2020—2021学年人教版数学八年级下册 18.2.1 矩形及其性质 课件 （59张）

第十八章
18.2.1 矩形及其性质
人教版数学八年级下册
1.什么叫平行四边形？
3.平行四边形有哪些性质？
①平行四边形的对角相等.
②平行四边形的对边相等.
③平行四边形的对角线互相平分.
2.平行四边形与四边形
有什么关系？
A
B
C
D
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .
特殊
一般
平行四边形
具有四边形的
一切性质
导入新知
学习目标
1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
1
知识点
矩形的定义
平行四边形
长方形
有一个角是直角
矩 形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
★矩形具有平行四边形的一切性质！
合作探究
有一个内角是直角的平行四边形叫矩形.
矩形定义：
A
B
C
D
∵在 ABCD中，
∠A=90°
∴ ABCD是矩形.
例1 如图所示，l1∥l2，A、B是l1上的两点，过A、B分
别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四
边形ABCD是矩形吗?简述你的理由．
很容易发现ABCD为平行四边形只需有一个角为
直角即可，因为AD⊥l2有直角，问题得证．
四边形ABCD是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2，
∴AD∥BC．∵l1∥l2，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形．
分析：
解：
利用定义识别一个四边形是矩形，首先要
证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边
形有一个角是直角.
新知小结
1
矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
是，它有2条对称轴．
解：
巩固新知
2
下列说法不正确的是(　　)
A．矩形是平行四边形
B．矩形不一定是平行四边形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．平行四边形具有的性质矩形都具有
B
3
【中考·菏泽】在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接AC，BD，当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的有(　　)
①AC＝5; ②∠BAD＋∠BCD＝180°；
③AC⊥BD; ④AC＝BD.
A．①②③　　 B．①②④
C．②③④　　 D．①③④
B
2
知识点
矩形的边角性质
首先研究角的性质
B
A
D
C
矩形的四个角都是直角.
为什么?
※ 矩形的性质定理1
合作探究
例2 如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，
∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和
∠EAO的度数．
由∠DAE与∠BAE之和为矩形
的一个内角及两角之比即可求
出∠DAE和∠BAE的度数，从
而得出∠ABE的度数，由矩形的性质易得∠BAO＝
∠ABE，即可求出∠BAO的度数，再由∠EAO＝
∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度数．
导引：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD.
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
解：
矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，
矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此
有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等
腰三角形中来解决．
新知小结
1
如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是(　　)
A．△AOB≌△BOC
B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD
D．△AOD≌△BOC
A
巩固新知
2
【 中考·西宁】如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为(　　)
A．5
B．4
C.
D.
D
3
【 中考·安顺】如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O. 若AO＝5 cm，则AB的长为(　　)
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
C
4
【 中考·绍兴】在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是(　　)
A．7°
B．21°
C．23°
D．24°
C
3
知识点
矩形的对角线性质
B
A
D
C
两条对角线有何关系?
矩形的对角线相等.
※ 矩形的性质定理2
合作探究
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现?
已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．
求证：AC=DB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．
∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．
∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB．
于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.
证明：
例3 如图，矩形ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，
∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分.
∴OA=OB.
又 ∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形.
∴OA=AB=4.
∴ AC=BD=2OA=8.
解：
1
求证：矩形的对角线相等.
已知：如图，四边形ABCD是
矩形，AC与BD相交于点O.
求证：AC＝BD.
因为四边形ABCD是矩形，
所以∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC，
又BC＝CB，
所以Rt△ABC≌Rt△DCB，
所以AC＝DB，即AC＝BD.
解：
证明：
巩固新知
2 一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一
个交角为120°.求这个矩形的 边长
(结果保留小数点后两位).
如图所示，在矩形ABCD中，∠AOD＝∠BOC＝120°，所以∠AOB＝∠COD＝60°.因为AC＝BD＝8，所以OA＝OB＝OC＝OD＝4，
所以△AOB为等边三角形，所以AB＝OA＝OB＝4.
在Rt△ABD中，AD＝ ≈6.93. 即这个矩形的边长分别为4，6.93，4，6.93.
解：
3
【 中考·怀化】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是(　　)
A．3 cm
B．6 cm
C．10 cm
D．12 cm
A
4
【中考·兰州】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝
DE＝2，则四边形OCED的面积为(　　)
A．2
B．4
C．4
D．8
A
5
【中考·宜宾】如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(　　)　
A．4.8
B．5
C．6
D．7.2
A
4
知识点
直角三角形斜边上中线的性质
A
B
C
O
D
在左图的Rt△ABC中，OB与AC有
何关系？
D
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
※ 推 论
OB= AC
合作探究
例4 如图(1)，BD，CE是△ABC的两条高，M，N分别
是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE.
如图(2)，连接EM，DM，由CE与BD
为△ABC的两条高，可得△BEC与
△CDB均为直角三角形，根据M为BC
的中点，利用直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半，可得EM为BC的一半，
DM也为BC的一半，通过等量代换可得
EM＝DM，又N为DE的中点，
所以MN⊥DE.
(1)
(2)
导引：
连接EM，DM，如图(2).
∵BD，CE为△ABC的两条高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
在Rt△BEC中，∵M为斜边BC的中点，
∴EM＝ BC.
在Rt△CDB中，∵M为斜边BC的中点，
∴DM＝ BC.
∴EM＝DM.
又∵N为DE的中点，∴MN⊥DE.
证明：
(2)
若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中
线，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半．
新知小结
1 (中考·鄂尔多斯)如图，P是矩形ABCD的对角线AC
的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四
边形ABPE的周长为(　　)
A．14 B．16 C．17 D．18
D
巩固新知
2
【中考·葫芦岛】如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为(　　)
A．4
B．8
C．2
D．4
D
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩
形，具有平行四边形所有性质．
2．性质归纳：
矩形的四个角都是直角.
※ 矩形的性质定理1
矩形的对角线相等.
※ 矩形的性质定理2
※ 推 论
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
归纳新知
直角
平行四边形
平行四边形
直角
课后练习
【答案】D
直角
平行
相等
【答案】C
B
相等
互相平分
4
C
【答案】C
【答案】B
等于斜边的一半
【答案】C
【答案】D
再 见