§3 解三角形的实际应用举例
关键能力·合作学习
类型一 测量距离问题(数学建模)
1.(2020·宿州高一检测)一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是
( )
A.10海里
B.10海里
C.20海里
D.20海里
2.(2020·洛阳高一检测)一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40°的方向直线航行,在行驶到某处时,该轮船南偏东20°方向10海里处有一灯塔,继续行驶20分钟后,轮船与灯塔的距离为
( )
A.17海里
B.16海里
C.15海里
D.14海里
3.在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这两支精锐部队之间的距离.
【解析】1.选B.根据已知条件可知,在△ABC中,AB=20海里,∠BAC=30°,
∠ABC=105°,所以∠C=45°,
由正弦定理,有=,
所以BC==10(海里).
2.选D.记轮船行驶到某处的位置为A,灯塔的位置为B,20分钟后轮船的位置为C,如图所示.
则AB=10,AC=6,∠CAB=120°,
所以BC2=102+62-2×10×6×=196,
所以BC=14,即20分钟后,轮船与灯塔的距离为14海里.
3.因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,
又∠DCA=60°,所以∠DAC=60°.
所以AD=CD=AC=a.
在△BCD中,∠DBC=45°,
因为=,所以BC=a.
在△ABC中,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos45°
=a2+a2-2×a×a×=a2.
所以AB=a.
所以蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.
求距离问题时应注意的三点
(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可到达的两点A,B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题,然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边.
【补偿训练】
如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者与A在河的同侧,在所在的河岸边先确定一点C,测出A,C的距离为50
m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为
( )
A.50
m
B.50
m
C.25
m
D.
m
【解析】选A.∠B=180°-45°-105°=30°,在△ABC中,由=,得AB=100×=50
(m).
类型二 测量高度问题(数学建模、数据分析)
【典例】在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600
m后测得仰角为2θ,继续在地面上前进200
m以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为
( )
A.200
m
B.300
m
C.400
m
D.100
m
【思路导引】利用余弦定理求出cos
2θ的值,再求出sin
4θ的值,最后求出山峰的高度.
【解析】选B.如图,△BED,△BDC为等腰三角形,
BD=ED=600
m,BC=DC=200
m.
在△BCD中,由余弦定理可得
cos
2θ==,
因为0°<2θ<90°,
所以2θ=30°,4θ=60°.
在Rt△ABC中,AB=BCsin
4θ=200×=300(m).
解与三角形有关的应用题的步骤
(1)准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语.
(2)画出示意图,并将已知条件在图形中标出.
(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解,并作答.
(2020·绵阳高一检测)要测量电视塔AB的高度,在C点测得塔顶的仰角是45°,在D点测得塔顶的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40
m,则电视塔的高度是
( )
A.30
m
B.40
m
C.40
m
D.40
m
【解析】选B.由题意,设AB=x,则BD=x,BC=x,在△DBC中∠BCD=120°,CD=40,所以根据余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠DCB,
即(x)2=x2+402-2×x·40·cos
120°,
整理得x2-20x-800=0,解得x=40或x=-20(舍去),
即所求电视塔的高度为40
m.
类型三 测量角度问题(数学建模)
【典例】如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.
【思路导引】缉私船最快截获走私船,缉私船应该走直线,可借助正余弦定理求解.
【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD=10t,BD=10t,
在△ABC中,由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos
∠CAB
=(-1)2+22-2(-1)·2·cos
120°=6.
所以BC=.又因为=,
所以sin∠ABC===,
又0°<∠ABC<60°,
所以∠ABC=45°,所以B点在C点的正东方向上,
所以∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理得=,
所以sin∠BCD===.
又因为0°<∠BCD<60°,所以∠BCD=30°,
所以缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,
所以∠D=30°,BD=BC,即10t=.所以t=小时≈15分钟.
所以缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.
(2020·益阳高一检测)如图,AD是某防汛抗洪大坝的坡面,大坝上有一高为20米的监测塔BD,若某科研小组在坝底A点测得∠BAD=15°,沿着坡面前进40米到达E点,测得∠BED=45°,则大坝的坡角(∠DAC)的余弦值为
( )
A.-1
B.
C.-1
D.
【解析】选A.因为∠BAD=15°,∠BED=45°,
所以∠ABE=30°.
在△ABE中,由正弦定理得=,
解得BE=20(-).
在△BED中,由正弦定理得=,
所以sin∠BDE==-1.
