1 随机事件的概率
1．1 频率与概率
1．2 生活中的概率
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.正确理解概率的意义.3.理解频率与概率的关系.
重点：事件概率的含义.
难点：频率与概率的区别与联系.
授课提示：对应学生用书第40页
[自主梳理]
1．随机事件的频率
(1)频率是一个变化的量，在大量重复试验时，它又会呈现出稳定性，在一个常数附近摆动，但随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势．
(2)随机事件的频率也可能出现偏离“常数”较大的情形，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性就会减少．
2．随机事件的概率
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性，这时，这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．P(A)的范围是0≤P(A)≤1．
3．概率在生活中的作用
概率和日常生活有着密切的联系，对于生活中的随机事件，我们可以利用概率知识作出合理的判断与决策．
4．天气预报的概率解释
天气预报的“降水”是一个随机事件，“降水概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的概率为90%，在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的．
[双基自测]
1．下列试验能构成事件的是( )
A．抛掷一次硬币
B．射击一次
C．标准大气压下，水烧至100
℃
D．摸彩票中头奖
解析：每一次试验连同它产生的结果叫做事件．A，B，C只是试验，没有结果，所以不是事件．D既有试验“摸彩票”又有结果“中头奖”，所以是事件．
答案：D
2．下列事件为随机事件的是( )
A．百分制考试中，小强的考试成绩为105分
B．长和宽分别为a，b的长方形的面积为ab
C．清明时节雨纷纷
D．抛一枚硬币，落地后正面朝上或反面朝上
解析：对于A，百分制考试中，小强的考试成绩为105分，是不可能事件，故A不正确；对于B，长和宽分别为a，b的长方形的面积为ab，是必然事件，故B不正确；对于D，抛一枚硬币，落地后正面朝上或反面朝上，只有这两种可能，所以是必然事件，故D不正确．
答案：C
3．在10个学生中，男生有x个，现从10个学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( )
A．5
B．6
C．3或4
D．5或6
解析：由题意知，10个学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.故选C.
答案：C
授课提示：对应学生用书第41页
探究一 频率与概率的关系
[典例1] 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示.
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
[解析] (1)表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次击中靶心的概率约为0.89.
概率的确定方法
(1)理论依据：频率在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
(2)计算频率：频率＝＝.
(3)用频率估计概率．
1．已知集合A＝{a|a>3}，从集合A中任取一个元素a，给出下列说法：
①a>2的概率是1；②a>4的概率是0；
③a≤3的概率大于0；④5
其中正确说法的序号是________．
解析：①事件是必然事件，其概率为1，正确；
②事件是随机事件，其概率不为0，不正确；
③事件是不可能事件，其概率为0，不正确；
④事件是随机事件，其概率小于1，正确．
综上所述，正确说法的序号是①④.
答案：①④
探究二 频率与概率的关系及求法
[典例2] 表一和表二分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况：
表一
抽取球数n
50
100
200
500
1
000
2
000
优等品数m
45
92
194
470
954
1
902
优等品频率
表二
抽取球数n
70
130
310
700
1
500
2
000
优等品数m
60
116
282
637
1
339
1
806
优等品频率
(1)分别计算表一和表二中篮球是优等品的各个频率(结果保留到小数点后两位)；
(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？
(3)若该两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？
[解析] (1)依据频率公式计算表一中“篮球是优等品”的各个频率为0.90，0.92，0.97，0.94，0.95，0.95；表二中“篮球是优等品”的各个频率为0.86，0.89，0.91，0.91，0.89，0.90.
(2)由(1)可知，抽取的篮球数不同，随机事件“篮球是优等品”的频率也不同．表一中的频率都在常数0.95的附近摆动，则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表二中的频率都在常数0.90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90.
(3)根据概率的定义可知：概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小．因为P甲>P乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应该选择甲厂生产的篮球．
频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值，频率本身是随机的，而概率是一个确定的数，是客观存在的，因此概率与每次试验无关．
2．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前4个病人都未治好，则第5个病人的治愈率为( )
A．1
B.
C.
D．0
解析：治愈率为，表明第n个病人被治愈的概率为，并不是5个人中必有1个人治愈，故选B.
