2020-2021学年人教版数学八年级下册 18.2.3 菱形及其性质 课件 （63张）

第十八章
18.2.3 菱形及其性质
人教版数学八年级下册
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
温故知新
复习旧知
同学们，将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？
菱形及其性质
导入新知
学习目标
1.掌握的定义和性质及菱形面积的求法.
2.灵活运用菱形的性质解决问题．
1
知识点
菱形的定义
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形
菱形
邻边相等
合作探究
有一组 的 叫做
邻边相等
平行四边形
A
D
C
B
∵四边形ABCD是平
行四边形
AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
菱形.
感受生活
你能举出生活中你看到的菱形吗？
生活
感受
例1 已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB
于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于
点F. 四边形DECF是菱形吗？为什么？
因为DE∥FC，DF∥EC，所
以四边形DECF为平行四边
形，再根据有一组邻边相等
的平行四边形是菱形求证即
可．
导引：
四边形DECF是菱形．理由如下：
∵DE∥FC，DF∥EC，
∴四边形DECF为平行四边形．
由AC∥DE，知∠2＝∠3.
∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，
∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平
行四边形是菱形)．
解：
本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可
以作为菱形的判定方法．
新知小结
1
如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是(　　)
A．AD⊥BC
B．∠BAD＝∠CAD
C．BD＝DC
D．AD＝BD
B
巩固新知
2
知识点
菱形的边的性质
菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形
还具有哪些特殊性质呢? 根据菱形的轴对称性，你
发现菱形的四条边具有什么大小关系?
问 题
菱形的四条边都相等.
合作探究
例2 如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，
E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、
AF，则△AEF的周长为( )
A． B．
C． D．3
在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则
△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，
所以AE垂直于BC，因此AE＝ ，所以
△AEF的周长为 ，故选B.
B
分析：
在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造
三角形来做题，能够迎刃而解.
新知小结
1
边长为3 cm的菱形的周长是(　　)
A．6 cm B．9 cm
C．12 cm D．15 cm
C
巩固新知
2
【中考·兰州】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是(　　)
A．4
B．3
C．2
D.
B
3
【中考·重庆】如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．18 －9π
B．18－3π
C．9 －
D．18 －3π
A
4
【中考·鄂州】如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′. 当CA′的长度最小时，CQ的长为(　　)
A．5
B．7
C．8
D.
B
3
知识点
菱形的对角线的性质
因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的
所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行
四边形不具有的一些特殊性质呢？
思考
菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?
合作探究
对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研
究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以
下性质：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线
平分一组对角.
问 题
菱形的面积如何计算呢？
菱形的面积有两种计算方法：
一种是底乘以高的积；
另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积
时，要灵活运用使计算简单.
由于菱形的四条边都相等，
所以要求其周长就要先求
出其边长．由菱形的性质
可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角
三角形中利用勾股定理来进行计算．
例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm.求菱形的周长．
导引：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理，
得AB＝
∴菱形的周长＝4AB
解：
菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角
形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为
求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来
计算．
新知小结
如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小
路AC和BD. 求两条小路的长(结果保留小数点后
两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).
例4
∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO = ∠ABC = × 60°= 30°.
在Rt△OAB中，AO = AB = ×20=10，
∴花坛的两条小路长AC = 2AO =20 (m)，
BD = 2BO=20 ≈34. 64 (m).
花坛的面积S四边形ABCD=4×S△OAB
= AC·BD=200 ≈346. 4 (m2).
解：
菱形的面积有三种计算方法：
(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；
(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；
(3)两条对角线乘积的一半．
说明：读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应
用(3)这种方法时不要忽视“一半”．
新知小结
1
四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于
点O，且AB = 5，AO = 4. 求AC和BD的长.
如图所示，因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，且AO＝CO，OB＝OD.
又因为AB＝5，AO＝4，
所以在Rt△AOB中，OB＝
所以BD＝2OB＝2×3＝6，AC＝2AO＝2×4＝8.
解：
巩固新知
2
已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.
如图，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.所以OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.又由题意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB中，AB＝
又因为AB＝BC＝CD＝AD，所以菱形的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝4AB＝4×5＝20，
菱形的面积为 AC·BD＝ ×8×6＝24.
解：
3
【 中考·南充】已知菱形的周长为4 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(　　)
A．2 B.
C．3 D．4
D
4
【 中考·河北】求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对
角线AC，BD交于点O. 求证：AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程：
①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.
证明步骤正确的顺序是(　　)
A．③→②→①→④ B．③→④→①→②
C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
B
5
【中考·长沙】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为(　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．14 cm
D．20 cm
D
我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，因此菱形是中心对称图形，想一想 菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条？
菱形是轴对称图形，对称轴有两条.
拓展延伸
菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 对
称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线．
例5 如图①，在菱形ABCD中，E，F分
别是CB，CD上的点，且BE＝DF.
(1)求证：AE＝AF.
(2)若∠B＝60°，点E，F分
别是BC，CD的中点，求证：△AEF为等边三角形.
(1)要证AE＝AF，只需证△AEB≌△AFD，由BE＝
DF及菱形的相关性质进行证明即可．(2)如图②，要
证△AEF为等边三角形，由AE＝AF知，只需证∠EAF
＝60°即可，要证∠EAF＝60°，只需证∠1＝∠2＝
30°即可，这可由菱形及等边三角形相关知识证出．
导引：
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF.
(2)如图②，连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC＝60°.
∵E为BC的中点，∴∠1＝ ∠BAC＝30°.
同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°.
又∵AE＝AF，∴△AEF为等边三角形．
证明：
菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三
角形(特殊时为两个全等的等边三角形)，两条对角线
把菱形分成四个全等的直角三角形．所以有关菱形的
一些证明与计算问题常常与特殊的三角形的有关问题
综合在一起．
新知小结
1
菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为(　　)
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
A
巩固新知
2
【中考·益阳】下列性质中菱形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
C
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做
菱形
2．菱形的性质：
(1)它具有平行四边形的一切性质.
(2)菱形的四条边相等.
(3)菱形的对角线互相垂直， 并且一条对角线平分
一组对角.
归纳新知
邻边
邻边相等
课后练习
B
B
四条边
12 cm
C
C
C
互相平分且垂直
平分一组对角
一半
对称轴
B
C
C
【答案】B
再 见