又∠ACD=90°,
所以sin∠BDE=sin(∠DAC+90°),
所以cos∠DAC=-1.
1.测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.解决航海问题三点注意
一要搞清方位角(方向角);
二要弄清不动点(三角形顶点);
三要根据条件,画出示意图,转化为解三角形问题.
补充:(1)方位角:指以观测者为中心,从正北方向线顺时针旋转到目标方向线所形成的水平角.如图所示的θ1,θ2即表示点A和点B的方位角.故方位角的范围是[0,2π).
(2)方向角:指以观测者为中心,指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,它是方位角的另一种表示形式.如图,左图中表示北偏东30°,右图中表示南偏西60°.
(3)仰角与俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平线上方时叫仰角,目标视线在水平线下方时叫俯角.(如图所示)
1.海上有A,B两个小岛相距10
n
mile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是
( )
A.10
n
mile
B.
n
mile
C.5
n
mile
D.5
n
mile
【解析】选D.在△ABC中,C=180°-60°-75°=45°.
由正弦定理得=,所以=,
解得BC=5
n
mile.
2.(2020·南昌高一检测)某海轮以30海里/小时的速度航行,在点A测得海面上油井P在南偏东60°方向上,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°方向上,海轮改为北偏东60°的航向再行驶40分钟到达C点.
(1)求PC间的距离;
(2)在点C测得油井的方位角是多少?
【解析】(1)在△ABP中,AB=30×=20,∠APB=30°,∠BAP=120°,
根据正弦定理得=,解得BP=20,
在△PBC中,BC=30×=20,
由已知得∠PBC=90°,故PC=40(海里).
(2)在△PBC中,∠PBC=90°,BC=20,PC=40,
所以sin∠BPC=,所以∠BPC=30°,
因为∠ABP=∠BPC=30°,所以CP∥AB,
所以在点C测得油井P在C的正南40海里处.
课堂检测·素养达标
1.已知A,B两地的距离为10
km,B,C两地的距离为20
km,观测得∠ABC=120°,则A,C两地的距离为
( )
A.10
km
B.10
km
C.10
km
D.10
km
【解析】选D.AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos
120°=700,
所以AC=10.
2.(2020·西安高一检测)某人向正东走了x
km后向右转了150°,然后沿新方向走了3
km,结果离出发点恰好
km,那么x的值是
( )
A.
B.2
C.3
D.2或
【解析】选D.由题作出示意图,如图所示,易知B=30°,AC=,BC=3,
由正弦定理得sin
A===,
因为BC>AC,所以A>B,
又因为B=30°,所以A有两解,即A=60°或A=120°.
当A=60°时,∠ACB=90°,x=2;
当A=120°时,∠ACB=30°,x=.
3.(教材二次开发:练习改编)(2020·太原高一检测)如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A的俯角β=45°.已知塔高60
m,则山高为 .?
【解析】在△ABC中,BC=60
m,∠BAC=15°,∠ABC=30°,
由正弦定理,得AC==30(+)(m),
所以CD=AC·sin
45°=30(+1)(m).
答案:30(+1)
m
4.如图所示,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸的标记物点C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120
m,则河的宽度为 .?
【解析】由三角形的内角和定理知∠ACB=75°,即∠ABC=∠ACB,所以AC=AB=120,在Rt△ACD中,∠CAD=30°,则CD=AC=60.
答案:60
m
5.(2020·厦门高一检测)如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为
( )
A.20海里
B.40海里
C.20(1+)海里
D.40海里
【解析】选A.在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,
由正弦定理可得=,
解得AD===20,
在Rt△DCB中,∠BDC=45°,
所以BD=CD=40,
在△ABD中,由余弦定理可得:AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=800+3
200-2×20×40×=2
400,
解得AB=20.
PAGE§2 三角形中的几何计算
关键能力·合作学习
类型一 求线段长度问题(直观想象)
1.(2020·镇江高一检测)已知△ABC中,AB=2,BC=3,CA=4,则BC边上的中线AM的长度为
( )
A.
B.
C.2
D.
2.在△ABC中,A=105°,B=30°,a=,则B的角平分线的长是
( )
A.
B.2
C.1
D.
3.如图所示,在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的长.
【解析】1.选A.延长AM至D,使MD=AM,连接BD,CD,如图所示:
由题意知四边形ABDC是平行四边形,
且满足AD2+BC2=2(AB2+AC2),
即32+(2AM)2=2(22+42),
解得AM=,
所以BC边上的中线AM的长度为.
