(共28张PPT)
09人教A版
必修二
7.1复数的概念
7.1复数的概念
7.1.2
复数的几何意义
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示．复数有什么几何意义呢？
新知导入
O
x
y
b
a
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
这是复数的一种几何意义．
新知讲解
O
x
y
b
a
思考
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．你能用平面向量来表示复数吗？
这是复数的另一种几何意义．
O
x
y
b
a
在本书的第六章，我们提到复数的这种几何表示是由韦塞尔在1797年提出的．后来，阿尔冈出书对此进行讨论，并得到高斯的认同，因此这种几何表示也称阿尔冈图(Argand
diagram)
．正是这种直观的几何表示，揭开了复数的神秘的、不可思议的“面妙”，确立了复数在数学中的地位．
新知讲解
新知讲解
新知讲解
O
x
y
1
新知讲解
O
x
y
1
2
新知讲解
练习（第73页）
1．说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的边长为1)．
课堂练习
O
x
y
2．在复平面内，描出表示下列复数的点：
课堂练习
O
x
y
（1）这些复数对应的向量分别如图所示：
课堂练习
O
x
y
课堂练习
习题7.1（第73页）
1．符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂练习
x
y
O
A
B
C
课堂练习
O
x
y
课堂练习
x
y
O
课堂练习
x
y
O
O
x
y
课堂练习
O
x
y
9．如果复数的实部为正数，虚部为3，那么在复平面内，复数对应的点应位于怎样的图形上？
课堂练习
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复数的几何意义
基础达标
1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选C z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．故选C.
2．向量a＝(－2,1)所对应的复数是( )
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
解析：选D 向量a＝(－2,1)所对应的复数是z＝－2＋i.故选D.
3．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是( )
A．(1，)
B．(1，)
C．(1,3)
D．(1,5)
解析：选B |z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．故选B.
4．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为( )
A．－1＋i
B．1－i
C．－5－5i
D．5＋5i
解析：选D 因为由已知＝(2,3)，＝(－3，－2)，所以＝－＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，所以对应的复数为5＋5i.故选D.
5．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为( )
A．一个圆
B．线段
C．两点
D．两个圆
解析：选A ∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，表示一个圆．故选A.
6．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
解析：∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，
∴解得x>3.
答案：(3，＋∞)
7．复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.
答案：5
8．i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________.
解析：由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，∴xy＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝.
答案：1
9．在复平面内指出与复数z1＝－1＋i，z2＝2－i，z3＝－i，z4＝＋3i
对应的点Z1，Z2，Z3，Z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．
解：由题意知Z1(－1，)，Z2(2，－1)，Z3(0，－1)，Z4(，3)．如图所示，在复平面内，复数z1，z2，z3，z4对应的向量分别为，，，.
10．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：
(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．
解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足即－3(2)当实数x满足即2(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上．
提高达标
1．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选A ∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，
∴解得∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．故选A.
2．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1＋i或1＋i
D．－2＋i
解析：选A 由题意得解得a＝－1.
故z＝－1＋i.故选A.
3．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝( )
A．1＋2i
B．－1－2i
C．±1±2i
D．1＋2i或－1－2i
解析：选D 依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝得
＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.故选D.
4．设a，b∈R，i为虚数单位，则“ab>0”是“复数a－bi对应的点位于复平面上第二象限”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选B 由题意知，“ab>0”可推出或当a>0，b>0时，a－bi对应的点位于复平面上第四象限，当a<0，b<0时，a－bi对应的点位于复平面上第二象限，反之成立．所以“ab>0”是“复数a－bi对应的点位于复平面上第二象限”的必要不充分条件．故选B.
5．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
解析：由模的计算公式得
＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
答案：(x－2)2＋y2＝8
6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
解析：因为z1＝2－3i对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z2在复平面内对应点的坐标为(－2,3)，对应的复数为z2＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
7．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)因为点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，
所以点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos
2θ)，
所以＝(－cos2θ，cos
2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos
2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
所以对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sin
θ＝±.
又因为θ∈(0，π)，所以sin
θ＝，所以θ＝或.
创新达标
设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为.
(1)若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||；
(2)若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围．
解：(1)因为的终点Z在虚轴上，所以复数Z的实部为0，则有log2(m2－3m－3)＝0，所以m2－3m－3＝1.
所以m＝4或m＝－1；
因为所以m＝4，
此时z＝i，＝(0,1)，||＝1，
(2)因为的终点Z在第二象限内，则有
所以m∈.
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精品试卷·第
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