模块素养评价
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2020·焦作高一检测)集合A=,B=,则A∩B=
( )
A.
B.
C.R
D.(-3,-2)∪(0,1)
2.(2020·襄阳高一检测)若a>b>0,c>d>0,则一定有
( )
A.>
B.<
C.>
D.<
3.已知正实数a,b满足4a+b=30,当+取最小值时,实数对(a,b)是
( )
A.(5,10)
B.(6,6)
C.(10,5)
D.(7,2)
4.(2020·天津高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=30°,b=,c=2,则角A为
( )
A.15°
B.45°
C.15°或105°
D.45°或135°
5.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中有首古民谣记载了一数列问题:“南山一棵竹,竹尾风割断,剩下三十节,一节一个圈,头节高五寸①,头圈一尺三②.逐节多三分③,逐圈少分三④.一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是多远?”(注释:①第一节的高度为0.5尺;②第一圈的周长为1.3尺;③每节比其下面的一节多0.03尺;④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺).问:此民谣提出的问题的答案是
( )
A.72.705尺
B.61.395尺
C.61.905尺
D.73.995尺
6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,sin
A=,且b( )
A.
B.
C.
D.
7.(2020·淮北高一检测)已知等比数列中,若a5+a7=8,则a4(a6+2a8)+a3a11的值为
( )
A.128
B.64
C.16
D.8
8.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=++,则
( )
A.T>0
B.T<0
C.T=0
D.T≥0
9.(2020·沈阳高一检测)已知在等差数列中,S9=18,Sn=240,an-4=30(n>9),则项数n为
( )
A.10
B.14
C.17
D.15
10.(2020·青岛高一检测)已知函数f(x)=x2+mx+4,若f(x)>0对任意实数x∈(0,4)恒成立,则实数m的取值范围是
( )
A.[-4,+∞)
B.(-4,+∞)
C.(-∞,-4]
D.(-∞,-4)
11.用砖砌墙,第一层(底层)用了全部砖块的一半多一块,第二层用了剩下的一半多一块,…,以此类推,每一层都用了前一层剩下的一半多一块,如果到第九层恰好把砖用光,那么,共用的砖块数为
( )
A.1
022
B.1
024
C.1
026
D.1
028
12.已知{an}是首项为32的等比数列,Sn是其前n项和,且=,则数列{|log2an|}前10项和为
( )
A.29
B.58
C.116
D.232
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.数列{an}中,若an=则其前6项和为 .?
14.(2020·全国Ⅰ卷)若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为 .?
15.(2020·阜阳高一检测)等差数列,的前n项和分别为Sn,Tn且=,则= .?
16.(2020·柳州高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin
A=acos
B,b=2,△ABC的面积为,则△ABC的周长为 .?
三、解答题(共70分)
17.(10分)(2020·无锡高一检测)已知数列满足:an+1=2an-n+1,a1=3.设数列满足bn=an-n.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)求出数列的通项公式和前n项和公式Sn.
18.(12分)(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac=,
②csin
A=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin
A=sin
B,C=, ??
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.(12分)(2020·淮北高一检测)在△ABC中,∠BAC=,D是BC上一点,AD⊥AC且AD=1.
(1)若AB=,求BC;
(2)求+.
20.(12分)已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16.
(1)求不等式g(x)<0的解集;
(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,求实数m的取值范围.
21.(12分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A,B,要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如表:
产品A/件
产品B/件
研制成本与搭载费用之和/(万元/件)
20
30
计划最大资金额300万元
产品重量/(千克/件)
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益/(万元/件)
80
60
试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?
22.(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30,数列{bn}满足b1+2b2+…+nbn=an.
(1)求an;
(2)设cn=bn·,求数列{cn}的前n项和Tn.
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(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2020·焦作高一检测)集合A=,B=,则A∩B=
( )
A.
B.
C.R
D.(-3,-2)∪(0,1)
【解析】选D.解x2+2x>0,得x>0或x<-2;解x2+2x-3<0,得-32.(2020·襄阳高一检测)若a>b>0,c>d>0,则一定有
( )
A.>
B.<
C.>
D.<
【解析】选C.由题可得cd>0,则>0.
因为a>b,c>d>0,则ac>bc,bc>bd,则有ac>bd,
所以ac·>bd·,即>.
3.已知正实数a,b满足4a+b=30,当+取最小值时,实数对(a,b)是
( )
A.(5,10)
B.(6,6)
C.(10,5)
D.(7,2)
【解析】选A.+=··30
=(4a+b)=≥
5+2
=.
当且仅当
即时取等号.