2.选C.设B的角平分线的长为BD.
易知∠ACB=180°-105°-30°=45°,
∠BDC=180°-15°-45°=120°.
在△CBD中,有=,可得BD=1.
3.在△ABD中,由余弦定理
得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,
设BD=x,则有142=102+x2-2×10xcos
60°,
所以x2-10x-96=0,所以x1=16,x2=-6(舍去),
所以BD=16.在△BCD中,
由正弦定理知=,
所以BC=·sin
30°=8.
1.三角形的高的计算公式
在△ABC中,边BC,CA,AB对应的边长分别为a,b,c,边上的高分别记为ha,hb,hc,则ha=bsin
C=csin
B,hb=csin
A=asin
C,hc=asin
B=bsin
A.
2.求线段长度问题的解题策略
在平面几何中,求线段的长度往往归结为求三角形的边长,求三角形边长一般会涉及正弦、余弦定理及勾股定理,恰当地选择或构造三角形是解这类问题的关键.
【补偿训练】
(2020·福州高一检测)在△ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值
为
( )
A.4
B.3
C.2
D.
【解析】选A.在△ABC中,AB=2,C=,
则△ABC外接圆直径2R==4,AC+BC=4sin
B+4sin
A=4sin+4sin
A=4sin(A+θ),
其中sin
θ=,cos
θ=,由于0
所以0类型二 求角度问题(数学运算)
【典例】(2020·重庆高一检测)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin
A=
( )
A.
B.
C.
D.
【思路导引】作出图形,令∠DAC=θ,依题意可求得cos
θ,sin
θ,利用两角和的正弦即可求得答案.
【解析】选C.设△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,作AD⊥BC于D,令∠DAC=θ,如图所示:
在△ABC中,B=,AD⊥BC,则△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形,BC边上的高为AD=BC=,
所以BD=AD=,CD=,在Rt△ACD中cos
θ===,sin
θ==,
所以sin∠BAC=sin=sincos
θ+cos
sin
θ=.
求解角的问题的一般思路
先将问题转化到某个三角形中,常涉及边、角及面积等问题,用正、余弦定理作为解题的工具进行转化求解.
(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin
Bcos
C+csin
Bcos
A=b,且a>b,则B等于
( )
A.
B.
C.
D.
(2)如图,在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD=BD,BC=2BD,则sin
C的值是 .?
【解析】(1)选A.根据正弦定理知asin
Bcos
C+csin
Bcos
A=b等价于sin
Acos
C+sin
Ccos
A=,
即sin(A+C)=.
因为a>b,所以A+C=,所以B=.
(2)设AB=x,则AD=x,BD=x,BC=x.
在△ABD中,由余弦定理得
cos
A==,
则sin
A=.
在△ABC中,由正弦定理得==,
解得sin
C=.
答案:
类型三 平面几何中的面积及最值问题(数学运算、逻辑推理)
角度1 三角形面积求解问题?
【典例】(2020·启东高一检测)在△ABC中,AB=1,AC=,BC=2,D为△ABC所在平面内一点,且=2+,则△BCD的面积为
( )
A.2
B.
C.
D.
【思路导引】由题意作图得矩形,利用三角形面积公式求解即可.
【解析】选D.由题可作如图所示的矩形,则易知∠BCA=,则∠BCD=,则sin∠BCD=,所以S△BCD=×BC×DC×sin∠BCD=×2×3×=.
(2020·泰安高一检测)在△ABC中,已知A=60°,b=16,S△ABC=220,那么a等于
( )
A.20
B.41
C.49
D.51
【解析】选C.由于A=60°,b=16,S△ABC=220,
则S△ABC=bcsin
A=220,
解得c=55.
在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos
A=2
041,
解得a=49或a=-49(舍去).
角度2 三角形面积最值问题?
【典例】已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)·sin
B,求△ABC面积的最大值.
【思路导引】依据题设条件写出面积的表达式,然后求最值.
【解析】由正弦定理得a2-c2=(a-b)b,
即a2+b2-c2=ab.
由余弦定理得cos
C===,
因为C∈(0,π),所以C=.
所以S=absin
C=×2Rsin
A·2Rsin
B·
=R2sin
Asin
B=R2sin
Asin
=R2sin
A
=R2(sin
Acos
A+sin2A)
=R2
=R2.
因为A∈,所以2A-∈,
所以sin∈,
所以S∈,
所以面积S的最大值为R2.
