2020-2021学年八年级数学北师大版下册《第1章三角形的证明》课后提升训练(word版,附答案)

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名称 2020-2021学年八年级数学北师大版下册《第1章三角形的证明》课后提升训练(word版,附答案)
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资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2021-03-15 09:46:11

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文档简介

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》课后提升训练(附答案)
1.如图,△ABC中AC=BC,∠C=36°,BD平分∠ABC,图中等腰三角形的个数为(  )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为(  )
A.6米 B.9米 C.12米 D.15米
3.如图所示,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于R点,PS⊥AC于S点,PR=PS,则四个结论:①点P在∠A的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP,正确的结论是(  )
A.①②③④ B.只有①② C.只有②③ D.只有①③
4.如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABE,DE⊥BC,如果BC=10cm,则△DEC的周长是(  )
A.8cm B.10cm C.11cm D.12cm
5.如图,在△ABC中,AB=AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于D,若△DBC的周长为35cm,则BC的长为(  )
A.5cm B.10cm C.15cm D.17.5cm
6.在等腰△ABC中,∠A=50°,则∠B的度数不可能是(  )
A.50° B.60° C.65° D.80°
7.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为(  )
A.25° B.30° C.35° D.40°
8.如图,在△ABC中,AB=3,BC=9,以B为圆心,BA为半径画弧交BC于D,分别以A,D为圆心,大于AD为半径画弧交于点E,连接BE交AC于F,∠BAC=2∠AFB,则AF的长为(  )
A. B.2 C.3 D.4
9.如图,△ABC是等边三角形,AB=12,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则BE+CF的长是(  )
A.6 B.5 C.12 D.8
10.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=10,点M,N在边OB上,PM=PN,若NM=4,则OM的值(  )
A.2 B.3 C.4 D.5
11.下列语句:①钝角大于90°;②两点之间,线段最短;③明天可能下雨;④作AD⊥BC;⑤同旁内角不互补,两直线不平行.其中是命题的是   .
12.已知△ABC中,点D在BC边上,∠B=45°,∠C=60°,△ABD是等腰三角形,则∠DAC的度数是   .
13.如图,等边△ABC中,BE和CD分别是AC和AB边上的高,且相交于点F,则∠BFC度数为   .
14.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=11,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D、E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F、G,则△AEG的周长为   .
15.若实数x,y满足|x﹣4|+=0,则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为   .
16.如图,在△ABC中,直线l垂直平分BC,射线m平分∠ABC,且l与m相交于点P,若∠A=60°,∠ACP=15°,则∠ABP=   °.
17.在平面直角坐标系xOy中,已知点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,且∠ABO=60°,点Q在坐标轴上,△ABQ是等腰三角形,则满足条件的点Q共有   个.
18.如图,在△ABC中,∠ACB=∠ABC=40°,BD是∠ABC的角平分线,延长BD至点E,使得DE=DA,则∠ECA=   .
19.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点P为AB边上一点,EF垂直平分线段BP,EF与线段AD交于F,连接CF、PF,以下结论:①PF=CF;②∠PFC=120°,③∠PFE+∠ACF=90°;④∠PFA=∠DCF.其中一定正确的有   .(填序号即可)
20.如图,AD平分∠BAC,∠ABC=3∠C,BE⊥AD垂足为E,AB=8,BE=2.5,则AC=   .
21.在△ABC中,∠B=∠C,点D在BC上,点E在AC上,连接DE且∠ADE=∠AED.
{计算发现}
(1)若∠B=70°,∠ADE=80°,则∠BAD=   ,∠CDE=   .
{猜想验证}
(2)当点D在BC(点B,C除外)边上运动时(如图1),且点E在AC边上,猜想∠BAD与∠CDE的数量关系式,并证明你的猜想.
{拓展思考}
(3)①当点D在BC(点B,C除外)边上运动时(如图2),且点E在AC边上,若∠BAD=25°,则∠CDE=   .
②当点D在BC(点B,C除外)边上运动时(如图2),且点E在AC边所在的直线上,若∠BAD=25°,则∠CDE=   .