4.(2020·天津高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=30°,b=,c=2,则角A为
( )
A.15°
B.45°
C.15°或105°
D.45°或135°
【解析】选C.在△ABC中,B=30°,b=,c=2,
由正弦定理得=,
即=,所以sin
C=,
因为c>b,所以C>B,又C∈(0,π),
所以C=45°或135°,故A=105°或15°.
5.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中有首古民谣记载了一数列问题:“南山一棵竹,竹尾风割断,剩下三十节,一节一个圈,头节高五寸①,头圈一尺三②.逐节多三分③,逐圈少分三④.一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是多远?”(注释:①第一节的高度为0.5尺;②第一圈的周长为1.3尺;③每节比其下面的一节多0.03尺;④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺).问:此民谣提出的问题的答案是
( )
A.72.705尺
B.61.395尺
C.61.905尺
D.73.995尺
【解析】选B.因为每竹节间的长相差0.03尺,
设从地面往上,每节竹长为a1,a2,a3,…,a30,
所以{an}是以a1=0.5为首项,以d′=0.03为公差的等差数列,由题意知竹节圈长,后一圈比前一圈细0.013尺,设从地面往上,每节节圈长为b1,b2,b3,…,b30,由{bn}是以b1=1.3为首项,d=-0.013为公差的等差数列,
所以一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是:
S30=+
30×1.3+×(-0.013)=61.395.
6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,sin
A=,且b( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.在△ABC中,因为a=2,c=2,
sin
A=,aA=,
所以sin
C===,
可得cos
C=±,即C=或,
因为b7.(2020·淮北高一检测)已知等比数列中,若a5+a7=8,则a4(a6+2a8)+a3a11的值为
( )
A.128
B.64
C.16
D.8
【解析】选B.a4(a6+2a8)+a3a11=a4a6+2a4a8+a3a11=+2a5a7+==64.
8.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=++,则
( )
A.T>0
B.T<0
C.T=0
D.T≥0
【解析】选B.取特殊值,a=2,b=c=-1,
则T=-<0,排除A,C,D.
9.(2020·沈阳高一检测)已知在等差数列中,S9=18,Sn=240,an-4=30(n>9),则项数n为
( )
A.10
B.14
C.17
D.15
【解析】选D.由等差数列的性质可得S9===18,解得a5=2,故a5+an-4=32,而Sn===16n=240,解得n=15.
10.(2020·青岛高一检测)已知函数f(x)=x2+mx+4,若f(x)>0对任意实数x∈(0,4)恒成立,则实数m的取值范围是
( )
A.[-4,+∞)
B.(-4,+∞)
C.(-∞,-4]
D.(-∞,-4)
【解析】选B.由题意得函数x2+mx+4>0对任意实数x∈(0,4)恒成立,
所以m>-对任意实数x∈(0,4)恒成立.
因为-≤-2=-4(当且仅当x=2时取等号),所以m>-4.
11.用砖砌墙,第一层(底层)用了全部砖块的一半多一块,第二层用了剩下的一半多一块,…,以此类推,每一层都用了前一层剩下的一半多一块,如果到第九层恰好把砖用光,那么,共用的砖块数为
( )
A.1
022
B.1
024
C.1
026
D.1
028
【解析】选A.设从上层到底层砖块分别为a1,a2,…,a9,则an=Sn+1,那么an-1=Sn-1+1,(n≥2),那么a1=2,an-an-1=an,即an=2an-1,因此,每层砖块数构成以2为首项,以2为公比的等比数列,
所以S9==210-2=1
022.
12.已知{an}是首项为32的等比数列,Sn是其前n项和,且=,则数列{|log2an|}前10项和为
( )
A.29
B.58
C.116
D.232
【解析】选B.设公比为q,因为{an}是首项为32的等比数列,Sn是其前n项和,且=,所以=,所以1+q3=,所以q=,所以an=32·=27-2n,
所以|log2an|=|7-2n|,所以数列{|log2an|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.数列{an}中,若an=则其前6项和为 .?
【解析】由an=可得其前6项和为(a1+a3+a5)+(a2+a4+a6)=(1+5+9)+(4+16+64)=15+84=99.
答案:99
14.(2020·全国Ⅰ卷)若x,y满足约束条件则z=x+7y的最大值为 .?
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,
目标函数z=x+7y,即:y=-x+z,
其中z取得最大值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,联立直线方程:,可得点A的坐标为:A,据此可知目标函数的最大值为:zmax=1+7×0=1.
答案:1
15.(2020·阜阳高一检测)等差数列,的前n项和分别为Sn,Tn且=,则= .?