1.公式
(1)三角形面积公式S=ah.
(2)三角形面积公式的推广
S=absin
C=bcsin
A=casin
B.
(3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).
2.求三角形面积取值问题的解题策略
一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系式(注意消元),再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积的最值.
1.(2020·西安高一检测)在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果a,b,c成等差数列,B=30°,△ABC的面积为,那么b=
( )
A.
B.1+
C.
D.2+
【解析】选B.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos
B
=(a+c)2-2ac-2accos
B,
又面积S△ABC=acsin
B=ac=,即ac=6.
因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b,代入上式可得b2=4b2-12-6,整理得b2=4+2,解得b=1+.
2.(2020·南昌高一检测)在△ABC中,已知B=45°,C=60°,a=2(+1),则△ABC的面积S= .?
【解析】A=180°-45°-60°=75°,=,=,所以b=4,S=absin
C=6+2.
答案:6+2
3.已知圆O的半径为,在它的内接△ABC中,有2(sin2A-sin2C)=(a-b)sin
B成立,求△ABC面积S的最大值.
【解析】因为△ABC的外接圆的半径R=,由已知条件得(2R)2(sin2A-sin2C)=2Rsin
B(a-b),
所以a2-c2=ab-b2,所以cos
C==,
因为C∈(0,π),所以C=,A+B=.
所以S=absin
C=ab=×4R2sin
Asin
B=
2sin
Asin=2sin
A
=2(sin
Acos
A+sin2A)=2
=sin+1.
所以当2A-=,
即A=时,面积S取得最大值+1.
课堂检测·素养达标
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=120°,c=2b,则cos
C=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
A,可得a2=b2+4b2+2b2=7b2,故a=b,故cos
C==.
2.△ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为,则其外接圆的直径为
( )
A.
B.
C.
D.9
【解析】选B.设另一条边的边长为x,
则x2=22+32-2×2×3×,所以x2=9,所以x=3.
设cos
θ=,则sin
θ=,
所以2R===.
3.(教材二次开发:练习改编)(2020·丹阳高一检测)在△ABC中,若AB=3,BC=,AC=4,则AC边上的高为
( )
A.
B.
C.
D.3
【解析】选B.由题意可知,cos
A==,
所以sin
A=.
又因为S△ABC=AB·AC·sin
A=·AC·h,
所以h=,
即AC边上的高为.
4.如图,在四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于
( )
A.
B.5
C.6
D.7
【解析】选B.连接BD,四边形面积可分为△ABD与△BCD两部分的和,由余弦定理得BD=2,
S△BCD=BC·CDsin
120°=,∠ABD=120°-30°=90°,
所以S△ABD=AB·BD=4,
所以S四边形ABCD=+4=5.
PAGE1.2 余
弦
定
理
导思
1.余弦定理的内容是什么?2.余弦定理可以解决哪些问题?
1.余弦定理
公式表达
语言描述
a2=b2+c2-2bccos
Ab2=a2+c2-2accos
Bc2=a2+b2-2abcos
C
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
【说明】对余弦定理的理解
(1)适用范围:余弦定理对任意三角形都成立.
(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.
(3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能:余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.
(1)余弦定理和勾股定理有什么关系?
提示:余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
(2)观察余弦定理的符号表示及推论,你认为余弦定理可用来解哪类三角形?
提示:①已知两边及其夹角,解三角形;
②已知三边,解三角形.
2.余弦定理的变形
cos
A=?__,cos
B=?__,?
cosC=?__.?
在△ABC中,若c2=a2+b2,则该三角形是什么三角形?
提示:因为c2=a2+b2,所以a2+b2-c2=0,故cos
C==0,所以C=90°,从而△ABC为直角三角形.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)余弦定理仅适用于锐角三角形或钝角三角形.
( )
(2)若已知两边和一边所对的角,不能用余弦定理解三角形.
( )
(3)在△ABC中,若sin2C>sin2A+sin2B,则△ABC为钝角三角形.
( )
(4)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解.
( )
提示:(1)×.余弦定理对任意三角形都成立.
(2)×.如已知a,b和A可利用公式a2=b2+c2-2bccos
A求c,进而可求角B和C.
(3)√.根据正弦定理可得c2>a2+b2,故a2+b2-c2<0,所以cos
C=<0,,故C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
(4)√.根据余弦定理可知第三边唯一,从而三角形确定,另外两角确定,故该三角形唯一.