22.如图1,∠BAC=∠ACD=90°,∠ABC=∠ADC,CE⊥AD,且BE平分∠ABC.
(1)求证:∠ACE=∠ABC;
(2)求证:∠ECD+∠EBC=∠BEC;
(3)求证:∠CEF=∠CFE.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线AD与∠ABC的平分线BG相交于点E,过点E向AB边作垂线EF,DE与EF相等吗?说明你的理由.
24.如图,有以下四个条件:①AC∥DE,②DC∥EF,③CD平分∠BCA,④EF平分∠BED.
(1)若CD平分∠BCA,AC∥DE,DC∥EF,求证:EF平分∠BED.
(2)除(1)外,请再选择四个条件中的三个作为题设,余下的一个作为结论,写出一个真命题,再给予证明.
25.已知△ABC是等腰三角形.
(1)若∠A=100°,求∠B的度数;
(2)若∠A=70°,求∠B的度数;
(3)若∠A=α(45°<α<90°),过顶点B的角平分线BD与过顶点C的高CE交于点F,求∠BFC的度数(用含α的式子表示).
26.如图,已知等腰△ABC中,AB=AC,∠A<90°,CD是△ABC的高,BE是△ABC的角平分线,CD与BE交于点P.当∠A的大小变化时,△EPC的形状也随之改变.
(1)当∠A=44°时,求∠BPD的度数;
(2)设∠A=x°,∠EPC=y°,求变量y与x的关系式;
(3)当△EPC是等腰三角形时,请直接写出∠A的度数.
参考答案
1.解:由图可知,∵AC=BC,∴△ABC为等腰三角形,
∵∠C=36°,BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠DBA=∠C=36°
∴△CBD为等腰三角形,
∵∠BDA=∠C+∠CBD=72°=∠A
∴△BAD均为等腰三角形,
∴图中三角形共有三个.
故选:B.
2.解:如图,根据题意BC=3米,
∵∠BAC=30°,
∴AB=2BC=2×3=6米,
∴3+6=9米.
故选:B.
3.解:∵△ABC是等边三角形,PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴P在∠A的平分线上,∴①正确;
由①可知,PB=PC,∠B=∠C,PS=PR,∴△BPR≌△CPS,∴AS=AR,②正确;
∵AQ=PQ,∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,∴PQ∥AR,③正确;
由③得,△PQC是等边三角形,∴△PQS≌△PCS,又由②可知,④△BRP≌△QSP,④也正确
∵①②③④都正确,
故选:A.
4.解:∵BD平分∠ABE,DE⊥BC,DA⊥AB
∴AD=DE
又∵BD=BD
∴△BAD≌△BED(HL)
∴AB=BE
又∵AB=AC
∴BE=AC
BC=BE+EC=AC+EC=AD+DC+EC=DE+DC+EC=10cm
∴△DEC的周长是10cm,
故选:B.
5.解:∵△DBC的周长=BC+BD+CD=35cm(已知)
又∵DE垂直平分AB
∴AD=BD(线段垂直平分线的性质)
故BC+AD+CD=35cm
∵AC=AD+DC=20(已知)
∴BC=35﹣20=15cm.
故选:C.
6.解:当∠A为顶角时,则∠B==65°;
当∠B为顶角时,则∠B=180°﹣2∠A=80°;
当∠A、∠B为底角时,则∠B=∠A=50°;
∴∠B的度数不可能为60°,
故选:B.
7.解:∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD,
∴∠A=∠ACD
又∵CD平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠ACD=100°,
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣50°﹣100°=30°,
故选:B.
8.解:如图,过点F作FM⊥BC于M,FN⊥BA交BA的延长线于N.
∵BA=BD,AF=DF,BF=BF,
∴△ABF≌△DBF(SSS),
∴∠ABF=∠DBF,∠BAF=∠BDF,∠AFB=∠DFB,
∵FM⊥BC,FN⊥BA,
∴FM=FN,
∴==,
∴==3,
∴FC=3AF,
∵AB=DB=3,BC=9,
∴CD=9﹣3=6,
∵∠BAF=2∠AFB=∠AFD,
∴∠AFD=∠BDF,
∴∠CFD=∠CDF,
∴CF=CD=6,
∴AF=2,
故选:B.
