黑龙江省双鸭山市重点中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学（理）试卷 Word版含答案

高二 数学（理科）
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷（12题：共60分）
一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）
1．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种
2．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是（ ）
0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179
A．36 B．16 C．11 D．14
3．将十进制数19转化为二进制数为（ ）
A． B． C． D．
4．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）
A．10 B．11
C．12 D．13
5．2021年是中国共产党建党100周年.某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌.仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．下列命题正确的有（ ）
①用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好；
②若一组数据8，12，x，11，9的平均数是10，则其方差是2；
③回归直线一定过样本点的中心()；
④若相关系数，则两个变量之间线性关系性强.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．执行如图所示的程序框图，若输出的值为7，则框图中①处可以填入（ ）　　
A． B． C． D．
9．已知M是抛物线上一点．F为其焦点，C为圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．某中学早上8点开始上课，若学生小明与小方均在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早5分钟到校的概率为(　　)
A． B． C． D．
11．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( 　)
A． B． C． D．
12．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（10题：共90分）
二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分)
13．如图，在正方体中，上底面中心为，则异面直线与所成角的余弦值为______
14.位同学其中男生女生排成一排照相，男生不相邻的排法有___________种
15.已知为双曲线的左焦点，为上的点.若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为__________．
16.验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.
三、解答题（包括6小题，共70分）
17．（10分）有四个编有1?2?3?4的四个不同的盒子，有编有1?2?3?4的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里.
（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？
（2）在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？
（3）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
18．（12分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.
（1）求出直方图中的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）；
（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.
19．（12分）如图，在直四棱柱中，，，，，分别为的中点，
（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）已知某种新型病毒的传染能力很强，给人们生产和生活带来很大的影响，所以创新研发疫苗成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上这种新型冠状病毒的疫苗的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：
研发费用（百万元） 2 3 6 10 13 14
销量（万盒） 1 1 2 2.5 4 4.5
（1）根据上表中的数据，建立关于的线性回归方程（用分数表示）；
（2）根据所求的回归方程，估计当研发费用为1600万元时，销售量为多少？
参考公式：，.
21．（12分）在三棱柱中，侧面，，，．
（1）求证：；
（2）若E为棱的中点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小．
22．（12分）已知椭圆：过点且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，分别为的左右顶点，为直线上的任意一点，直线，分别与相交于、两点，连接，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标.
答案
1．B
解：由题意可知，分三步完成：
第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；
第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；
第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，
根据分步计数原理，共有不同的选取方法，
2．C
利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至由一次读取，
即47开始读取，在编号范围内的提取出来，可得，
则选出来的第5个零件编号是.
3．C
19÷2=9…1，9÷2=4…1，4÷2=2…0，2÷2=1…0，1÷2=0…1，故19(10)=10011（2）.
4．C
试题分析：：∵甲组学生成绩的平均数是88，
∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3
又乙组学生成绩的中位数是89，∴n=9，
∴m+n=12
5．B
命题：“没有共产党就没有新中国”，即是“如果没有共产党，那么就没有新中国”；
其逆否命题为“如果有新中国，那么就有共产党”；
即根据“有新中国”能推出“有共产党”，所以“有共产党”是“有新中国”的必要条件.
6．C
用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好；所以①错误；
若一组数据8，12，x，11，9的平均数是10，则，其方差是，所以②正确；
回归直线方程一定过样本点的中心()，所以③正确；
因为相关系数越大，两个变量之间线性关系性越强，因此若相关系数，则两个变量之间线性关系性强.即④正确
7．A
从五种书体中任意选两种进行研习，共有种，则不选草书体共有种，
则不选草书体的概率为.
8．C
第一次循环：，不满足条件，；
第二次循环：，不满足条件，；
第三次循环：，不满足条件，；
第四次循环：，不满足条件，；
第五次循环：，不满足条件，；
第六次循环：，不满足条件，；
第七次循环：，满足条件，输出的值为7．
所以判断框中的条件可填写“”．
9．B
作垂直准线，垂足为，根据抛物线的定义有，，当且仅当在同一直线上时取等号，此时取得最小值，最小值为3.
10．D
设小明到校时间为，小方到校时间为
可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为
是一个矩形区域，
对应的面积
则小明比小方至少早分钟到校事件，作出符合题意的图象
则符合题意得区域为，联立
，得，由，得
则，由几何概率模型可知小明比小方至少早分钟到校的概率为
.
11．D
以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
点到平面的距离为
.
12．C
由题可知，
即，
在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得
即，整理得
易得面积
又的内切圆的半径为，利用等面积法可知，
所以
由已知，得，则，即
在中，利用正弦定理知
即，又，整理得
两边同除以，则，解得或（舍去）
13．
由题意，连接和，设正方体的棱长为，则，
在正方体中，可得，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设，
在直角中，可得
在直角中，可得.
14．
先将名女生排序，然后将名男生插入名女生所形成的空位中，
所以，男生不相邻的排法种数为.
15．40
由双曲线方程得，则虚轴长为6，线段过点为双曲线的右焦点，，,的周长为
16．
根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
所以该验证码的中间数字是7的概率为.
17．（1）种；（2）；（3）种.
（1）每个球都有4种方法，故有种
（2）从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法.概率为：
（3）每个盒子不空，共有，种．
18．（1）（2）平均数为71，中位数为73.33（3）
（1）由，
得.
（2）平均数为，
设中位数为，
则，得.
故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.
（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.
记这3个一等品为，，，2个二等品为，，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：，，，，，，，，，，共10种，
其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：，，，，，.共6种.
故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为.
19．（1）证明见解析；（2）.
解：（1）连接，，易知侧面为矩形，
为的中点，为的中点.
为的中点，
平面，平面
平面
（2）在平面中，过点作，易知平面，
故以为原点，分别以所在直
线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，
则，，
， ，
，，
设平面的法向量为，
由 即 ， 解得
令 得，所以
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．（1）；（2）销售量为47769盒.
（1），，
，，，
，
（2）当时，代入回归方程（万盒）（盒）
当研发费用为16000000时，销售量为47769盒.
21．（1）证明见详解；（2）.
解：（1）三角形中，，，，
利用余弦定理可得，，即，
故，又侧面，建立如图空间直角坐标系，设,.
则，，，，
则，故，
所以，即；
（2）由，，且相交于平面内，故平面，即是平面的法向量，由E为棱的中点知，，
因为与平面所成角的正弦值为，则，
故，解得，
则，，,
设平面法向量为，由得，即，
设平面的法向量为，由得，即 ，
则，又由图可知二面角是锐二面角，
故二面角的大小为.
22．（1）；（2）证明见解析；定点（4，0）.
（1）由题可知，，解得：，，，
椭圆的标准程为：；
（2）由题知有斜率，设直线方程为，，，
联立椭圆得，
，
设，∵、、三点共线，，∴，
同理、、三点共线，，∴，
∴，两式相除得：
，
化简得，即，
，解得或
当时，直线的方程为，恒过点（1，0），当点不在轴时，，故不满足，舍去；
当时，直线的方程为，恒过点（4，0），符合题意，
综上，直线恒过定点.