2.某同学用三条长度分别为3,5,7的线段画出一个三角形,则他将
( )
A.画不出任何满足要求的三角形
B.画出一个锐角三角形
C.画出一个直角三角形
D.画出一个钝角三角形
【解析】选D.令长度较长的边所对的角为θ,则cos
θ=<0,所以他将画出一个钝角三角形.
3.(教材二次开发:例题改编)为测出小区的面积,进行了一些测量工作,所得数据如图所示,则小区的面积为
( )
A.
km2
B.
km2
C.
km2
D.
km2
【解析】选D.如图,连接AC,
AC==,
则∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABC是直角三角形,
所以S△ABC=.
因为∠DAC=∠DCA=15°,∠ADC=150°,
所以△ADC是等腰三角形,
3=2×AD2-2AD2cos
150°,AD2=6-3,
S△ADC=AD2sin
150°=.
S四边形ABCD=+=(km2).
关键能力·合作学习
类型一 余弦定理的应用(逻辑推理)
1.在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc,则A等于
( )
A.
B.
C.或
D.
2.在△ABC中,已知面积为S,且4S=a2+b2-c2,则角C的度数为
( )
A.135°
B.45°
C.60°
D.120°
3.在△ABC中,a∶b∶c=2∶∶,求△ABC中最大角的度数.
【解析】1.选D.因为a2=b2+c2+bc,
所以b2+c2-a2=-bc.
由余弦定理的推论得cos
A===-,
又02.选B.由cos
C=,可得a2+b2-c2=2abcos
C,
故由4S=a2+b2-c2得4××absin
C=2abcos
C,
整理可得tan
C=1,
又因为角C为△ABC的内角,所以C=45°.
3.因为a∶b∶c=2∶∶,
所以令a=2k,b=k,c=k(k>0),由b知C为△ABC最大内角,cos
C===-,又0°150°.
利用余弦定理解三角形的方法
(1)已知两边及一角解三角形有以下两种情况:
①若已知角是其中一边的对角,有两种解法,一种方法是利用正弦定理先求角,再求边;另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.
②若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边,然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求解.
(2)已知三角形的三边或其比值解三角形:
①已知三角形三边求角时,可先利用余弦定理求角,再用正弦定理求解,在用正弦定理求解时,要根据边的大小确定角的大小,防止产生增解或漏解.
②若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边解三角形.
【补偿训练】
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos
B=acos
C+ccos
A,则B=________.?
【解析】依题意得2b×=a×+c×,即a2+c2-b2=ac,
所以2accos
B=ac>0,cos
B=.
又0答案:
类型二 三角形的形状判断(逻辑推理、数学运算)
【典例】在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos
Asin
B=sin
C,确定△ABC的形状.
四步
内容
理解题意
判断三角形的形状,即判断该三角形是怎样的特殊三角形.
思路探求
可利用余、正弦定理,将2cos
Asin
B=sin
C化为三角形边或角之间的关系,进而得出结论.
书写表达
方法一:由正弦定理得=,由2cos
Asin
B=sin
C,有cos
A==.又由余弦定理得cos
A=,所以=,即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,即b2=c2.所以b=c,所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形.方法二:因为A+B+C=180°,所以sin
C=sin(A+B),又因为2cos
Asin
B=sin
C,所以2cos
Asin
B=sin
Acos
B+cos
Asin
B,所以sin(A-B)=0.又因为A与B均为△ABC的内角,所以A=B.又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab得(a+b)2-c2=3ab,所以a2+b2-c2+2ab=3ab,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理得cos
C===,又0°题后反思
本题求解的关键是正确应用正、余弦定理.
判断三角形形状的两条途径
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系;
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
提醒:在上述两种途径的等式变形中,一般两边不要直接约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
在△ABC中,已知(a2+c2-b2)cos2=acsin
Asin
B(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC为
( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选A.在△ABC中,因为(a2+c2-b2)cos2
=acsin
Asin
B,
所以·2cos2=sin
Asin
B,
由余弦定理得cos
B·2cos2=sin
Asin
B,
所以cos
B(cos
A+1)=sin
Asin
B,
即cos
Bcos
A-sin
Bsin
A+cos
B=0,
即cos(A+B)+cos
B=0,
即cos(π-C)+cos
B=0,
即cos
C=cos
B.即C=B.
即△ABC是等腰三角形.