9.解:设BD=x,则CD=12﹣x,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠BDE=30°,∠CDF=30°,
∴BE=BD=,
同理可得,CF=,
∴BE+CF=+=6,
故选:A.
10.解:过点P作PH⊥MN于H,
∵PM=PN,
∴MH=NH=MN=2,
∵∠AOB=60°,
∴∠OPH=30°,
∵OP=10,
∴OH=OP=5,
∴OM=OH﹣MH=3,
故选:B.
11.解:①钝角大于90°,是命题;
②两点之间,线段最短,是命题;
③明天可能下雨,没有对一件事情作出判断,不是命题;
④作AD⊥BC,没有对一件事情作出判断,不是命题;
⑤同旁内角不互补,两直线不平行,是命题;
故答案为:①②⑤.
12.解:∵△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=75°,
有两种情况:①如图1,AB=BD,
∵AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA,
∵∠B=45°,
∴∠BAD=∠BDA=(180°﹣∠B)=67.5°,
∵∠BAC=75°,
∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣67.5°=7.5°;
②如图2,AD=BD,
∵AD=BD,∠B=45°,
∴∠BAD=∠B=45°,
∵∠BAC=75°,
∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣45°=30°;
即∠DAC的度数是7.5°或30°,
故答案为:7.5°或30°.
13.解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∵BE和CD分别是AC和AB边上的高,
∴∠BEC=90°,∠ADC=90°,
∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣60°﹣90°=30°,
∴∠BFC=∠BEC+∠ACD=90°+30°=120°,
故答案为:120°.
14.解:∵DE是线段AB的垂直平分线,
∴EA=EB,
同理,GA=GC,
∴△AEG的周长=AE+EG+GA=EB+EG+GC=BC=11,
故答案为:11.
15.解:根据题意得,x﹣4=0,y﹣9=0,
解得x=4,y=9,
①4是腰长时,三角形的三边分别为4、4、9,
∵4+4=8<9,
∴不能组成三角形;
②4是底边时,三角形的三边分别为4、9、9,
能组成三角形,周长=4+9+9=22.
所以,三角形的周长为22.
故答案为:22.
16.解:设∠ABP=x,
∵BP平分∠ABC,
∴∠CBP=∠ABP=x,
∵直线l垂直平分BC,
∴PB=PC,
∴∠PCB=∠CBP=x,
∴60°+15°+x+x+x=180°,
解得,x=35°,即∠ABP=35°,
故答案为:35.
17.解:观察图形可知,若以点A为圆心,以AB为半径画弧,与x轴和y轴各有两个交点,
但其中一个会与点B重合,故此时符合条件的点有3个,Q1,Q2,Q3;
若以点B为圆心,以AB为半径画弧,同样与x轴和y轴各有两个交点,
但其中一个与点A重合,另一个与Q2重合,故此时符合条件的点有2个,Q4,Q5;
线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点,其中y轴上与Q2重合,此时符合条件的点有1个Q6.
∴符合条件的点总共有:3+2+1=6个.
故答案为:6.
18.解:在BC上截取BF=AB,连DF,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠FBD,
∵BD=BD,
∴△ABD≌△FBD(SAS),
∴DF=DA=DE,
又∵∠ACB=∠ABC=40°,∠DFC=180°﹣∠A=80°,
∴∠FDC=60°,
∴∠EDC=∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠A=180°﹣20°﹣100°=60°,
∴△DCE≌△DCF(SAS),
∴∠ECA=∠DCB=40°,
故答案为40°.