答案：B
探究三 概率的实际应用
[典例3] (1)某一对夫妇生有两个孩子，大孩子是女孩，小的一定是男孩；
(2)某销售商为了提高某品牌日用品的销售量，决定在某超市搞促销活动：凡购买该品牌的日用品一件，就可以抽奖一次，中奖率为.某顾客觉得该品牌的日用品好用也是必需的用品，所以决定购买10件，认为肯定有3次能中奖的机会，更有优惠；
(3)某市气象预报：明天本市降雨的概率为60%.有人认为明天本市有60%的区域要下雨，40%的区域不下雨；也有人认为明天本市有60%的时间下雨，有40%的时间不下雨．以上说法对吗？
[解析] (1)不对．
一对夫妇生一个孩子，是做一次试验，生男孩、女孩的概率都是.生两个孩子相当于做两次试验，每一次试验生男孩、女孩的概率都是.因此第二个孩子的性别可能是男，也可能是女．
(2)不对．
购买该品牌的日用品一件，就可以抽奖一次，是做一次试验，试验的结果中奖率为，不中奖率为.购买10件，抽奖10次，相当于做10次试验，每一次试验结果中奖率为，不中奖率为.
(3)不对．
明天本市降雨的概率为60%，是指本市明天下雨的可能性为60%，不是指下雨的区域也不是指下雨的时间．
1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量，事件A的概率越大，其发生的可能性就越大，概率越小，事件A发生的可能性就越小，但不能决定其一定发生或不发生．
2．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映．概率是客观存在的，它与试验次数，以及哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们澄清日常生活中人们对一些现象的错误认识．
3．某种病治愈的概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?
解析：如果把治疗一个病人作为一次试验，“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈．
治愈的概率是0.3，指如果患病的人有1
000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就可以认为这1
000个人中大约有300人能治愈．
利用概率知识解决实际生活中的问题
[典例] (本题满分12分)为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2
000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．
[规范解答] 设水库中鱼的尾数是n，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝{带记号的鱼}，则P(A)＝.①6分
第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P(A)≈②，即≈③，解得：n≈25
000.
所以估计水库中的鱼有25
000尾.12分
[规范与警示] ①解题的关键点：假定每尾鱼被捕的可能性相等．
②失分点：易列错等式．
③正确地列出等式求出所求量，依据是样本的频率近似估计总体的概率．
[随堂训练] 对应学生用书第42页
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A不正确；频率是通过试验得出的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故B、D不正确；频率是与试验次数有关的值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，随着试验次数的增加，频率越来越接近概率，故C正确．
答案：C
2．下列说法中，不正确的是( )
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数应为4
解析：要理解频率的概念，它是命中次数与射击次数的比值．
答案：B
3．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个，从中任取1球，取了20次有14个白球，估计袋中数量较多的是________球．
解析：取了20次有14个白球，则取出白球的频率是0.7，估计其概率是0.7，那么取出黄球的概率约是0.3，取出白球的概率大于取出黄球的概率，所以估计袋中数量较多的是白球．
答案：白
4．为了测试贫困地区和发达地区同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分．然后作了统计，下表是统计结果．
贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
解析：(1)贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
0.533
0.540
0.520
0.520
0.512
0.503
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
0.567
0.580
0.560
0.555
0.552
0.550
(2)随着测试人数增加，贫困地区和发达地区得60分以上的频率逐渐趋于0.5和0.55，故概率分别为0.5和0.55.
PAGE2 古典概型
2．1 古典概型的特征和概率计算公式
2．2 建立概率模型
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.通过实例理解古典概型的两个特征及古典概型的定义.2.掌握古典概型的概率计算公式.3.理解概率模型的特点及应用.
重点：古典概型的概念及其概率公式的应用条件.
难点：古典概型的概率的计算.
授课提示：对应学生用书第43页
[自主梳理]
1．古典概型
2．古典概型的概率计算公式
对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的．如果试验的所有可能结果为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝＝.
3．建立古典概率模型的要求
(1)在建立概率模型时，如果每次试验有且只有一个基本事件出现．
(2)基本事件的个数是有限的．
(3)并且它们的发生是等可能的．
满足上述三个条件的概率模型就是一个古典概型．
4．古典概率模型的解决方案
从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单．
[双基自测]
1．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，下列事件不是基本事件的是( )
A．{正好2个红球}
B．{正好2个黑球}
C．{正好2个白球}
D．{至少1个红球}
解析：至少1个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球．
答案：D
2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的基本事件的个数共有( )
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
解析：符合要求的基本事件是(－9，0)，(－7，0)，(－5，0)，(－3，0)，(－1，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)．
答案：C
3．下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的是________．
解析：①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．
答案：③
授课提示：对应学生用书第44页
探究一 基本事件的计数问题
[典例1] 做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于8”包含的基本事件．
[解析] (1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
(2)事件“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
基本事件的两个探求方法：
(1)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以清楚地看出基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．
(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目．
1．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面：
(1)写出这个试验的所有基本事件；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
(3)记A＝“恰有两枚正面向上”这一事件，则事件A包含哪几个基本事件？
解析：(1)作树状图如图．
故所有基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
(2)基本事件的总数是8.