类型三 正、余弦定理的应用(数学运算)
【典例】在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos
∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
【思路导引】(1)可利用正弦定理求出sin∠ADB,再求出cos∠ADB.
(2)可利用诱导公式求出cos∠BDC,再利用余弦定理求BC.
【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得=.
由题设知,=,
所以sin
∠ADB=.
由题意知,∠ADB<90°,
所以cos
∠ADB==.
(2)由题意及(1)知,cos
∠BDC=sin
∠ADB=.
在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos
∠BDC=25+8-2×5×2×=25.
所以BC=5.
设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C=2A,a+c=10,cos
A=.求:(1)的值;(2)b的值.
【解析】(1)因为cos
A=,所以由正弦定理得===2cos
A=.
(2)由(1)知=,
又a+c=10,两式联立得a=4,c=6.
由余弦定理得42=b2+62-12b×,
即b2-9b+20=0,解得b=4或b=5.
当b=4时,a=b,所以B=A,
又A+B+C=180°,且C=2A,所以A=B=45°,
所以cos
A=cos
45°=≠,不符合题意,舍去;
当b=5时,经检验符合题意,所以b=5.
综上知b的值为5.
正、余弦定理的综合应用
(1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段.
(2)在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理,还是余弦定理,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能利用某个定理的信息.
(3)解题时注意三角恒等变换的应用.
1.如图,在△ABC中,D是BC上的点,且AC=CD,2AC=AD,AB=2AD,则sin
B=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.根据题意设AD=2x,则AC=CD=x,AB=4x,在△ADC中,由余弦定理可得cos∠ADC==,所以sin∠ADB=sin∠ADC==,所以在△ADB中,由正弦定理得sin
B===.
2.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin
Bsin
C,则A的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由于sin2A≤sin2B+sin2C-sin
Bsin
C,
根据正弦定理可知a2≤b2+c2-bc,
故cos
A=≥.
又A∈(0,π),所以A的范围为.
3.(2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.
(1)若a=c,b=2,求△ABC的面积;
(2)若sin
A+sin
C=,求C.
【解析】(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×c2×cos
150°,解得c=-2(舍去),c=2,从而a=2.
△ABC的面积为×2×2×sin
150°=;
(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,
所以sin
A+sin
C=sin(30°-C)+sin
C=sin(30°+C),
故sin(30°+C)=.而0所以30°+C=45°,故C=15°.
课堂检测·素养达标
1.若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段
( )
A.能组成直角三角形
B.能组成锐角三角形
C.能组成钝角三角形
D.不能组成三角形
【解析】选B.因为三角形最大边对应的角的余弦值cos
θ==>0,所以能组成锐角三角形.
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin
A-bsin
B=4csin
C,
cos
A=-,则=
( )
A.6
B.5
C.4
D.3
【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,
由余弦定理推论可得-=cos
A=,
所以=-,
所以=,
即=×4=6.
3.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若<0,则△ABC
( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.是锐角或直角三角形
【解析】选C.因为=cos
C<0,
所以C为钝角,故△ABC为钝角三角形.
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,a=7,若△ABC的面积为,则其周长是________.?
【解析】根据余弦定理:a2=b2+c2-2bccos
A=b2+c2+bc=49.
根据面积公式:S=bcsin
A=bc=,
故bc=15.
故(b+c)2=b2+c2+bc+bc=64,
故b+c=8,故周长为15.
答案:15
5.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且2asin
B=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
【解析】(1)由2asin
B=b及正弦定理=,
得sin
A=.因为A为锐角,所以A=.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
A,得b2+c2-bc=36,
又b+c=8,所以bc=,
所以S△ABC=bcsin
A=××=.
PAGE第二章 解
三
角
形
§1 正弦定理与余弦定理
1.1 正
弦
定
理
导思
1.正弦定理的内容是什么?2.正弦定理可以解决哪些问题?
1.正弦定理
公式表达
语言描述
===2R.(R为△ABC的外接圆的半径)
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等(定值)
【说明】(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立;
(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式;
(3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边角关系的互化.
2.正弦定理的变形
(1)a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C(边化角).?
(2)sin
A=,sin
B=,sin
C=(角化边).
(3)a∶b∶c=sin
A∶sin
B∶sin
C(边角互化).?
(4)===.
(其中R是△ABC外接圆的半径)
(1)在△ABC中,如果已知边a,边b和角A,能否求出其他的角和边?
