17.2 勾股定理逆定理 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
人教版
八年级下
17.2
勾股定理的逆定理
在数学的天地里，重要的不是我们知道
什么，而是我们怎么知道什么。
—毕达哥拉斯
新知导入
a
b
c
C
B
A
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c
，那么a2+b2=c2.
反过来，如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2
.那么这个三角形的形状怎样？
思考：
新知讲解
你知道古埃及怎样画直角的吗？如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.
1
4
8
(13)
工匠
助手
助手
新知讲解
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2
+
b2
=
c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2
+
b2
=
c2
互逆命题
新知讲解
互逆命题:
两个命题中,
如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,
而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题,
那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理:
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,
那么它也是一个定理,
这两个定理叫做互逆定理,
其中一个叫做另一个的逆定理.
新知讲解
定理与逆定理
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理,
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
逆命题:
内错角相等，两条直线平行.
成立
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.
不成立
新知讲解
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.
不成立
(4)全等三角形的对应角相等．
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.
不成立
感悟:
原命题成立时,
逆命题有时成立,
有时不成立
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
新知讲解
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2
+
b2
=
c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。且边C所对的角为直角。
a2
+
b2
=
c2
互逆命题
定理
新知讲解
勾股定理的逆命题证明
已知:在△ABC中，AB=c
BC=a
CA=b
且a2+b2=c2
求证:△
ABC是直角三角形
新知讲解
∵
∠
C’=900
∴
A’B’2=
a2+b2
∵
a2+b2=c2
∴
A’B’
2=c2
∴
A’B’
=c
∵
边长取正值
∴
△
ABC
≌△
A’B’C’（SSS）
∴
∠
C=
∠
C’(全等三角形对应角相等）
∴
∠C=
900
BC=a=B’C’
CA=b=C’A’
AB=c=A’B’
a
b
B'
C'
A'
证明:画一个△A’B’C’,使∠
C’=900,B’C’=a,
C’A’=b
在△
ABC和△
A’B’C’中
∴
△
ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
新知讲解
例1
判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)
a＝15
,
b
＝8
,
c＝17
(2)
a＝13
,
b
＝15
,
c＝14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82＝225＋64＝289
172＝289
∴
152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
例题讲解
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（m＞n，m、n是正整数）
解；（1)∵a2
=
225，
b2
=
64，
c2
=
289
又∵
225
+
64
=
289
∴
a2
+
b2
=
c2
即:
三角形是直角三角形
巩固练习
(2)∵a2
=
(m2
-
n2
)2
=
m4
-
2m2n2
+
n4,
b2
=
(m2
+
n2
)2
=
m4
+
2m2n2
+
n4,
c2
=
(2mn
)2
=
4m2n2
又∵m4
-
2m2n2
+
n4
+
4m2n2
=
m4
+
2m2n2
+
n4
∴
a2
+
c2
=
b2
即:
三角形是直角三角形
巩固练习
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1)
a=25
b=20
c=15
____
_____
;
(2)
a=13
b=14
c=15
____
_____
;
(4)
a:b:
c=3:4:5
_____
_____
;
是
是
不是
是
∠
A=900
∠
B=900
∠
C=900
(3)
a=1
b=2
c=
_
__
;
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
巩固练习
例2：
“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
P
E
Q
R
N
远航
海天
例题讲解
例3
：如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠
C=90度
求：绿地ABCD的面积。
例题讲解
B
A
D
24
20
25
7
15
C
例4：如图，有一块地，已知，AD=4m，
CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，
BC=12m。求这块地的面积。
A
B
C
3
4
13
12
D
24平方米
例题讲解
1、将下列长度的三木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（
）
(A)1,
2,
3
(B)4,
6,
8
(C)5,
5,
4
(D)15,12,
9
2、如果线段a、b、c能组成直角三角形,
则它们的比可能是（
）
（A）3:4:7;
（B）5:12:13;
（C）1:2:4;
（D）1:3:5.
D
B
小试牛刀
三角形的三边分别是a、b、c,
且满足
(a+b)2-c2=2ab,
则此三角形是:(
)
A.
直角三角形;
B.
是锐角三角形;
是钝角三角形;
D.
是等腰直角三角形.
小试牛刀
4、一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件
中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个
零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?
此时四边形ABCD
的面积是多少?
思维训练
5、
已知a、b、c为△ABC的三边,且
满足
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
试判断△ABC的形状.
思维训练
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
6、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则
是直角三角形吗？
思维训练
A
F
E
C
B
D
8如图:在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,
且CF=
CD.猜想△AEF的形状,并证明你的结论.
知识运用
解:
△AEF是直角三角形；
理由：设正方形ABCD的边长是a,则:
知识运用
9.已知a.b.c为△ABC的三边,且满足
a2c2
–
b2c2=a4
–
b4,试判断△ABC的形状.
解
∵
a2c2-
b2c2
=
a4
–
b4
(1)
∴
c2(a2
–
b2)
=
(a2+
b2)
(a2-
b2)
(2)
∴
c2
=
a2
+
b2
(3)
∴
△ABC是直角三角形
知识运用
问:
(1)
上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号＿＿＿
(2)
错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
(3)
本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿
3
a2-
b2可能是0
直角三角形或等腰三角形
知识运用
10、如图：在Δ
ABC中，AB=13㎝，BC=10㎝，BC边上的中线AD=12㎝，求证：AB=AC。
知识运用
证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD=1/2BC=5㎝
∵在△ABD中，AB=13，BD=5，AD=12
∴
BD2+AD2=52+122=169=AB2
∴
△ABD是直角三角形。
∴
△ACD也是直角三角形。
根据勾股定理得到：
∴AB=AC=13㎝
知识运用
满足
的三个
，称为勾股数。
正整数
你能写出常用的勾股数吗？
3，4，5；
5，12，13；
6，8，10；
7，24，25；
8，15，17
；9，40，41
课堂小结
课堂小结
探索
猜想
归纳
验证
应用
拓展
判定一个三角形是直角三角形的方法
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
角：
边：
如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
课堂小结
课堂小结
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