19.解:如图,
∵△ABC为等边三角形,AD⊥BC,
∴∠ABC=∠ACB=60°,AD垂直平分BC,AD平分∠BAC,
∴FB=FC,∠5=30°,
∵EF垂直平分线段BP,
∴FB=FP,
∴FP=FC,所以①正确;
∵FP=FB,FB=FC,
∴∠3=∠4,∠1=∠2,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=2(∠1+∠3)=2×60°=120°,
∴∠PFB+∠BFC=180°+180°﹣120°=240°,
∴∠PFC=360°﹣240°=120°,所以②正确;
∵∠ACF=60°﹣∠2=60°﹣∠1,∠PFE=90°﹣∠4=90°﹣∠3,
∴∠ACF+∠PFE=60°﹣∠1+90°﹣∠3=60°﹣(∠1+∠3)+90°=90°,所以③正确;
∵∠4=∠5+∠AFP,
∴∠AFP=∠4﹣30°=∠3﹣30°,
∵∠DCF=∠1,
而∠1+∠3=60°,
∴只有当∠3=45°,∠1=15°,∠PFA=∠DCF,所以④错误.
故答案为①②③.
20.证明:如图:延长BE交AC于点F,
∵BF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE,
在△ABE和△AFE中,

∴△ABE≌△AFE(ASA),
∴∠ABF=∠AFB,AB=AF=8,BE=EF=2.5,
∴BF=5,
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,
∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴∠C+2∠CBF=3∠C,
∴∠CBF=∠C,
∴BF=CF=5,
∴BE=BF=CF,
∴AC=AF+CF=8+5=13,
故答案为:13.
21.解:(1)∵∠B=∠C,∠ADE=∠AED,∠B=70°,∠ADE=80°,
∴∠C=70°,∠AED=80°,
∴∠CDE=∠AED﹣∠C=10°,
∠DAE=180°﹣∠ADE﹣∠AED=20°,
∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE=20°,
故答案为:20°;10°;
(2)∠BAD=2∠CDE.
理由如下:
设∠B=x,∠ADE=y,
∵∠B=∠C,
∴∠C=x,
∵∠AED=∠ADE,
∴∠AED=y,
∴∠CDE=∠AED﹣∠C=y﹣x,
∠DAE=180°﹣∠ADE﹣∠AED=180°﹣2y,
∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE=180°﹣x﹣x﹣(180°﹣2y)=2(y﹣x),
∴∠BAD=2∠CDE;
(3)①由(2)知,∠BAD=2∠CDE,
∴∠CDE=∠BAD=,
故答案为:12.5°;
②当E点在AC的延长线上时,AD<AC<AE,此时∠ADE≠∠AED,故点E不可能在AC的延长线上,
分两种情况:
当点E在线段AC上时,与①相同,∠CDE=12.5°;
当点E在CA的延长线上时,如图2,在AC边上截取AE′=AE,连接DE′,∵∠ADE=∠AED,
∴AE=AD=AE′,
∴∠ADE=∠AE′D,
由①知,∠CDE′=12.5°,
∴∠ADE+∠ADE′=∠AED+∠AE′D,
∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D=180°,
∴∠ADE+∠ADE′=∠AED+∠AE′D=90°,
∴∠CDE=90°+12.5°=102.5°.
故答案为:12.5°或102.5°.
22.证明:(1)∵CE⊥AD,∠ACD=90°,
∵∠ACE+∠ECD=∠D+∠ECD=90°,
∴∠ACE=∠D.
∵∠D=∠ABC,
∴∠ACE=∠ABC;
(2)∵∠BAC=∠ACD=90°,∠ABC=∠ADC,
∴∠ACB=∠DAC,
∴AD∥BC,
∵CE⊥AD,
∴CE⊥BC,
∴∠BEC+∠EBC=90°,
∵∠D+∠ECD=90°,∠D=∠ABC,
∴∠ABC+∠ECD=90°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠EBC
∴2∠EBC+∠ECD=90°,
∴2∠EBC+∠ECD=∠BEC+∠EBC,
即∠EBC+∠ECD=∠BEC;
(3)∵∠ABF+∠AFB=90°,∠AFB=∠CFE,
∴∠ABF+∠CFE=90°,
∵∠CBE+∠CEF=90°,∠ABF=∠CAE,
∴∠CEF=CFE.
23.解:DE=EF;
理由如下:
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,
∵BG平分∠ABC,EF⊥AB,
∴DE=EF.