【解析】因为等差数列,的前n项和分别为Sn,Tn,所以由等差数列的性质可得===,又=,
所以===.
答案:
16.(2020·柳州高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin
A=acos
B,b=2,△ABC的面积为,则△ABC的周长为 .?
【解析】因为bsin
A=acos
B,
由正弦定理可得sin
Bsin
A=sin
Acos
B,
因为sin
A≠0,所以sin
B=cos
B,
即tan
B=,所以B=30°,则△ABC的面积S=acsin
30°==,故ac=4.
由余弦定理可得cos
B===,解得a+c=2+2,
所以△ABC的周长为a+b+c=4+2.
答案:4+2
三、解答题(共70分)
17.(10分)(2020·无锡高一检测)已知数列满足:an+1=2an-n+1,a1=3.设数列满足bn=an-n.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)求出数列的通项公式和前n项和公式Sn.
【解析】(1)bn+1=an+1-(n+1)=2an-n+1-(n+1)=2(an-n)=2bn,又b1=a1-1=3-1=2,
所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)得bn=2n,所以an=2n+n,
所以Sn=(21+1)+(22+2)+…+(2n+n)=(21+22+…+2n)+(1+2+3+…+n)=+=2n+1-2+.
18.(12分)(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac=,
②csin
A=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin
A=sin
B,C=, ??
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【解析】方案一:选条件①.
由C=和余弦定理得=.
由sin
A=sin
B及正弦定理得a=b.
于是=,由此可得b=c.
由①ac=,解得a=,b=c=1.
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.
方案二:选条件②.
由C=和余弦定理得=.
由sin
A=sin
B及正弦定理得a=b.于是=,由此可得b=c,B=C=,A=.
由②csin
A=3,
所以c=b=2,a=6.
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2.
方案三:选条件③.
由C=和余弦定理得=.
由sin
A=sin
B及正弦定理得a=b.
于是=,由此可得b=c.
由③c=b与b=c矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.
19.(12分)(2020·淮北高一检测)在△ABC中,∠BAC=,D是BC上一点,AD⊥AC且AD=1.
(1)若AB=,求BC;
(2)求+.
【解析】(1)∠BAD=∠BAC-∠DAC=-=,
在△ABD中,由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=3+1-2××1×=1,
所以△ABD为等腰三角形,所以∠B=∠BAD=,
所以∠C=-∠B=,
所以DC==2,故BC=BD+CD=3.
(2)方法一:设∠C=α,在△ACD中,tan
α==,又∠B=-α,∠ADB=+α,
在△ABD中由正弦定理知=,
即=,
所以=,故+
=+==.
方法二:由S△ACD+S△ABD=S△ABC,
得AC·ADsin∠CAD+AB·ADsin∠BAD
=AB·ACsin∠BAC,两边同时除以AB·AC·AD,得+=,
即+=,即+=.
20.(12分)已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16.
(1)求不等式g(x)<0的解集;
(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)g(x)=2x2-4x-16<0,
所以(2x+4)(x-4)<0,所以-2所以不等式g(x)<0的解集为{x|-2(2)因为f(x)=x2-2x-8.
当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,
所以x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,
则x2-4x+7≥m(x-1).
所以对一切x>2,均有不等式≥m成立.
又=(x-1)+-2≥
2-2=2(当x=3时等号成立).
所以实数m的取值范围是(-∞,2].
21.(12分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A,B,要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如表:
产品A/件
产品B/件
研制成本与搭载费用之和/(万元/件)
20
30
计划最大资金额300万元
产品重量/(千克/件)
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益/(万元/件)
80
60
试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?
【解析】设搭载产品A
x件,产品B
y件,
预计总收益z=80x+60y.
则作出可行域,如图.
作出直线l0:4x+3y=0并平移,由图像得,当直线经过M点时z能取得最大值,
由解得即M(9,4).
所以zmax=80×9+60×4=960(万元).
即搭载产品A
9件,产品B
4件,可使得总预计收益最大,为960万元.
22.(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30,数列{bn}满足b1+2b2+…+nbn=an.
(1)求an;
(2)设cn=bn·,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a2=4,S5=30,
所以解得a1=d=2.
所以an=2+2(n-1)=2n.
(2)因为b1+2b2+…+nbn=an,
所以当n=1时,b1=a1=2;
当n≥2时,b1+2b2+…+(n-1)=,
所以nbn=an-=2,解得bn=.
所以cn=bn·==4.
所以数列{cn}的前n项和Tn
=4
=4=.
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