2020-2021学年八年级数学青岛版下册《第6章平行四边形》综合培优训练（Word版 附答案）

2020-2021年度青岛版八年级数学下册《第6章平行四边形》综合培优训练（附答案）
1．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC于E点，若BE＝4，则AD的长等于（　　）
A．8 B．10 C．3 D．4
2．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．4
3．如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为（　　）
A．1 B．2 C． D．4
4．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6，给出下列结论：
①AE＝10，②∠COD＝45°，③△COF的面积S△COF＝6，
④CF＝BD＝2，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
5．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：3，且AC＝10，则OE的长度是（　　）
A． B．5 C．3 D．
6．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2，若CE?DE＝5，则正方形的面积为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，联结PF，设M是线段PF的中点，则点P运动的整个过程中，线段DM长的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．2
9．如图，?ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是　 　．
10．矩形ABCD的对角线交于O点，一条边的长为1，△AOB是正三角形，则这个矩形的周长为　 　．
11．如图，在四边形ABCO中，AB∥OC，AO⊥OC，AB＝1，OC＝4，P为AO边上一个动点，连接PB并延长至点E，使得点E落在直线x＝3上，以PE，PC为边作?PEFC，连接PF，则PF长的最小值为　 　．
12．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上任意一点，EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG的值为　 　．
13．如图，?ABCD中，AB＝10cm，AD＝15cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），在运动以后，当以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形时，运动时间t为　 　秒．
14．菱形ABCD的对角线AC＝6cm，BD＝4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为　 　．
15．矩形ABCD的周长是34cm，对角线相交于O，△AOD与△AOB的周长相差1cm，则AB的长是　 　．
16．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝　 　．
17．如图，以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE，F是DE的中点，BE、AF相交于点G，连接DG，若正方形ABCD的面积为36，则BG＝　 　．
18．如图，正方形ABCD的边长为15，AG＝CH＝12，BG＝DH＝9，连接GH，则线段GH的长为　 　．
19．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为　 　．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．
（1）求证：BP＝CP；
（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．
21．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20．
（1）求证：BD＝DE；
（2）求DM的长．
22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．
23．如图，在正方形ABCD中，M为AB上的一点，N为BC上的一点，且BM＝BN，BP⊥MC于点P，求证：DP⊥NP．
24．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE＝CF，BE＝EG．
（1）求证：EF∥AC； （2）求∠BEF大小．
25．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．
求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）
（2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度．
26．已知正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF．
（1）如图1，连接AC交BF于点G，求证：∠AGF＝∠AEB+45°；
（2）如图2，延长BF到点M，连接MC，若∠BMC＝45°，求证：AH+BH＝BM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点H为BM的三等分点，连接BD，DM，若HE＝1，求△BDM的面积．