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
探究二 古典概型概率问题的求法
[典例2] 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)事件A：取出的两球都是白球；
(2)事件B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
[解析] 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数，即是从4个白球中任取两个的取法总数，共有6种，为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．
所以取出的两球都是白球的概率为P(A)＝＝.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)共8种．
所以取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝.
求古典概型概率的计算步骤：
(1)求出基本事件的总个数n.
(2)求出事件A包含的基本事件的个数m.
(3)求出事件A的概率
P(A)＝＝.
2．盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．
(1)从中取出1只，然后放回，再取出1只，求连续2只取出的都是正品的概率；
(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．
解析：(1)将灯泡中2只正品记为a1，a2，1只次品记为b1，画出树状图如图．
基本事件总数为9，连续2次取得正品的基本事件数是4，
所以其概率是P＝.
(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即a1a2，a1b1，a2b1(a1a2表示一次取出正品a1，a2)，“2只都是正品”的基本事件数是1，所以其概率是P＝.
探究三 与古典概型有关的综合问题
[典例3] 设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
[解析] 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，
方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的条件为a≥b.
基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含9个基本事件，为(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.
(1)注意放回与不放回的区别．
(2)在古典概型下，当基本事件总数为n时，每个基本事件发生的概率均为，要求事件A的概率，关键是求出基本事件总数n和事件A所包含的基本事件数m，再由古典概型概率公式P(A)＝求事件A的概率．
3．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
区间
10～20
20～30
30～40
人数
(2)从得分在20～30内的运动员中随机抽取2人，
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2人得分之和大于50的概率．
解析：(1)由得分记录表，从左到右应填4，6，6.
(2)①得分在20～30内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A10)，(A3，A11)，(A3，A13)，(A4，A5)，(A4，A10)，(A4，A11)，(A4，A13)，(A5，A10)，(A5，A11)，(A5，A13)，(A10，A11)，(A10，A13)，(A11，A13)，共15种．
②从得分在20～30内的运动员中随机抽取2人，将“这2人得分之和大于50”记为事件B，则事件B的所有可能结果有：(A4，A5)，(A4，A10)，(A4，A11)，(A5，A10)，(A10，A11)，共5种，所以P(B)＝＝.
树形图的应用
[典例] 某盒子中有红、黄、蓝、黑色彩笔各1支，这4支笔除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从盒中抽出1支，求基本事件总数．
[解析] 把这4支笔分别编号为1，2，3，4，则4个人按顺序依次从盒中抽取1支彩笔的所有可能结果用树状图直观地表示如图所示．
由树状图知共有24个基本事件．
[感悟提高] 利用树形图(表格)寻找基本事件的个数形象直观且不易出错.
[随堂训练] 对应学生用书第45页
1．下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个基本事件出现的可能性相等；
④已知基本事件总数为n，若随机事件A包含k个基本事件，则事件A发生的概率P(A)＝.
其中所有正确说法的序号是( )
A．①②④
B．①③
C．③④
D．①③④
解析：②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．故选D.
答案：D
2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( )
A.
B.
C.
D．1
解析：列举基本事件，从甲、乙、丙三人中任选两名代表可能的结果是(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种；甲被选中的可能结果是(甲，乙)，(甲，丙)，共2种，所以P(“甲被选中”)＝.
答案：C
3．从集合A＝{2，3，－4}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2，－3，4}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第二象限的概率为________．
解析：依题意k和b的所有可能的取法有(2，－2)，(2，－3)，(2，4)，(3，－2)，(3，－3)，(3，4)，(－4，－2)，(－4，－3)，(－4，4)，共9种，当直线y＝kx＋b不经过第二象限时，应有k>0，b<0，满足条件的取法有(2，－2)，(2，－3)，(3，－2)，(3，－3)，共4种，所以所求概率为.