提示:利用=,可得sin
B=sin
A,求出角B,再利用C=π-A-B求出角C,最后利用=,
即c=求出边c.
(2)在△ABC中,若a>b,如何得到sin
A>sin
B?
提示:若a>b,则由a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,可得2Rsin
A>2Rsin
B,即sin
A>
sin
B.(R为△ABC的外接圆的半径)
3.三角形的面积公式
S=absin
C=bcsin
A=acsin
B=.
在△ABC中,已知边a,c和角B,选择哪个公式求△ABC的面积更好?
提示:S=acsin
B.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)正弦定理仅对于直角三角形成立.
( )
(2)在三角形中,相等的两边所对的角相等.
( )
(3)在△ABC中,若sin
A=,则A=.
( )
(4)在△ABC中,若sin
2A=sin
2B,则△ABC为等腰三角形.
( )
提示:(1)×.正弦定理对于任意三角形都成立.
(2)√.在三角形中,若a=b,则2Rsin
A=2Rsin
B,得sin
A=sin
B,所以A=B或A=π-B(舍去).
(3)×.A=时,sin
A=也成立.
(4)×.由sin
2A=sin
2B,可得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,即三角形ABC为等腰三角形或直角三角形.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,B=45°,a=,则b=
( )
A.2
B.1
C.
D.
【解析】选A.由正弦定理=得b====2.
3.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,若a=2,b=3,B=60°,则sin
A
=________.?
【解析】由正弦定理得sin
A===.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 利用正弦定理求解三角形的边与角(逻辑推理)
1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos
B等于
( )
A.-
B.
C.-
D.
2.在△ABC中,a=2,b=2,∠B=45°,则∠A为
( )
A.30°或150°
B.60°或120°
C.60°
D.30°
3.在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,求边b.
【解析】1.选D.由正弦定理得=,
所以sin
B===.
因为a>b,所以A>B,
又因为A=60°,
所以B为锐角,
所以cos
B==
=.
2.选B.由正弦定理得=,
所以sin
A===.
因为0°所以∠A=60°或120°.
3.因为=,
所以sin
C===,
因为0°所以C=60°或C=120°.
当C=60°时B=75°,
b===+1;
当C=120°时B=15°,
b===-1.
所以b=+1或b=-1.
1.正弦定理的表示形式
===2R,
或a=ksin
A,b=ksin
B,c=ksin
C(k>0).
2.正弦定理的应用范围
(1)已知两角和任一边,求其他两边和其余一角.
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其余两角.
3.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角.
(3)如果已知的角为小边所对的角,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.
类型二 判断三角形的形状(直观想象)
【典例】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin2B=bcos
Acos
B,则△ABC的形状是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【思路导引】根据正弦定理得到sin
Asin2B=sin
Bcos
Acos
B,化简得到-sin
Bcos(A+B)=0,计算得到答案.
【解析】选B.asin2B=bcos
Acos
B,
所以sin
Asin2B=sin
Bcos
Acos
B,
所以sin
B(sin
Asin
B-cos
Acos
B)=0,
即-sin
Bcos(A+B)=0.
因为0故△ABC是直角三角形.
判断三角形形状的方法
(1)判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手,从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或角与角的关系,从而进行判断.
(2)判断三角形的形状,主要看其是否为正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形等,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos
C+ccos
B=asin
A,则△ABC的形状为
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【解析】选B.因为bcos
C+ccos
B=asin
A,
所以由正弦定理可得sin
Bcos
C+sin
Ccos
B=sin2A,
sin(B+C)=sin2A?sin
A=sin2A,
所以sin
A=1,A=,
所以△ABC是直角三角形.
【拓展延伸】
正弦定理的作用
(1)解三角形(①已知两角和任一边,求其他两边和其余一角;②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其余两个角).
(2)证明化简过程中边角互化.
(3)求三角形外接圆半径.
【拓展训练】
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的外接圆的半径是3,a=3,则A=
( )
A.30°
B.60°
C.60°或120°
D.30°或150°
【解析】选D.根据正弦定理得=2R,
所以sin
A===,
因为0°所以A=30°或150°.
类型三 三角形的面积问题(数学运算)
【典例】(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos
A=,cos
C=,a=1,则△ABC的面积S=________.?
(2)已知在△ABC中,边a,b,c的对角分别为A,B,C,且a=,c=,C=,则△ABC的面积S=________.?
【思路导引】(1)可由余弦值,得出相应的正弦值,再求出其中的一边长,再利用面积公式求出三角形的面积.
