】选A.Sn为数列{an}的前n项和且Sn=an+1(n∈N+),所以an=Sn-Sn-1=
an+1-an-1-1=an-an-1,n≥2,所以an=-an-1,n≥2,又n=1时,S1=a1+1,所以a1=2,所以数列{an}是以2为首项,以-1为公比的等比数列,所以a5=2×(-1)5-1=2.
11.(2020·太原高一检测)在等差数列中,a1=31,S10=S20,则数列的前n项和Sn的最大值为( )
A.S15
B.S16
C.S15或S16
D.S17
【解析】选A.因为等差数列中,S10=S20,所以S20-S10=a11+a12+…+a20=
5(a15+a16)=0,
所以a15+a16=0又a1=31>0,所以a15>0,a16<0,即数列的前15项为正值,从第16项开始为负值,所以数列的前n项和Sn的最大值为S15.
12.(2020·哈尔滨高一检测)已知数列与前n项和分别为Sn,Tn,且an>0,2Sn=+an,n∈N
,bn=,对任意的n∈N
,k>Tn恒成立,则k的最小值是( )
A.1
B.
C.
D.
【解题指南】先由Sn与an的关系式求的通项公式,于是可得的通项公式,再由裂项相消法求出Tn,于是答案易得.
【解析】选C.因为an>0,2Sn=+an,n∈N
,
所以当n=1时,2a1=2S1=+a1,解得a1=1;
当n≥2时,2Sn-1=+an-1.
所以2an=2Sn-2Sn-1=-.
于是-=0.
由an+an-1≠0,可得an-an-1=1,
所以{an}是首项为1,公差为1的等差数列,即an=n.所以bn==
=-.
所以Tn=b1+b2+…+bn
=-+-+…+-=-<,
因为对任意的n∈N
,k>Tn=-恒成立,所以k≥,即k的最小值是.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.正项等比数列{an}中,Sn为其前n项和,已知a3=,S3=,则S6= .?
【解析】由正项等比数列{an}中a3=,
所以S3=a3==,
又因为an>0,所以q=,a1==1,
所以S6==.
答案:
14.(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1= .?
【解析】an+2+(-1)nan=3n-1,
当n为奇数时,an+2=an+3n-1;
当n为偶数时,an+2+an=3n-1.
设数列的前n项和为Sn,
S16=a1+a2+a3+a4+…+a16
=a1+a3+a5+…+a15+(a2+a4)+…+(a14+a16)
=a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)+
(5+17+29+41)=8a1+392+92=8a1+484=540,
所以a1=7.
答案:7
15.在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+),则a1+a2+…+a51= .?
【解析】利用分组求和法求解.当n为正奇数时,
an+2-an=0,又a1=1,则所有奇数项都是1;当n为正偶数时,an+2-an=2,又a2=2,则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列,所以a1+a2+…+a51=(a1+a3+…+a51)+
(a2+a4+…+a50)=26a1+25a2+×2=676.
答案:676
16.某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价:由于首层与顶层均为复式结构,因此首层价格为a1元/m2,顶层由于景观好价格为a2元/m2,第二层价格为a元/m2,从第三层开始每层在前一层价格上加价元/m2,则该商品房各层的平均价格为 .?
【解析】设第二层的价格到第二十二层的价格构成数列{bn},则{bn}是等差数列,b1=a,公差d=,共21项,所以其和为S21=21a+·=23.1a,
故平均价格为(a1+a2+23.1a)元/m2.
答案:(a1+a2+23.1a)元/m2
三、解答题(共70分)
17.(12分)(2020·天水高二检测)已知数列的前n项和为Sn,且2Sn=3an-1.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列是等差数列,且b1=2,b3=14,求数列的前n项和Tn.
【解题指南】(1)当n=1时,求得a1=1,当n≥2时,递推作差得an=3an-1,即=3,得到数列是首项为1,公比为3的等比数列,即可求解数列的通项公式;
(2)由(1)求得cn=bn-an=2n-1,得到bn=cn+an=2n-1+3n-1,利用分组求和,即可求解.
【解析】(1)当n=1时,2S1=2a1=3a1-1,所以a1=1,当n≥2时,因为2Sn=3an-1,
所以2Sn-1=3an-1-1,两式作差得an=3an-1,即=3,因为a1=1,
所以数列是首项为1,公比为3的等比数列,故an=3n-1.
(2)令cn=bn-an,
则c1=b1-a1=1,c3=b3-a3=14-9=5,
所以数列的公差d===2,故cn=2n-1,所以bn=cn+an=2n-1+3n-1,
所以Tn=+=n2+.
18.(12分)(2020·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.
【命题意图】本题考查等比数列通项公式基本量的计算,以及等差数列求和公式的应用,考查计算求解能力,属于基础题目.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,
根据题意,有,
解得,所以an=3n-1;
(2)令bn=log3an=log33n-1=n-1,
所以Sn==,
根据Sm+Sm+1=Sm+3,
可得+=,
整理得m2-5m-6=0,因为m>0,所以m=6.