27．（1）如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边BC上一点，连接OE，过点O作OE的垂线交AB于点F．求证：OE＝OF．
（2）若将（1）中，“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变，如图2，连接EF．
ⅰ）求证：∠OEF＝∠BAC．
ⅱ）试探究线段AF，EF，CE之间数量上满足的关系，并说明理由．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，
∵AC＝10，BE⊥AC，BE＝4，
∴a2+b2＝102，
又∵S矩形ABCD＝2S△ABC
∴ab＝2××10×4＝40，
∵BC＞AB，
解得：a＝4，b＝2，
即AD＝4，
故选：D．
2．解：
连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，3），
∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC＝，
故选：C．
3．解：过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，
∵BD＝BE，DE＝2，
∴△BED是等边三角形，且边长为2，
∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，
∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，
∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴QF＝EF＝1，
∴△EFC的面积为＝＝2，
故选：B．
4．解：①∵EF＝2，
∴OE＝4，
∵AO＝AB＝6，
∴AE＝AO+OE＝6+4＝10，故正确；
②∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；
③作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝2，
∴△COF的面积S△COF＝×6×2＝6，故正确；
④作DH⊥AB于H，
CF＝＝2，
BH＝6﹣2＝4，
DH＝6+2＝8，
BD＝＝4，故错误．
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝10，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝5，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：3，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝22.5°，∠EDA＝67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝67.5°，
∴∠ODC＝∠OCD＝67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC＝180°，
∴∠COD＝45°，
∴OE＝DE，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴（2DE）2＝OD2＝25，
∴DE＝，
故选：D．
6．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，CM＝DN，
∴四边形OMEN是正方形，
∵OE＝2，
∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8，
∴NE＝ON＝2，
∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4，
设DE＝a，CE＝b，
∴a+b＝4，
∵CE?DE＝5，
∴CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×5＝6．
∴S正方形ABCD＝6．
故选：B．
7．解：连接BE、EM、BM，作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于点G、H，过D作DN⊥GH于点N，连接EH，过H作HK⊥AD，与AD的延长线交于点K，
∵∠ABC＝∠PEF＝90°，M是PF的中点，
∴BM＝EM，
∴无论P点运动到什么位置时，M点始终在BE的垂直平分线上，
∴M点在GH上，
当M与N点重合时，DM＝DN的值最小，
设EH＝x，
∵GH是BE的垂直平分线，
∴BH＝EH＝x，
∴∠EHG＝∠BHG，
∵GD∥BH，
∴∠EHG＝∠BHG＝∠G，
∴EG＝EH＝x，
∵∠ABH＝∠BAK＝∠K＝90°，
∴四边形ABHK为矩形，
∴AK＝BH＝x，AB＝KH＝6，
∵AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3，
∴AE＝2，ED＝6，
∴EK＝AK﹣AE＝x﹣2，
∵EH2﹣EK2＝KH2，
∴x2﹣（x﹣2）2＝62，
解得，x＝10，
∴GE＝x＝10，
GD＝EG+DE＝x+6＝10+6＝16，
∵OE∥DN，
∴△GEO∽△GDN，
∴，
∴DN＝EO，
∵，
∴EO＝BE＝，
∴，
即线段DM长的最小值为，
解法二：建立如图坐标系，过点F作FJ⊥AD于J．则D（8，6），E（2，6），设P（0，a），
由△PAE∽△EJF，可得EM＝18﹣3a，
∴F（20﹣3a，0），
∵PM＝MF，
∴M（10﹣0.5a，0.5a），
∴DM＝＝，
∴当a＝﹣＝时，DM的值最小，此时DM＝．
故选：A．
8．解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．
∴BP1＝．
∴PB的最小值是．
故选：C．
9．解：∵?ABCD，
∴AB∥CD，AD∥BC
∵PE∥BC，
∴PE∥AD
∵PF∥CD，
