黑龙江省双鸭山市重点中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学（文）试卷 Word版含答案

数学（文）试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。）
1．已知命题，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．若，满足约束条件，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．“椭圆的离心率为”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．下列说法正确的是（ ）
①；
②用辗转相除法求得459和357的最大公约数是61；
③能使的值为3的赋值语句是；
④用秦九韶算法求多项式在的值时，的值是5；
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
6．采用系统抽样的方法，从编号为1～50的50件产品中随机抽取5件进行检验，则所选取的5件产品的编号可以是（ ）
A．1，2，3，4，5 B．2，4，8，16，32
C．3，13，23，33，43 D．5，10，15，20，25
7．圆上动点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（ ）
A．0.32 B．0.48 C．0.68 D．0.82
9．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则正实数为（　　）
A． B． C． D．
10．直线与双曲线有且只有一个公共点，则的取值有（ ）个
A． B． C． D．
11．设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
12．在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．根据下边的程序框图所表示的算法，输出的结果是__________．
14．如图所示的茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为__________．
15．直线被抛物线截得的弦长为_________．
16．焦点在轴上的椭圆，其左、右焦点分别为，，直线经过，且与该椭圆交于，两点，若，且垂直于轴，则______.
三、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18-22题，每小题12分，共70分。）
17．已知命题直线和直线垂直；命题三条直线将平面划分为六部分．若为真命题，求实数的取值集合．
18．求过点且与圆相切的切线方程.
在三棱柱中，平面、平面、平面两两垂直.
（Ⅰ）求证：两两垂直；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.
20．随着人们生活水平的提高，越来越多的人愿意花更高的价格购买手机，某机构为了解市民使用手机的价格情况，随机选取了100人进行调查，并将这100人使用的手机价格按照，，……，分成6组，制如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这100个数据的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中间作代表)；
（3）利用分层抽样从手机价格在和的人中抽取人，来自的有几人？
21．已知动点到点（为常数且）的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上．
（1）求动点的轨迹的方程，并求t的值；
（2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹交于两点，点是线段的中点，求直线的方程．
22．在平面中，已知椭圆过点，且离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l方程为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值．
答案
1．D
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题可得.
【详解】
根据全称命题的否定为特称命题，
则是“，”.
故选：D.
2．D
【分析】
根据题意，画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解函数的最值，即可推出结果．
【详解】
由实数满足约束条件作出其对应的可行域，如图中阴影部分所示，
可知在处取得最小值-18，在处取得最大值6，
故的取值范围是.
故选：D．
3．D
【分析】
根据直线经过椭圆的右焦点和上顶点，将坐标代入直线方程求解.
【详解】
椭圆的右焦点和上顶点，
因为直线经过椭圆的右焦点和上顶点，
所以，
所以 ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查椭圆的几何性质以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．C
【分析】
由充分条件和必要条件的定义，结合椭圆的性质进行判断即可
【详解】
由椭圆的离心率为，得或；
由，得椭圆的离心率为．
故“椭圆的离心率为”是“”的必要不充分条件．
故选：C
5．C
【分析】
①由进制数的换算可判断；②由辗转相除法的特点计算可判断；③由赋值语句的特点可判断；④由秦九韶算法的特点可判断.
【详解】
①，正确．
② 由；；
所以 459 和 357 的最大公约数是 51，故错误．
③能使的值为3的赋值语句是，故错误．
④
即
所以在的值时，的值5，正确．
所以①④正确
故选：C
6．C
【分析】
根据系统抽样的概念确定．
【详解】
系统抽样，方法是50个编号后，按顺序平均分布5组，然后抽取的5个编号成等差数列，第一个在1-10之间，最后一个在41-50之间，因此只有C符合．
故选：C.
【点睛】
本题考查系统抽样，掌握系统抽样的概念即可．属于简单题．
7．A
【分析】
求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解.
【详解】
∵圆，∴圆心，半径，
∴圆心到直线的距离，
∴圆上的点到
直线的距离最小值为，
故选：A.
8．C
【分析】
由题意可知，求出的值，从而可求出椭圆的离心率
【详解】
解：由题意得，解得，
所以离心率，
故选：C
9．A
【分析】
求出椭圆焦点为，列出等式计算即可.
【详解】
的焦点为，则
故，则
故选：A
10．D
【分析】
将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的值，即可得解.
【详解】
联立，
消去并整理得，
由于直线与双曲线有且只有一个公共点，
所以，或，
解得或，
对于方程，判别式为，方程有两个不等的实数解.
显然不满足方程.
综上所述，的取值有个.
故选：D.
11．A
【分析】
利用点差法，设出，两点的坐标求出中点的坐标，根据题意表示出，再利用，，平方差法代入可得答案．
【详解】
解：由题意得：设，，，则中点，，
所以，，
所以，
又因为点，，在椭圆上，
所以，，
所以得，
所以．
故选：．
12．B
【分析】
根据椭圆的定义可求，利用其范围可求离心率的范围.
【详解】
解：根据椭圆定义，
将代入得|，
根据椭圆的几何性质，，故即，
故，又，故该椭圆离心率的取值范围为
故选：B．
13．2
【解析】
该算法的第步分别将，，赋于，，三个数，第步使取的值，即取值变成，第步使取的值，即的值也是，第步让取的值，即取值也是，从而第步输出时，的值是，故答案为2.