(2)由正弦定理求sin
A从而求得∠A,∠B,再利用面积公式求出三角形的面积.
【解析】(1)在△ABC中,由cos
A=,cos
C=,
可得sin
A=,sin
C=,
sin
B=sin(A+C)=sin
Acos
C+cos
A·sin
C=,
又a=1,由正弦定理得b==.
所以S=absin
C=×1××=.
答案:
(2)由正弦定理知,sin
A=a=·=.
由a所以A∈,所以A=,
所以B=π-A-C=,
所以S=acsin
B=×××sin
=.
答案:
在△ABC中,∠A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积为
( )
A.4
B.4
C.2
D.
【解析】选C.因为在△ABC中,∠A=60°,AC=4,BC=2,
由正弦定理得=,
所以=,
所以sin
B=1,
所以∠B=90°,∠C=30°,
所以S△ABC=×2×4×sin
30°=2.
1.利用正弦定理求三角形面积的步骤
(1)依据已知条件,先确定应该求出哪个量.
(2)选择相应的边及相应的角,利用正弦定理求出所需要的量.
(3)利用面积公式求解.
2.求三角形面积的两点注意
一是注意选择哪类、哪个三角形面积公式;
二是要注意三角形内角和定理的应用.
1.在△ABC中,若a=3,cos
C=,S△ABC=4,则b=________.?
【解析】因为cos
C=,所以C∈,
所以sin
C==,
又S△ABC=absin
C=·3·b·=4,
所以b=2.
答案:2
2.在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,S△ABC=,则C=
( )
A.60°或120°
B.30°
C.60°
D.45°
【解析】选C.在△ABC中,AB=,AC=1,
S△ABC=AB·AC·sin
A=,
可得sin
A=1,
所以A=90°,
所以C=180°-A-B=180°-90°-30°=60°.
备选类型 三角形解的个数判断(数学运算、逻辑推理)
【典例】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=,A=,则B=
( )
A.
B.
C.或π
D.
【思路导引】根据正弦定理求解可得sin
B,然后根据a>b,可得B为锐角.
【解析】选B.由正弦定理得=,
所以sin
B===.
又因为b1.已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时有唯一解,三角形被唯一确定.
2.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.
在△ABC中,已知边a,边b和角A时,解的情况如下:
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
①a=bsin
A②a≥b
bsin
AaA
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
无解
一解
无解
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,b=10,则结合a的值解三角形有两解的为
( )
A.a=8
B.a=9
C.a=10
D.a=11
【解析】选B.由正弦定理知sin
B=,
由题意知,若a=b,则A=B=60°,只有一解;
若a>b,则A>B,只有一解;从而要使a的值解三角形有两解,则必有b>a,且0<
sin
B<1,即=<1,解得a>5,即75课堂检测·素养达标
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°,a=4,b=4,则B=
( )
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.以上都不对
【解析】选A.由正弦定理得=,
所以sin
B===,
因为a>b,所以A>B,所以B=45°.
2.在△ABC中,A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c等于
( )
A.1∶1∶
B.2∶2∶
C.1∶1∶2
D.1∶1∶4
【解析】选A.△ABC中,因为A∶B∶C=1∶1∶4,
所以三个内角分别为30°,30°,120°,
故a∶b∶c=sin
30°∶sin
30°∶sin
120°=1∶1∶.
3.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,角A,B,C所对边分别是a,b,c,若b=,c=3,且sin
C=,满足题意的△ABC有
( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.不能确定
【解析】选B.b=,c=3,b>c,C为锐角,且sin
C=,bsin
C=×=3=c,满足题意的△ABC有一个.
4.在△ABC中,已知a2tan
B=b2tan
A,则△ABC的形状是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选D.将a=2Rsin
A,b=2Rsin
B(R为△ABC外接圆的半径)代入已知条件,得sin2Atan
B=sin2Btan
A,
则=.
因为sin
Asin
B≠0,所以=,
所以sin
2A=sin
2B,
所以2A=2B或2A=π-2B,
所以A=B或A+B=,
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
5.在△ABC中,若a=2,C=,cos=,求△ABC的面积S.
【解析】因为cos
=,
所以cos
B=2cos2-1=.
所以B∈,所以sin
B=.
因为C=,所以sin
A=sin(B+C)
=sin
Bcos
C+cos
Bsin
C=.
因为=,
所以c==×=.
所以S=acsin
B=×2××=.
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