答案：
4．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已有不同编号的3个黑球，从中任意摸出2个球．
(1)共有多少个不同的基本事件，这样的基本事件是否为等可能的？该试验是古典概型吗？
(2)摸出的两个球都是黑球记为事件A，问事件A包含几个基本事件？
(3)计算事件A的概率．
解析：(1)任意摸出两球，共有{白球和黑球1}，{白球和黑球2}，{白球和黑球3}，{黑球1和黑球2}，{黑球1和黑球3}，{黑球2和黑球3}，6个基本事件．
因为4个球的大小相同，所以摸出每个球是等可能的，故6个基本事件都是等可能事件．由古典概型定义知，这个试验是古典概型．
(2)摸出2个黑球包含3个基本事件．故事件A包含3个基本事件．
(3)因为试验中基本事件总数n＝6，而事件A包含的基本事件数m＝3.
所以P(A)＝＝＝.
PAGE2.3 互斥事件
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断.
重点：1.互斥事件与对立事件的定义.
2.两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式的应用.难点：互斥事件与对立事件的关系.
授课提示：对应学生用书第46页
[自主梳理]
1．互斥事件与对立事件
定义
公式
互斥事件
在一个随机试验中，我们把一次试验下不可能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件
(1)若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
(2)若A1，A2，…，An中任意两个事件互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
对立事件
事件“A不发生”称为A的对立事件，记作__，对立事件也称为逆事件，在每一次试验中，相互对立的事件A与不会同时发生，并且一定有一个发生
P()＝1－P(A)
2.事件A＋B
给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．
[双基自测]
1．某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事件，同时，也是对立事件．
答案：C
2．抽查10件产品，设A＝{至多有1件次品}，则事件A的对立事件是( )
A．至多有2件正品
B．至多有1件次品
C．至少有1件正品
D．至少有2件次品
解析：“至多有1件次品”与“至少有2件次品”不能同时发生，但必有一个发生．
答案：D
3．一种计算机芯片可以正常使用的概率为0.994，则它不能正常使用的概率是( )
A．0.994
B．0.006
C．0
D．1
解析：“计算机芯片可以正常使用”(设为事件A)和“计算机芯片不能正常使用”(设为事件B)是对立事件，且P(A)＝0.994，则P(B)＝1－0.994＝0.006.
答案：B
授课提示：对应学生用书第46页
探究一 互斥事件、对立事件的判断
[典例1] 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少1名男生与全是男生；
(3)至少1名男生与全是女生；
(4)至少1名男生与至少1名女生．
[解析] 从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果；两男或两女或一男一女．
(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．
(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件．
1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生，若能同时发生则这两个事件不是互斥事件，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．
2．判断两个事件是否为对立事件．主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．
1．已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生，从中任选2名去参加医德培训．下列各对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？并说明理由．
(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”；
(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”；
(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”；
(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”．
解析：(1)是互斥事件，但不是对立事件．
理由：所选的2名医生中，“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”，它与“恰有2名男医生”不可能同时发生，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能选出“恰有2名女医生”，因此二者不对立．
(2)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”，它们共同含有“1名男医生和1名女医生”，能够同时发生，因此不互斥也不对立．
(3)不是互斥事件，也不是对立事件．
理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，这与“全是男医生”能够同时发生，因此不互斥也不对立．
(4)是互斥事件，也是对立事件．
理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，它与“全是女医生”不可能同时发生，但其中必有一个发生，故它们既是互斥事件，又是对立事件．
探究二 互斥事件与对立事件的概率公式的应用
[典例2] 围棋是一种策略性两人棋类游戏，已知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机取出2粒，都是黑子的概率是，都是白子的概率是.
(1)求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率；
(2)求从中任意取出2粒恰好是不同色的概率．
[解析] (1)设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，则
P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，
即任意取出2粒恰好是同一色的概率是.
(2)设“从中任意取出2粒恰好是不同色”为事件D，
由(1)，知事件D与事件C是对立事件，且P(C)＝，
所以任意取出2粒恰好是不同色的概率P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
互斥事件与对立事件的概率计算的方法
解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪一公式．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是直接法：即将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是间接法：即先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．
2．向假设的三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的概率各为0.1，只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．
解析：设A、B、C分别表示“炸中第一、第二、第三个军火库”这三个事件，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又设D表示“军火库爆炸”这个事件，则有D＝A＋B＋C，其中A、B、C是彼此互斥的事件．
所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
探究三 互斥、对立事件与古典概型的综合应用
[典例3] 某市各种血型的人所占比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例(%)
28
29
8
35
已知同种血型的人之间可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，则：
(1)在该市任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)在该市任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
[解析] (1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输血给小明”为事件B′＋D′，
根据互斥事件的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输血给小明”为事件A′＋C′，并且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
法二：因为任找一个人，其血要么可以输给小明，要么不可以输给小明，两者为对立事件，所以不能输血给小明的概率为1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.
