(共32张PPT)
09人教A版
必修二
7.1复数的概念
7.1.1
数系的扩充和复数的概念
7.1复数的概念
事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避．到16世纪，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，再也无法回避这个问题了，于是开始尝试解决．在解决这个问题的过程中，数学家们遇到了许多困扰，例如负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？等等．
本章我们将体会数学家排除这些困扰的思想，通过解方程等具体问题，感受引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、
运算及其几何意义，体会“数”与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用．
新知导入
问题
卡尔丹(Cardano,1501--1576)
将10分成两个部分，使它们的乘积等于40.
新知导入
计数的需要
正整数
零
自然数
数系的扩充
新知讲解
Z
Q
R
？
N
新知讲解
珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米.
吐鲁番盆地大约比海平面低155米.
+8844
-155
数系的扩充
新知讲解
中国是世界上最早认识应用负数的
国家.早在2000多年前的《九章算术》
中，就有正数和负数的记载．在古代人民
生活中，以收入钱为正，以支出钱为负．在
粮食生产中，以产量增加为正，以产量减
少为负．古代的人们为区别正、负数，常
用红色算筹表示正，黑色算筹表示负．
小贴士
数系的扩充
新知讲解
自然数集
整数
负整数
自然数
正整数
零
整
数
集
数系的扩充
新知讲解
自然数集
整
数
集
二桃杀三士
春秋时齐景公将两个桃子赐给公孙接、田开疆、古冶子论功而食，三人弃桃自杀。事见春秋·齐·晏婴《宴子春秋·谏下》，比喻借刀杀人。
数系的扩充
新知讲解
整数
负整数
自然数
正整数
零
分数
有理数
有理数集
自然数集
整
数
集
数系的扩充
数系的扩充
毕达哥拉斯（约公元前560—480年）
“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会．世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉．
有理数集
自然数集
整
数
集
新知讲解
数系的扩充
1
1
问题：边长为1的正方形的对角线长度为多少？
有理数集
自然数集
整
数
集
新知讲解
实
数
集
有理数集
自然数集
整
数
集
数系的扩充
整数
负整数
自然数
正整数
零
分数
有理数
无理数
实数
新知讲解
在解决求判别式小于0的实系数一元二次方程根的问题时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢？复数概念的引入与这种想法直接相关．
新知讲解
想一想，
这是为什么？
新知讲解
思考
把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律．那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？
新知讲解
实部和虚部都是实数
新知讲解
新知讲解
虚数集
实数集
纯虚数集
复数集
图7.1-1
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图7.1-1表示．
新知讲解
课堂练习
自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数
。
英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus
（石卵）演变来的。中国古藉《易．系辞》中说：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」
直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数理论。
自然数
课堂总结
零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空
位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya
）字，其原意也是「空」或「空白」。
中国最早引进了负数。《九章算术．方程》中论述的「正负数」，就是整数的加减法。减法的需要也促进
了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
整数
课堂总结
分
数
原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。
课堂总结
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要
引进无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即
）不能是有理数。
15世纪达芬奇（Leonardo
da
Vinci,
1452-
1519）
把它们称为是“无理的数”（irrational
number），开普勒（J.
Kepler,
1571-
1630）称它们是“不可名状”的数。
法国数学家柯西（A.Cauchy,1789-
1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。
由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。
无理数
课堂总结
实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学
家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯（1859年
开始）、梅雷（1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872
）作出了杰出的贡献。
实数
课堂总结
复数
从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开
平方的问题。卡尔达诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代
数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。
哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843年提出了「四元数」的概念，其后不久，凯莱又
用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为「超复数」，如果舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。
课堂总结
练习（第70页）
课堂练习
2．指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．为什么？
课堂练习
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数系的扩充和复数的概念
基础达标
1．复数i的虚部为( )
A．2
B．－
C．2－
D．0
解析：选C 由复数定义知C正确．故选C.
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2
B.
C．－
D．2
解析：选D 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2.故选D.
3．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C
B．A＝B
C．A∩(?SB)＝?
D．(?SA)∪(?SB)＝C
解析：选D 集合A，B，C的关系如图，可知只有(?SA)∪(?SB)＝C正确．故选D.
4．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3
B．3
C．－1
D．1
解析：选C 易知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，则a＝－1.故选C.
5．已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝( )
A．2
B．3
C．－3
D．9
解析：选B 因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故选B.
6．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
解析：易知解得a＝－4.
答案：－4
7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
8．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为______．
解析：因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，
所以解得a＝2.
答案：2
9．分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0.
解：(1)∵x，y∈R，
∴由复数相等的定义得
解得
(2)∵x∈R，∴由复数相等的定义得
即∴x＝3.
10．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1或m＝－2，故当m＝－1或m＝－2时，复数表示实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，求得m＝3，故当m＝3时，复数z是纯虚数．
(3)由lg(m2－2m－2)>0，且m2＋3m＋2>0，解得m<－2或m>3，故当m<－2或m>3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．
提升达标
1．复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1
B．1
C．－1
D．0或－1
解析：选C 因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1.故选C.
2．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A.
B．2
C．0
D．1
解析：选D 由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.故选D.
3．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i
B．3－I
C．－3－i
D．－3＋i
解析：选B 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得∴z＝3－i.故选B.
4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos
θ＋(λ＋3sin
θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A.
B.
C．[－1,1]
D.
解析：选D 由z1＝z2得消去m得λ＝4sin2θ－3sin
θ＝42－.由于－1≤sin
θ≤1，故－≤λ≤7.故选D.
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．
解析：若复数为纯虚数，则有
即∴a＝－1.
故复数不是纯虚数时a≠－1.
答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
6．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹方程是__________．
解析：由复数相等的充要条件知，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2
7．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
得得x＝－1，y＝2.
拓展训练
已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．
解：设a为方程的一个实数根，则有
a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0.
由复数相等的充要条件得
解得故实数m的值为.
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