1.1.2空间向量的数量积运算（共23张PPT）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课件

1.1.2空间向量的数量积运算
在空间任取一点O，作???????? =????，
???????? =???? ,则∠AOB叫做向量????, ????夹角，记作.
?
复习引入
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个平面向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
探究新知
思考1：如何定义两个非零空间向量的夹角呢？
如图，已知两个非零向量????, ????,
?
o
B
A
关键是起点相同！
解惑提高
1.空间两个向量的夹角
（1）向量????, ????同向
?
O
A
B
=0
?
O
A
B
O
A
B
（2）向量????, ????反向
?
=π
?
（3）= ????????
?
????⊥ ????
?
（4）非零向量????, ????的夹角的范围：
?
0?≤ ≤????????
?
（5）=
?
探究新知
思考2：如何定义两个非零空间向量的数量积呢？
2. 两个向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量????, ????，则 |????|·|????|cos叫做????, ????的数量积，记作????·????.即
????·????＝ |????|·|????|cos ．
?
注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于0.即
0·????=0
?
两个向量数量积的性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b?_______
②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________.
③特别地，a·a＝____或|a|＝
④若〈a，b〉为a，b的夹角，则cos〈a，b〉＝_______
⑤|a·b|≤|a|·|b|
3. 空间向量的数量积的性质
a·b＝0
|a|·|b|
－|a|·|b|
|a|2
????·????＝ |????|·|????|cos
?
解惑提高
向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a·b＝a·c?b＝c，a·b＝k?b＝????????，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．
?
解惑提高
4. 空间向量数量积运算律
（1）a·b＝
（2）(λa)·b＝
（3） a·(b＋c)＝
λ(a·b)
=a·(λb)
b·a
a·b＋a·c
（交换律）
（数乘结合律）
（分配律）
思考3：对应向量a,b,c,(a·b ) · c＝ a · (b·c)成立吗?
探究新知
思考4：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影，类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？
(1)如图，在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，
c＝ |a|cos????|????|，
?
a
a
c
b
则向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
(2)如图，在空间，向量a向直线l投影，若设直线l的方向向量为向量b，
a
a
c
l
????
?
则c＝ |a|cos????|????|称为向量a向直线l的投影.
?
则向量????′????′称为向量a在平面β上的投影向量．
?
探究新知
思考4：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影，类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？
(3)如图，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量????′????′，
?
这时，向量a ， ????′????′?的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
?
a
a
c
A
B
A’
B’
小试牛刀
小试牛刀
2.已知向量????, ????，满足|????|=????,|????|=????,?????????=????,则????+????=_____.
?
解：由?????????????=??????????????????????+????????=????，代入|????|=????,|????|=????,得
?
?????????=-2
?
∴????+????????=????????+?????????????+????????=1
?
∴?????+????=?????.
?
典型例题
空间向量数量积的运算
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????
?
????
?
????
?
????
?
例1 如图，在平行六面体?????????????????????′????′????′????′中，
????????=????，????????=????，????????′=????，∠????????????=????????°，∠????????????′=∠????????????′=????????°，求
(1) ?????????????????；(2) ????????′的长（精确到0.1）.
?
解： (1) ?????????????????=|????????||????????|????????????
?
=5×????×????????????????????°
?
=7.5
?
(2) ∵????????′=????????+????????+????????′
?
∴|????????′|2=(????????+????????+????????′) 2
?
=|????????|2+ |????????|2+ |????????′|2+2(?????????????????+?????????????????′+?????????????????′)
?
=????2+ ????2+ ????2+2(????×????×??????????????????°+????×????×????????????????????°+????×????×????????????????????°)
?
=98+562
?
∴?????????′≈????????.????
?
总结提升
在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.
(4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
O
A
B
C
小试牛刀
O
A
B
C
　已知正四面体OABC的棱长为1，求：
小试牛刀
典型例题
利用空间向量数量积证明垂直关系
例2 如图，????,????是平面????内的两条相交直线.如果????⊥????， ????⊥?????，求证： ????⊥????.
?
????
?
????
?
????
?
?????
?
????
?
分析：要证明????⊥????，就是要证明????垂直于????内的任意一条直线????
直线与平面平行的定义.如果我们能在????和????,????之间建立某种联系，并由????⊥????， ????⊥?????， 得到????⊥????，那么就能解决问题.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
典型例题
利用空间向量数量积证明垂直关系
例2 如图，????,????是平面????内的两条相交直线.如果????⊥????， ????⊥?????，求证： ????⊥????.
?
????
?
????
?
????
?
?????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
证明：在平面????内作任意一条直线????，分别在直线????, ????, ????, ????上取非零向量????,????,????,????.
?
因为直线????与????相交，所以向量????,????不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(????,????),使
?
????=????????+????????.
?
将上式两边分别与向量????作数量积运算，得
?
??????????=??????????????+??????????????.
?
因为??????????=????，??????????=0，所以??????????=0.
?
所以????⊥?????.
?
这就证明了直线????垂直于平面????内的任意一条直线，所以????⊥????.
?
总结提升
用向量法证明空间中垂直关系的一般步骤：
(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示所证向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题.
已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l?α，且l⊥OA.求证：l⊥PA.
因为l⊥OA，
所以l⊥PA.
小试牛刀
利用数量积求夹角
例3　BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
典型例题
总结提升
用向量法求异面直线夹角的方法：
课堂小结