求复杂事件的概率通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．
3．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1中恰有1人被选中的概率．
解析：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，所以P(M)＝＝.
(2)法一：设“B1和C1恰有1人被选中”这一事件为N，则该事件有两种情况，B1被选中，C1没被选中和B1没被选中，C1被选中．用A表示“B1被选中，C1没被选中”这一事件，B表示“B1没被选中，C1被选中”这一事件，则A＝{(A1，B1，C2)，(A2，B1，C2)，(A3，B1，C2)}，B＝{(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}
所以P(N)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
法二：设“B1和C1中恰有1人被选中”这一事件为N，“B1和C1都被选中”这一事件为A′，“B1和C1都没被选中”这一事件为B′，则P(A′)＝＝，P(B′)＝＝.
所以P(N)＝1－P(A′)－P(B′)＝1－－＝.
转化与化归思想在概率中的应用
[典例] 玻璃盒中装有各色球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球，记事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．
(1)求“取出1球为红球或黑球”的概率；
(2)求“取出1球为红球或黑球或白球”的概率．
[解析] 由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
P(D)＝.
法一：(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以“取出1球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
法二：(1)“取出1球为红球或黑球”的对立事件为“取出1球为白球或绿球”，即A＋B的对立事件为C＋D，所以P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－P(C)－P(D)＝1－－＝，即“取出1球为红球或黑球”的概率为.
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即A＋B＋C的对立事件为D，所以P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－＝，即“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为.
[感悟提高] 当一个事件的概率较难求解，而对立事件的概率易求时，应用对立事件公式转化成求对立事件的概率，或是转化成几个易求解的互斥事件的和去求解．
转化与化归思想的核心是把陌生问题转化为熟悉的问题，事实上解题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程.
[随堂训练] 对应学生用书第48页
1．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．以上答案都不对
解析：两个事件不会同时发生但有可能均不发生，所以是互斥但不对立事件．
答案：C
2．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，i＝0，1，2，3，那么事件A＝A1＋A2＋A3表示( )
A．全部击中
B．至少有1发击中
C．必然击中
D．击中3发
解析：A1表示击中1发，A2表示击中2发，A3表示击中3发，则A＝A1＋A2＋A3表示至少击中1发．
答案：B
3．从一箱苹果中任取一个，如果其质量小于200
g的概率为0.2，质量在200～300
g内的概率为0.5，那么质量超过300
g的概率为( )
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
解析：质量超过300
g的概率为1－0.2－0.5＝0.3.
答案：B
4．某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：
年降水量(单位：mm)
[100，150)
[150，200)
[200，250)
[250，300)
概率
0.12
0.25
0.16
0.14
(1)求年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率；
(2)求年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率．
解析：记这个地区的年降水量在[100，150)(mm)、[150，200)(mm)、[200，250)(mm)、[250，300)(mm)范围内分别为事件A、B、C、D.这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有
(1)年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率是
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.
(2)年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率是
P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.
PAGE3 模拟方法——概率的应用
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系.
重点：几何概型的特点及概念.
难点：应用几何概型的概率公式求概率.
授课提示：对应学生用书第48页
[自主梳理]
1．几何概型
(1)向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1?G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关．即P(点M落在G1)＝，则称这种模型为几何概型．
(2)几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
2．几何概型概率的计算
几何概型的概率公式
在几何概型中，事件的概率的计算公式如下：
P(A)＝
[双基自测]
1．几何概型与古典概型的区别是( )
A．几何概型的基本事件是等可能的
B．几何概型的基本事件的个数是有限的
C．几何概型的基本事件的个数是无限的
D．几何概型的基本事件不是等可能的
解析：由几何概型和古典概型各自的特点对比可得答案C.
答案：C
2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析：四个选项中小明中奖的概率分别为，，，，故应选A中的游戏盘．
答案：A
3．在区间[－1，3]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：区间[－1，3]的区间长度为4.不等式|x|≤m的解集为[－m，m]，区间长度为2m，由＝，得m＝1.
答案：B
授课提示：对应学生用书第49页
探究一 与长度、角度有关的几何概型
[典例1] 某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10分钟的概率．
[解析] 设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图．
记等车事件大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上时，事件A发生，区域T1T2的长度为15，区域T1T的长度为5.所以P(A)＝＝＝.