∴PF∥AB，
∴四边形AEPF为?．
设?AEPF的对角线AP、EF相交于O，则AO＝PO，EO＝FO，∠AOE＝∠POF
∴△POF≌△AOE，
∴图中阴影部分的面积等于△ABC的面积，
过A作AM⊥BC交BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝4，
∴AM＝2，
S△ABC＝×5×2＝5，即阴影部分的面积等于5．
故填5．
10．解：在矩形ABCD中，AC＝2OB，
∵△AOB是正三角形，
∴OB＝AB，
∴AC＝2AB，
①AB＝1时，AC＝2，
根据勾股定理，BC＝＝＝，
所以，矩形的周长＝2（AB+BC）＝2（1+）＝2+2；
②BC＝1时，根据勾股定理，AB2+BC2＝AC2，
所以，AB2+12＝（2AB）2，
解得AB＝，
所以，矩形的周长＝2（AB+BC）＝2（+1）＝+2；
综上所述，矩形的周长为2+2或+2．
故答案为：2+2或+2．
11．解：作FN⊥x轴于N，EM⊥y轴于M，连接PF．
∵四边形PEFC是平行四边形，
∴PE＝CF，PE∥CF，
∴∠FCN＝∠ETC，
∵EM⊥y轴，FN⊥x轴，
∴∠EMP＝∠FNC＝90°，
∵EM∥TC，
∴∠MEP＝∠ETC，
∴∠MEP＝∠FCN，
∴△EMC≌△CNF（AAS），
∴EM＝CN＝3，
∵OC＝4，
∴ON＝OC+CN＝4+3＝7，
当PF⊥FN时，PF的值最小，此时PF＝ON＝7，
∴PF的最小值为7．
故答案为7．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AD＝CD＝4 AC⊥BD∠DAO＝45°；
∴AC2＝AD2+CD2＝42+42＝32，则AC＝4，
∵EF⊥AC，GE⊥BD，
∴∠OGE＝∠OFE＝90°；
又∵AC⊥BD，
∴四边形OGEF是矩形；
∴EG＝OF，
又∵∠DAO＝∠FCE＝45°，
∴EF＝CF；
∵OF+CF＝OC＝×4＝2，
∴GE+EF＝2．
故答案为2
13．解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵P在AD上运动，
∴t≤，即t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣15＝15﹣t，
解得：t＝6；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为15﹣（4t﹣30）＝15﹣t，
解得：t＝10；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣45＝15﹣t，
解得：t＝12；
故答案为：6或10或12．
14．解：∵AC＝6cm，BD＝4cm，
∴AO＝AC＝×6＝3cm，
BO＝BD＝×4＝2m，
如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交FA的延长线于G，
BG＝AO＝3cm，
FG＝AF+AG＝6+2＝8cm，
在Rt△BFG中，BF＝＝＝cm，
如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G，
BG＝AO＝3cm，
FG＝AF﹣AG＝6﹣2＝4cm，
在Rt△BFG中，BF＝＝＝5cm，
综上所述，BF长为5cm或cm．
故答案为：5cm或cm．
15．解：
由图易得：OB＝OD，那么△AOD与△AOB的周长相差1cm其实就是AD与AB相差1cm
当AD比AB长1cm时，AD+AB＝AB+1+AB＝17，AB＝8；
当AD比AB短1cm时，AD+AB＝AB﹣1+AB＝17，AB＝9．
因此AB的长为8或9cm．故AB的长为8或9cm．
16．解：如图，在EA上取一点K，使得EK＝CE，连接DK，BK，延长DK交AB于H．
∵DE＝EB，CE＝EK，
∴四边形BCDK是平行四边形，
∴CD＝BK，DK∥BC，
∵BC⊥AB，
∴DH⊥AB，
∵DA＝DB，
∴AH＝HB＝1，
∴KA＝KB＝CD，
在Rt△AKH中，AK＝AH÷cos30°＝，
∴CD＝，
故答案为．
17．解：如图所示，连接BD，
∵S正方形ABCD＝36，
∴AD＝6，BD＝6，
在正方形ABCD和等边△ADE中，
∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°，AB＝AD＝AE，
∴∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠DEG＝∠AED﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°，
∵F为DE的中点，
∴AF垂直平分DE，DF＝DE＝×6＝3，
∴DG＝EG，
∴∠GDE＝45°＝∠DEG，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DG＝DF＝3，∠DGE＝90°，
∴Rt△BDG中，BG＝＝＝3．
故答案为：3．
18．解：如图，延长BG交CH于点E，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
AG2+BG2＝AB2，
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝12，CE＝BG＝9，∠BEC＝∠AGB＝90°，
∴GE＝BE﹣BG＝12﹣9＝3，
同理可得HE＝3，
在Rt△GHE中，GH＝，
故答案为：3．
19．解：∵AD平分∠BAC，
∴∠GAF＝∠CAF，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG＝∠AFC，
在△AGF和△ACF中，，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG＝AC＝7，GF＝CF，