19.(12分)在数列{an}中,a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求数列的前n项和Sn.
【解题指南】(1)根据数列通项公式的特征,我们对nan+1-(n+1)an=2n2+2n,两边同时除以n(n+1),得到-=2,利用等差数列的定义,就可以证明出数列是等差数列;
(2)求出数列的通项公式,利用裂项相消法,求出数列的前n项和Sn.
【解析】(1)nan+1-(n+1)an=2n2+2n的两边同除以n(n+1),得-=2,又=4,
所以数列是首项为4,公差为2的等差数列.
(2)由(1)得=4+2(n-1),即=2n+2,所以an=2n2+2n,
故==,
所以Sn=++…+==.
20.(12分)(2020·石家庄高一检测)已知各项均为正数的数列的前n项和为Sn,
首项为a1,且,an,Sn成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若=,设cn=,求数列的前n项和Tn.
【解题指南】(1)由n≥2,an=Sn-Sn-1
,根据等比数列定义可得结果;(2)先求出数列的通项公式,再根据数列的通项特点,利用错位相减法求和.
【解析】(1)由题意知2an=Sn+,an>0,
当n=1时,2a1=a1+,所以a1=,
当n≥2时,Sn=2an-,Sn-1=2an-1-,
两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,
整理得=2,
所以数列{an}是以为首项,2为公比的等比数列,an=a1·2n-1=×2n-1=2n-2.
(2)==22n-4,所以bn=4-2n,
cn===,
Tn=+++…++,①
Tn=++…++,②
①-②得Tn=4-8-=4-8·-,
4-4-=,
所以Tn=.
21.(10分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=1-,其中n∈N
.
(1)设bn=,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式.
(2)设cn=,数列{cncn+2}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn<对于n∈N
,恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
【解题指南】(1)结合递推关系可证得bn+1-bn=2,且b1=2,即数列{bn}是首项为2,公差为2的等差数列,据此可得数列的通项公式为an=.
(2)结合通项公式裂项有cncn+2=2,求和有Tn=2<3.据此结合单调性讨论可得正整数m的最小值为3.
【解析】(1)-bn=-
=-=-=2.
又由a1=1,得b1=2,所以数列{bn}是首项为2,公差为2的等差数列,所以bn=2+(n-1)×2=2n,由bn=,得an=.
(2)cn=,cncn+2==2,
所以Tn=2<3.
依题意,要使Tn<对于n∈N
恒成立,只需≥3,解得m≥3或m≤-4.
又m>0,所以m≥3,所以正整数m的最小值为3.
22.(12分)(2020·重庆高一检测)已知数列为等比数列,其前n项和为Sn,且S1,S2的等差中项为S3,若8=-5.
(1)求数列的通项公式;
(2)记Rn=+++…+,对于任意的n≥2,n∈N
,不等式m≥(n-1)2恒成立,求实数m的取值范围.
【解题指南】(1)根据等差数列的性质,以及等比数列的通项公式,可得结果.
(2)根据(1)的结论,可得Rn,然后分离参数,并构造新的函数,研究新函数的值域与m的大小关系,可得结果.
【解析】(1)依题意
可得a1=q=-,an=.
(2)Rn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,
2Rn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,
-Rn=21+22+…+2n-n×2n+1,
Rn=n×2n+1-2n+1+2,由任意n≥2,n∈N
,所以不等式m≥(n-1)2恒成立,
即m≥(n-1)2,
即m≥恒成立,
记f=,f(n+1)-f(n)
=-,
即f(n+1)-f(n)=<0,
所以f单调递减.
所以f(n)≤f(2)==,m≥,
所以不等式m≥(n-1)2对任意n≥2,n∈N
恒成立的实数m的取值范围为.
【补偿训练】
(2020·哈尔滨高一检测)已知等差数列,等比数列,满足a1=b1=1,
a2+b2=,且a3=-10b2,
(1)求数列及数列的通项公式;
(2)设cn=,求数列的前n项和Tn.
【解题指南】(1)将已知条件化为基本量的形式,分别求得公差d和公比q,从而根据等差、等比数列通项公式求得结果;(2)由(1)可得cn,从而可根据错位相减法求得Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由题意知:
所以d=2.
所以an=a1+d=1+2=2n-1.
又b2=-a2=-3=-,
所以q==-,bn=b1qn-1=.
(2)由(1)得cn===·,
所以Tn=1×+3×+5×+…+(2n-3)×+(2n-1)×.
则Tn=1×+3×+5×+…+(2n-3)×+(2n-1)×.
两式作差得:Tn
=1×+2×-×,即Tn=1-·+2×=1-(2n-1)·+2-.
整理可得Tn=6-.
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