24.(1)证明:∵CD平分∠BCA,
∴∠BCD=∠ACD,
∵DC∥EF,
∴∠BCD=∠BEF,∠DEF=∠CDE,
∵AC∥DE,
∴∠ACD=∠CDE,
∴∠BEF=∠DEF,即EF平分∠BED.
(2)解:如果EF平分∠BED,AC∥DE,DC∥EF,那么CD平分∠BCA.
证明:∵EF平分∠BED,
∴∠BEF=∠DEF,
∵DC∥EF,
∴∠BCD=∠BEF,∠DEF=∠CDE,
∵AC∥DE,
∴∠ACD=∠CDE,
∴∠BCD=∠ACD,即CD平分∠BCA.
25.解:(1)∵∠A=100°是钝角,
∴∠B=(180°﹣100°)=40°.
故∠B的度数为40°;
(2)若∠A为顶角,则∠B=(180°﹣∠A)÷2=55°;
若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°﹣2×70°=40°;
若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=70°;
故∠B=55°或40°或70°;
(3)∵∠A=α(45°<α<90°),
①当∠A为顶角时,如图:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=(180°﹣α),
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=ABC=(180°﹣α),
∴∠BFC=∠FEB+∠FBE=90°+(180°﹣α)=135°﹣α;
②当∠A为底角,∠B为底角时,如图:
∴∠BFC=∠FEB+∠FBE=90°+;
所以当∠A为底角时,最小值假设取45度,另一个底角也是45度,此时三角形ABC是直角三角形,
但是∠A 大于45°,所以两个底角的和一定大于90度,所以三角形ABC不可能是钝角三角形,
所以此种情况不存在.
当∠A为底角,∠B为底角时,∠C为顶角且为锐角时,如图:
∴∠BFC=∠FEB+∠FBE=90°+;
③当∠A为底角,∠B为顶角时,如图:
∵∠BFC+∠FBE=90°,
∠A+∠ABD=90°,
∵∠FBE=∠ABD,
∴∠BFC=∠A=α.
∵∠A 大于45°,所以等腰三角形ABC一定是锐角三角形,
∴此种情况不符合题意;
当A为底角,三角形是锐角三角形时,
如图,
∵AB=BC,BD平分∠ABC,
∴BD⊥AC,
∴∠ADF=90°,
∵CE⊥AB,
∴∠AEF=90°,
根据四边形内角和定理,得
∴∠BFC=180﹣a.
故∠BFC的度数为:135°﹣α;90°+;180°﹣α.
26.解:(1)∵AB=AC,∠A=44°,
∴∠ABC=∠ACB=(180﹣44)°÷2=68°,
∵CD⊥AB,
∴∠BDC=90°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=34°,
∴∠BPD=90°﹣34°=56°;
(2)∵∠A=x°,
∴∠ABC=(180﹣x)°÷2=(90﹣)°,
由(1)可得:∠ABP=∠ABC=(45﹣)°,∠BDC=90°,
∴∠EPC=y°=∠BPD=90°﹣(45﹣)°=()°,
即y与x的关系式为y=,
(3)设∠A=x°,∠EPC=y°,
①若EP=EC,
则∠ECP=∠EPC=y°,
而∠ABC=∠ACB=(90﹣)°,∠ABC+∠BCD=90°,
则有:(90﹣)°+(90﹣﹣y)°=90°,又y=,代入,
∴(90﹣)°+(90﹣)°﹣()°=90°,
解得:x=36;
②若PC=PE,
则∠PCE=∠PEC=(180﹣y)°÷2=(90﹣)°,
由①得:∠ABC+∠BCD=90°,
∴(90﹣)°+[(90﹣)°﹣(90﹣)°]=90°,
又y=,代入,
解得:x=;
③若CP=CE,
则∠EPC=∠PEC=y°,∠PCE=180°﹣2y°,
由①得:∠ABC+∠BCD=90°,
∴(90﹣)°+(90﹣)°﹣(180﹣2y)°=90°,又y=,代入,
解得:x=0,不符合,
综上:当△EPC 是等腰三角形时,∠A的度数为36°或()°