则BG＝AB﹣AG＝10﹣7＝3．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG＝1.5．
故答案是：1.5．
20．解：（1）设AP与BC交于H，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE平分∠ABC，
∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，
∴AP平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AH垂直平分BC，
∴PB＝PC；
（2）∵AH垂直平分BC，
∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝2，
∵∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．
21．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°．
在△ADB与△ADE中，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD＝DE．
（2）∵△ADB≌△ADE，
∴AE＝AB＝12，
∴EC＝AC﹣AE＝8．
∵M是BC的中点，BD＝DE，
∴DM＝EC＝4．
22．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2．
∴在矩形OCED中，
CE＝OD＝．
在Rt△ACE中，
AE＝．
23．解：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD，
∴∠PCD＝∠BMC，
∵BP⊥MC，
∴∠PBC+∠BCM＝90°，而∠PBC+∠PBM＝90°，
∴∠PBC＝∠BMC，∠MCB＝∠BCP，
∴△BPC∽△MBC；
∴CP：BC＝BP：BM＝BC：MC，
∵BM＝BN，BC＝CD，
∴CP：CD＝BP：BN，而∠PCD＝∠BMC＝∠PBC，
∴△BPN∽△CPD，
∴∠BPN＝∠CPD，∠CPD+∠NPC＝90°，
∴DP⊥PN．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BF，
∵AE＝CF，
∴四边形ACFE是平行四边形，
∴EF∥AC，
（2）解：连接BG，如图所示：
∵EF∥AC，
∴∠F＝∠ACB＝45°，
∵∠GCF＝90°，
∴∠CGF＝∠F＝45°，
∴CG＝CF，
∵AE＝CF，
∴AE＝CG，
在△BAE与△BCG中，，
∴△BAE≌△BCG（SAS）
∴BE＝BG，
∵BE＝EG，
∴△BEG是等边三角形，
∴∠BEF＝60°．
25．（1）证明：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，
∵E，H分别是AD，BD的中点，
∴EH∥AB，EH＝AB，
∴∠BME＝∠HEF，
∵F，H分别是BC，BD的中点，
∴FH∥CD，FH＝CD，
∴∠CNE＝∠HFE，
∵AB＝CD
∴HE＝FH，
∴∠HEF＝∠HFE
∴∠BME＝∠CNE；
（2）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴EH＝AB，FH＝CD，FH∥AC，
∴∠HFE＝∠FEC＝45°，
∵AB＝CD＝2，
∴HF＝HE＝1，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°，
∴．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
∵AE⊥BF，
∴∠AEB+∠FBC＝90°，
∵∠FBC+∠BFC＝90°
∴∠AEB＝∠BFC，
∵∠AGF＝∠BFC+∠ACF，
∴∠AGF＝∠AEB+45°；
（2）解：过C作CK⊥BM于K，
∴∠BKC＝90°，
∵∠BMC＝45°，
∴CK＝MK，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABH＝∠BCK，
在△ABH与△BCK中，，
∴△ABH≌△BCK，
∴BH＝CK＝MK，AH＝BK，
∴BM＝BK+MK＝AH+BH；
（3）解：由（2）得，BH＝CK＝BH，
∵H为BM的三等分点，
∴BH＝HK＝KM，
过E作EN⊥CK于N，
∴四边形HENK是矩形，
∴HK＝EN＝BH，∠BHE＝∠NEC，
在△BHE与△ENC中，，
∴△BHE≌△ENC，
∴HE＝CN＝NK＝1，
∴CK＝BH＝2，
∴BM＝6，
连接CH，
∵HK＝MK，CK⊥MH，∠BMC＝45°，
∴CH＝CM，∠MCH＝90°，
∴∠BCH＝∠DCM，
在△BHC与△DMC中，，
∴△BHC≌△DMC，
∴BH＝DM＝2，∠BHC＝∠DMC＝135°
∴∠DMB＝90°，
∴△BDM的面积＝6．
27．证明：（1）连接OB，
∵在正方形ABCD中，O是AC的中点，
∴OB＝OA，∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝45°，
∴∠AOB＝90°，
又∵OE⊥OF，
∴∠AOF＝∠BOE，
在△AOF和△BOE中，，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE＝OF；
（2）①∵∠EOF＝∠FBE＝90°，
∴O，E，F，B四点共圆，
∴∠OBA＝∠OEF，
∵在矩形ABCD中，O是AC的中点，
∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBA，
∴∠OEF＝∠BAC；
②如图，连接BD，延长EO交AD于G，
∵BD与AC交于O，
则△OGD≌△DEB，
∴OG＝OE，
∴AG＝CE，
∵OF⊥GE，
∴FG＝EF，
在Rt△AGF中，GF2＝AG2+AF2，即EF2＝CE2+AF2．