2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章 1.1等腰三角形 同步测试题(word版含答案）

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章
1.1等腰三角形
同步测试题
(时间：100分钟　满分：100分)　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A的度数是(
)
A．70°
B．55°
C．50°
D．40°
2．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是(
)
A．76°
B．62°
C．42°
D．76°，62°或42°都可以
　　　
3．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为28°，则∠α的度数为(
)
A．28°
B．30°
C．32°
D．45°
　　　
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是(
)
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC
D．AB＝2BD
5．如图，在△ABC中，下列条件能说明△ABC是等边三角形的是(
)
A．AB＝AC，∠B＝∠C
B．AD⊥BC，BD＝CD
C．BC＝AC，∠B＝∠C
D．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
　　　　
6．若等边三角形的一条高为，则其边长为(
)
A．2
B．1
C．3
D．4
7．如图，在△ABC中，AC＝3，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(
)
A．3.5
B．4.2
C．5.8
D．7
8．如图，把两个同样大小的含30°角的直角三角板，按如图方式拼在一起，其中等腰三角形有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图，在等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点(不与点B，C重合)，过点P分别作AB，AC的平行线PM，PN，交AC，AB于点M，N，则下列数量关系一定正确的是(
)
A．PM＋PN＝AB
B．PM＋PN＝BC
C．PM＋PN＝2BC
D．PM＋PN＝AB＋BC
　　　
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE.若F是DE的中点，则CF的最小值为(
)
A．6
B．8
C．9
D．10
　　　　　
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)
11．在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设_______________，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
12．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝____________．
13．将一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1＋∠2＝____________．
　　　　
14．如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE＋∠DBC＝45°；④∠ACE＝∠DBC.正确的有____________．
　　　　
三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角．
16．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，则△ABD与△ACD全等吗？证明你的判断．
17．(9分)“三等分角器”是利用阿基米德原理做出来的．如图，∠AOB为要三等分的任意角，图中AC，OB两滑块可在角的两边内滑动，始终保持有OA＝OC＝PC.求证：∠P＝∠AOB.
18．(9分)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
19．(10分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H.
(1)求证：△APF是等腰三角形；
(2)猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
20．(10分)如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)求证：△ODE是等边三角形；
(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程；
(3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．(只要提出问题，不需要解答)
参考答案
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
C
A
D
D
A
C
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A的度数是(C)
A．70°
B．55°
C．50°
D．40°
2．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是(B)
A．76°
B．62°
C．42°
D．76°，62°或42°都可以
　　　
3．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为28°，则∠α的度数为(C)
A．28°
B．30°
C．32°
D．45°
　　　
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是(D)
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC
D．AB＝2BD
5．如图，在△ABC中，下列条件能说明△ABC是等边三角形的是(C)
A．AB＝AC，∠B＝∠C
B．AD⊥BC，BD＝CD
C．BC＝AC，∠B＝∠C
D．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
　　　　
6．若等边三角形的一条高为，则其边长为(A)
A．2
B．1
C．3
D．4
7．如图，在△ABC中，AC＝3，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(D)
A．3.5
B．4.2
C．5.8
D．7
8．如图，把两个同样大小的含30°角的直角三角板，按如图方式拼在一起，其中等腰三角形有(D)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图，在等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点(不与点B，C重合)，过点P分别作AB，AC的平行线PM，PN，交AC，AB于点M，N，则下列数量关系一定正确的是(A)
A．PM＋PN＝AB
B．PM＋PN＝BC
C．PM＋PN＝2BC
D．PM＋PN＝AB＋BC
　　　
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE.若F是DE的中点，则CF的最小值为(C)
A．6
B．8
C．9
D．10
　　　　　
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)
11．在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设三角形的三个内角都大于60°，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
12．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝3．
13．将一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1＋∠2＝130°．
　　　　
14．如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE＋∠DBC＝45°；④∠ACE＝∠DBC.正确的有①②③．
　　　　
三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角．
解：假设∠DAB是钝角或直角，
∵AB＝AC，AD是底边BC上的高，
∴∠BAC＝2∠DAB.
∵∠DAB是钝角或直角，
∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理．
∴假设不成立．
∴∠DAB是一个锐角．
16．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，则△ABD与△ACD全等吗？证明你的判断．
解：△ABD≌△ACD.证明如下：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠1＝∠2，
∴BD＝CD，∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠ABD＝∠ACD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
17．(9分)“三等分角器”是利用阿基米德原理做出来的．如图，∠AOB为要三等分的任意角，图中AC，OB两滑块可在角的两边内滑动，始终保持有OA＝OC＝PC.求证：∠P＝∠AOB.
证明：∵OC＝PC，
∴∠P＝∠COP.
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO.
∵∠ACO是△PCO的一个外角，
∴∠ACO＝∠P＋∠COP＝2∠P.
∴∠CAO＝∠ACO＝2∠P.
∵∠AOB是△PAO的一个外角，
∴∠AOB＝∠CAO＋∠P＝3∠P.
∴∠P＝∠AOB.
18．(9分)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
解：(1)证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE.
∵∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2.
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO.
∴∠1＋∠AED＝∠BEO＋∠AED，
即∠AEC＝∠BED.
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED(ASA)．
(2)∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.
在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，
∴∠C＝∠EDC＝69°.
∴∠BDE＝∠C＝69°.
19．(10分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H.
(1)求证：△APF是等腰三角形；
(2)猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
解：(1)证明：∵EF∥AD，∴∠BAD＝∠AFP，∠CAD＝∠P.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠AFP＝∠P.
∴AF＝AP，即△APF是等腰三角形．
(2)AB＝PC.
证明：∵CH∥AB，∴∠BCH＝∠B，∠H＝∠BAD，
∵EF∥AD，
∴∠BAD＝∠BFE.
∴∠H＝∠BFE.
在△CDH和△BEF中，
∴△CDH≌△BEF(AAS)．
∴BF＝CH.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠CAD＝∠H.
∴AC＝CH.
∴AC＝BF.
∵AB＝AF＋BF，PC＝AP＋AC，
∴AB＝PC.
20．(10分)如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.
(1)求证：△ODE是等边三角形；
(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程；
(3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．(只要提出问题，不需要解答)
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
(2)BD＝DE＝EC.
理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠OBD＝30°.
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠ABO＝30°.
∴∠OBD＝∠BOD.
∴DB＝DO.
同理，EC＝EO.
由(1)知，△ODE是等边三角形，
∴DE＝OD＝OE.
∴BD＝DE＝EC.
(3)答案不唯一，如：①连接AO，并延长交BC于点F，求证：△ABF是直角三角形；
②若等边△ABC的边长为1，求BC边上的高．