14．2
【分析】
根据甲、乙二人的平均成绩相同求出的值，再根据方差的定义得出甲的方差较小，求出甲的方差即可.
【详解】
根据茎叶图中的数据，由于甲、乙二人的平均成绩相同，
即，
解得=2，所以平均数为；
根据茎叶图中的数据知甲的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），
.
故答案为：2
15．.
【分析】
根据直线与圆锥曲线的弦长公式，即可求解.
【详解】
联立方程组，整理得，可得，
设直线与抛物线的交点为，
由弦长公式，可得，
即截得的弦长为.
故答案为：.
16．
【分析】
由方程表示椭圆可确定椭圆的值及的取值范围；根据垂直于轴可求得点坐标，由共线向量可得点坐标，代入椭圆方程可构造方程求得结果.
【详解】
椭圆方程可化为：.
椭圆焦点在轴上，，即椭圆，，.
轴，，，
，，代入椭圆方程得：，
解得：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆与平面向量的综合应用问题，涉及到方程表示椭圆的问题、通径长和向量坐标运算的问题.
17．
【解析】
试题分析：真：，，∴或；真：如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，一是过另外两条直线的交点，做出交点坐标代入直线方程，得到的值，二是这条直线与另外两条直线中的一条平行，求出或或，真，可得至少有一个为真，从而可得的取值集合为.
试题解析：真：，，∴或，
真：∵与不平行，
则与平行或与平行或三条直线交于一点，
若与平行，由得，
若与平行，由得，
若三条直线交于一点，由，得，
代入得，
∴真，或或，
∵真，∴至少有一个为真，
∴的取值集合为．
18．或.
【分析】
先分析点在圆外，可知切线有条，讨论斜率不存在符合题意，当直线的斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径即可求斜率，进而可得切线方程.
【详解】
因为，
所以点在圆外，所以过点的切线有条，
当直线的斜率不存在时：切线方程为，符合题意，
当直线的斜率存在时，设过点的切线为，即，
由得，可得圆心，半径，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离为，
整理得：，
所以切线方程为：，
即.
所以过点且与圆相切的切线方程为或.
【点睛】
方法点睛：求过圆外一点的圆的切线方程
（1）几何法：当斜率存在时，设为，则切线为，即，由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程.
（2）代数法：当斜率存在时，设为，则切线为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由即可求出的值，进而写出切线方程.
19．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【分析】
（1）通过辅助线以及根据面面垂直的性质定理可证中任意一条直线垂直于另外两条直线构成的平面，即垂直于另外两条直线；
（2）采用替换顶点的方式计算体积，计算出高和底面积即可计算体积.
【详解】
（Ⅰ）证明：在内取一点，作，
因为平面平面，其交线为，所以平面，，
同理，所以平面，，
同理，故两两垂直.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三棱锥的高为，
，所以三棱锥的体积为.
【点睛】
（1）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；
（2）计算棱锥的体积时，有时候可考虑采用替换顶点的方式去简化计算.a
20．（1）；（2）平均数约为，中位数约为；（3）.
【分析】
（1）根据频率和为列式求解；（2）代入平均数的计算公式求解平均数，求中位数先判断中位数所在的区间，然后利用频率和为列方程求解；（3）根据分层抽样计算手机价格在有人，在有人，列出基本事件的所有情况，根据题意，代入古典概型公式求解.
【详解】
（1）由题意知，，
解得
（2）平均数为.
前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，故中位数落在第四组.
设中位数为，则，解得.
所以平均数约为，中位数约为
（3）由图知手机价格在和的人数之比为，故利用分层抽样抽取的人中，来自范围内的有人，设，，来自范围内的有人，设为，，，.
则从这人中抽取人的结果有，，，，，，，，，，，，，，，共15种.其中抽取的人的手机价格在不同区间的有，，，，，，，，共种.
故抽取的人手机价格在不同区间的概率为.
21．（1），；（2）.
【分析】
（1）根据抛物线定义得代点得，代值化简即得轨迹的方程；
（2）设，用点差法及点是线段的中点可得，代入直线点斜式化简即可.
【详解】
解（1）由抛物线定义可得点是以为焦点，直线为准线的抛物线，
则轨迹，
代点得，所以轨迹的方程为
（2）设则
相减得
所以，
因为点是线段的中点，
所以，即
所以直线的方程为，即.
【点睛】
用“点差法”求解弦中点问题的步骤：
（1）设点：设出弦的两端点坐标；
（2）代入：代入圆锥曲线的方程；
（3）作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开；
（4）整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解.
22．（1）（2）2
【分析】
（1）由已知条件列方程组，再求解即可；
（2）联立直线与椭圆方程，再利用弦长公式及点到直线的距离求解即可.
【详解】
（1）椭圆过点，且离心率．
可得：，解得，则，
椭圆方程为：．
（2）直线方程为，
设，
联立方程组，整理得：，
则，
又直线与椭圆要有两个交点，
则所以，
即：，
利用弦长公式得：，
由点线距离公式得：到P到l的距离．
．
当且仅当，即时取到最大值，面积的最大值为2．