2020-2021学年八年级数学北师大版下册 第一章　三角形的证明 单元训练卷（word含答案）

北师大版八年级数学下册
第一章　三角形的证明
同步单元训练卷
一、选择题（共10小题，3
10=30）
1．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设(　　)
A．至少有一个内角是直角
B．至少有两个内角是直角
C．至多有一个内角是直角
D．至多有两个内角是直角
2．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　　)
A．25°
B．65°
C．70°
D．75°
3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝，则AB的长为(　　)
A．1
B.
C．2
D．4
4．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为(　　)
A．7
B．11
C．7或11
D．7或10
5．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，AD＝1，BC＝2，则四边形ABCD的面积是(　　)
A.
B．3
C．2
D．4
6.
如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为(　　)
A．2.5
B．1.5
C．2
D．1
7．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，且AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列说法错误的是(　　)
A．∠CAD＝30°
B．AD＝BD
C．BE＝2CD
D．CD＝ED
8．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
9．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
10．如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是(　　)
A.
B.
C.
D.
二．填空题（共8小题，3
8=24）
11．
命题“两条直线相交只有一个交点”的逆命题是____________________________________，它是________________命题．
12.
如图，将长为8
cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3
cm到D点，则橡皮筋被拉长了________．
13．
如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE＝1，则AB与CD之间的距离等于_______．
14．如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，那么AD的长为________．
15．
如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边上的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是__________.
16．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋PE的最小值是________．
17．等腰三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝AC，则等腰三角形ABC底角的度数为________．
18．
AB与CD相交于点O，AB＝CD，∠AOC＝60°，∠ACD＋∠ABD＝210°，则线段AB，AC，BD之间的等量关系式为_________________.
三．解答题（7小题，共66分）
19．(8分)
如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
20．(8分)
如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.
21．(8分)
如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE.
(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；
(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．
22．(10分)
用一条长为18
cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
(2)能围成有一边的长是4
cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
23．(10分)
如图，在等边△ABC中，AO是∠BAC的平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)延长BE至点Q，P为BQ上一点，连接CP，CQ，使CP＝CQ＝5，若BC＝8，求PQ的长．
24．(10分)
在△ABC中，∠B＝22.5°，边AB的垂直平分线DP交AB于点P，交BC于点D，且AE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DF与AE交于点G，求证：EG＝EC.
25．(12分)
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.点D是CA延长线上一点，连接BD，点E是BD上一点，连接CE交AB于点F，BD＝CF.
(1)如图①，当点E是BD的中点时，若BC＝4，求AF的长；
(2)在(1)的条件下，如图②，连接AE，求证：DE＋EF＝AE.
图①　　　　　　　　　图②　　　
参考答案
1-5BBCCA
6-10DCDBC
11.
只有一个交点的两条直线一定相交；真
12.
2cm
13.
2
14.
8
15.
16．4　
17．45°或15°或75°　
18.
AB2＝AC2＋BD2
19.
证明：过点A作AP⊥BC于P.∵AB＝AC，∴BP＝PC，∴AD＝AE，∴DP＝PE，∴BP－DP＝PC－PE，∴BD＝CE
20.
证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＋∠CAE＝∠DAC＋∠CAE，即∠CAB＝∠EAD.
又∵AB＝AD，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)．
∴∠C＝∠E.
21.
解：(1)证明：∵∠A＝∠ABE，∴EA＝EB.∵AD＝DB，∴DF是线段AB的垂直平分线．
(2)∵∠A＝46°，∴∠ABE＝∠A＝46°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝21°，∠F＝90°－∠ABC＝23°.
22.
解：(1)设底边长为x
cm，则腰长为2x
cm.依题意，得2x＋2x＋x＝18，解得x＝，∴2x＝.∴三角形三边的长为
cm，
cm，
cm
(2)若腰长为4
cm，则底边长为18－4－4＝10
cm.而4＋4＜10，所以不能围成腰长为4
cm的等腰三角形．若底边长为4
cm，则腰长为(18－4)＝7
cm.此时能围成等腰三角形，三边长分别为4
cm，7
cm，7
cm
23.
解：(1)证明：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE＝60°，即∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．(2)作CH⊥BQ于点H，图略．则PQ＝2HQ.在Rt△BHC中，由(1)得∠CBH＝∠CAO＝30°，∴CH＝BC＝4，在Rt△CHQ中，HQ＝＝＝3，∴PQ＝2HQ＝6.
24.
解：如图所示：
连接AD，∵∠B＝22.5°，且DP为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∴∠B＝∠BAD，∴∠ADE＝2∠B＝45°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE，∵AE⊥DE，∴∠1＋∠2＝90°，∵DF⊥AC，∴∠2＋∠C＝90°，∴∠1＝∠C.在△DEG和△AEC中，∴△DEG≌△AEC(AAS)，∴EG＝EC
25.
解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝4，∴AB＝AC＝2.
∵BD＝CF，AB＝AC，∴Rt△BAD≌Rt△CAF(HL)，∴∠DBA＝∠ACF.
∵∠EFB＝∠AFC，∴∠BEF＝∠FAC＝90°，∴CE⊥BD.∵BE＝DE，∴CB＝CD＝4，
∴AF＝AD＝CD－AC＝4－2.
(2)作AM⊥BD于点M，AN⊥EC于点N.∵△BAD≌△CAF，∴AM＝AN，∴∠AEM＝∠AEN＝45°，∴AM＝EM＝EN＝AN.∵AD＝AF，AM＝AN，∴Rt△AMD≌Rt△ANF(HL)，∴DM＝FN，∴DE＋EF＝EM＋DM＋EN－FN＝2EM，∵AE＝EM.∴DE＋EF＝AE.
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