(1)与长度有关的几何概型概率的求法
①与长度有关的几何概型问题的计算公式
如果试验的结果构成的区域的集合度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
②与长度有关的几何概型问题的三个解题步骤
a．找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，并计算区域D的长度．
b．找到事件A发生时对应的区域d，确定d的边界点是问题的关键．
c．利用几何概型概率公式求概率．
(2)与角度有关的几何概型概率的求法
①如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为
P(A)＝.
②解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．
1.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为75°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，且投到任何位置都有等可能的．那么他投中阴影部分的概率为________．
解析：圆盘对应的圆心角为360°，阴影部分对应的圆心角为75°，故投中阴影部分的概率P＝＝.
答案：
探究二 与面积有关的几何概型
[典例2] 一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上飞过，其中AD＝，DC＝2，BC＝1.它可随机落在该草原上任何一处，若落在扇形沼泽区域ADE以外，丹顶鹤能生还，求该丹顶鹤生还的概率．
[解析] 过点D作DF⊥AB于点F，如图所示．
在Rt△AFD中，因为AD＝，DF＝BC＝1，所以AF＝1，∠A＝，
所以梯形ABCD的面积S1＝×(2＋2＋1)×1＝.
扇形DAE的面积S2＝π×()2×＝.
根据几何概型的概率计算公式，得丹顶鹤生还的概率P＝＝＝1－.
在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P(A)＝计算事件的概率即可．
2.一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设正三角形的边长为a，圆的半径为R，则R＝a，所以正三角形的面积为a2，圆的面积S＝πR2＝πa2.由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P＝＝，故选B.
答案：B
探究三 与体积有关的几何概型
[典例3] 正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，在正方体内随机取一点M.求点M落在三棱锥B′－A′BC内的概率．
[解析] 记“点M落在三棱锥B′－A′BC内”为事件E.因为棱长为a的正方体的体积V＝a3，
由正方体的性质可知
VB′－A′BC＝SB′BC·A′B′＝a3.
故P(E)＝＝＝.
如果试验的结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积．其概率的计算公式为P(A)＝.
3．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使四棱锥M?ABCD的体积不超过(事件A)的概率．
解析：设M到平面ABCD的距离为h，则VM?ABCD＝S底面ABCD·h≤.又S底面ABCD＝1，
所以只要h≤即可．所有满足h≤的点组成以正方形ABCD为底面，为高的长方体，其体积为，又正方体的体积为1，所以使四棱锥M?ABCD的体积不超过(事件A)的概率为P(A)＝＝.
古典概型与几何概型的综合问题
[典例] (本题满分12分)已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．
(1)当x，y∈Z时，求点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；
(2)当x，y∈R时，求点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．
[规范解答] (1)由|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z，得基本事件总数n＝25，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点P的坐标有(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有6个，故所求概率P1＝.…………………………………………………6分
(2)如图所示，由|x|≤2，|y|≤2，x，y∈R，则构成该事件的总区域是边长为4的正方形，其面积为16，其中满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点构成所求事件的区域如图所示的阴影部分，其面积为×π×22＝π，故所求概率P2＝.………………12分
[规范与警示] 1.本题正确区分(1)(2)两问题是古典概型还是几何概型是解决本题的难点，也是易错点．
2．在问题(1)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z，故其基本事件的个数是有限的，且是等可能的，显然属于古典概型；正确求解基本事件总数及点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4，基本事件个数是求解本题的关键．
3．在问题(2)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈R，基本事件的个数是无限的，且是等可能的，故其属于几何概型，正确将其转化为面积之比是解决本题的关键．
[随堂训练] 对应学生用书第50页
1．已知集合M＝{x|－2≤x≤6}，N＝{x|0≤2－x≤1}，在集合M中任取一个元素x，则x∈M∩N的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为N＝{x|0≤2－x≤1}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{x|－2≤x≤6}，所以M∩N＝{x|1≤x≤2}，所以所求的概率为＝.
答案：B
2.任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依次类推，这样一共画了3个正方形，如图所示．若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形内的概率是________．
解析：利用几何概型，其测度为面积．
设大正方形的边长为1，面积为1，
∵第三个正方形的边长为，所以面积为×＝，
∴所投点落在第三个正方形内的概率为.
答案：
3．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．
解析：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝.
(2)P＝＝＝.
(3)P＝＝＝＝.
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