安徽省阜阳市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版 含答案）

安徽省阜阳市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．反比例函数y＝的图象在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　）
A．k1 B．k1 C．k＝1 D．k≠1
3．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
4．如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍然不能使的是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A．3m B．4m
C．4.5m D．5m
7．已知二次函数，且，下列说法正确的是 （ ）
A．当时，函数有最大值3 B．当时，函数有最大值－6
C．函数的取值范围是 D．函数的取值范围是
8．如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑1米到时，梯脚滑到，与地面的夹角为，若，米，则 （ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的边长为6，点是的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．将抛物线向左平移3个单位，向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为________．
12．中，若，则__________．
13．如图，直线过原点分别交反比例函数，于A．B，过点A作轴，垂足为C，则△ 的面积为______．
14．如图，在中，点分别是的中点，连接，四边形的面积记作；点分别是的中点，连接，四边形的面积记作…，按此规律进行下去，若，则__________；__________．（为正整数）
三、解答题
15．如图，由若干个边长为1的小正方形组成的网格中，已知格点线段（端点是网格线的交点）和格点．
（1）以点为位似中心，画出线段的位似图形线段，使线段与线段的相似比为2；
（2）以点为旋转中心，画出线段绕点顺时针旋转90°得到的线段．
16．如图，点是平行四边形的边的中点，连接交对角线于点，若的面积为1，求平行四边形的面积．
17．已知抛物线可由抛物线平移得到，且经过点．
（1）确定的值；
（2）试确定该抛物线的顶点坐标．
18．如图所示，小亮在大楼的观光电梯中的点测得大楼楼底点的俯角为60°，此时他距地面的高度为21米，电梯再上升9米到达点，此时测得大楼楼顶点的仰角为45°，求大楼的高度．（结果保留根号）
19．对于一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称引函数为“属和合函数”．例如：正比例函数，当时，，则，解得：，所以函数为“2属和合函数”．
（1）一次函数为“1属和合函数”，求的值；
（2）反比例函数是“属和合函数”，且，请求出的值．
20．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在中，，是的完美分割线，且，求的度数．
（2）如图2，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，找出与的关系．
21．如图，一艘渔船正以海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？
22．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点是抛物线上第一象限内的一动点，设点的横坐标为，连接，当的面积等于面积的2倍时，求的值．
23．如图，在中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，设运动时间为秒（），连接．
（1）若与相似，求的值；
（2）当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值．
参考答案
1．C
【分析】
本题利用正弦三角函数的定义即可直接作答．
【详解】
∵，，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角函数，解题关键在于按照定义找准对应边，其次注意计算仔细即可．
2．A
【分析】
根据反比例函数y＝的图象在每一象限内和y随x的增大而减小得出k﹣1＞0，再求出k的范围即可．
【详解】
解：∵反比例函数y＝的图象在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，
解得：k＞1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
3．D
【分析】
把代入即可．
【详解】
解：∵A（m，0）是抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点，
∴m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴m2-m+2020=2021．
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点特征、求代数式的值；熟练掌握抛物线与x轴的交点特征是解决问题的关键．
4．C
【分析】
直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】
解：A、当∠ACB=∠ADC时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD=∠ABC时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D、当时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
5．B
【分析】
根据二次函数的图像，确定a，b，c的符号，后根据一次函数k,b的符号性质确定图像的分布即可．
【详解】
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴在原点的左边，
∴＜0，且a＜0，
∴b＜0，
∴bc＜0；
∴的图像分布在第二，第三，第四象限，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，一次函数中k，b与图像分布之间的关系是解题的关键．
6．D
【分析】
根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解．
【详解】
解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m
∴ ，代入得：
∴m
故选：D
【点睛】
本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键．
7．D
【分析】
依题意，可知二次函数的对称轴及对称轴是否在定区间范围内，然后通过y随x的变化情况，即可．
【详解】
由题知：二次函数的对称轴为：；又二次函数二次项系数小于零；
∴ 二次函数，在时，y随x的增大而增大；在时，y随x的增大而减小；
又，
∴ 当时，二次函数，y随x的增大而增大；
∴ 当时，函数取最小值：；
当时，函数取最大值：；
∴ 二次函数的取值范围：；
故选D．
【点睛】
本题考查二次函数在定区间的取值范围，重点在讨论对称轴是否在定区间范围内和y随x的变化情况．
8．B
【分析】
根据设OA=4k，则OB=3k，AB=5k，从而表示=4k-1，=3k+1，在中，由勾股定理，求得k值，后根据三角函数的定义计算即可．
【详解】
∵，
设OA=4k，则OB=3k，AB=5k，
∴=4k-1，=3k+1，
在中，
，
∴，
解得k=1，
∴=．
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，锐角三角函数，熟练用未知数表示锐角三角函数中的对应线段是解题的关键．
9．C
【分析】
由题意得，函数y＝（x＞0）与y＝x?1的图象交于点P（a，b），则ab＝3，b＝a?1，进而求解．
【详解】
由题意得，函数y＝（x＞0）与y＝x?1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝3，b＝a?1，
∴＝=，
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是正确计算的前提．
10．D
【分析】
根据正方形对角线的性质及全等三角形的性质求证：
①证明，即可判定①；
②证明，再结合对应角相等和①中结论，即可判定②；
③证明，可知BF=BE，进一步得出F为中点，即可判定③；
④应用勾股定理求出DE和CF的长度，再在中，应用等面积法，求出CH的长度，即可判定④．
【详解】
①∵点E是BC的中点，
∴CE=BE
又∵正方形ABCD中，AB=CD,
∴
∴，
故①正确；
②∵BD为正方形的对角线，
∴
又∵正方形ABCD中，AB=CB,BG=BG
∴△ABG≌△CBG
∴
∵
∴，
∴，
故②正确；
③在与中，
∴
∴BE=BF,
∴F为中点，即
故③正确；
④由勾股定理可知
，
在中，应用等面积法，，
∴，
∴
∴，
故④正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质的综合应用，找准全等三角形的对应角和对应边，及等面积法的灵活运用是解题关键．
11．
【分析】
根据平移规律“上加下减．左加右减”解答．
【详解】
解：将抛物线向左平移3个单位，向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为，即．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减．左加右减”的法则是解答此题的关键．
12．
【分析】
根据偶数次幂和绝对值的非负性得出sinA和cosB的值，再根据特殊角三角函数值得出角度即可．
【详解】
解：∵，
∴sinA=，∠A=30°，
cosB=，∠B=30°，
∴∠C=180°-30°-30°=120°，
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值和偶数次幂和绝对值的非负性，掌握知识点是解题关键．
13．6；
【分析】
通过反比例函数与一次函数交点关于原点成中心对称，得到OA与OB相等，得到△AOC与△BOC面积相等，再通过反比例函数的几何意义得到△AOC的面积等于，即可得到结果．
【详解】
解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA=OB,
∴S△BOC=S△AOC，
又∵A是反比例函数上的点，且AC⊥x轴于点C，
∴△AOC的面积==×6=3，
∴△ABC的面积=6
故答案为：6．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数几何意义，充分理解反比例的几何意见是快速解题的关键．
14．
【分析】
根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定和性质可求出S1的值，进而可得出S2的值，找出规律即可求值．
【详解】
解：∵是的中位线，
∴，
∴，
∴，同理，
∴；
同理可得，，
∴．
故答案为：；
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质及三角形中位线定理，正确得出面积变化规律是解答此题的关键．
15．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）依题知，线段与的相似比2，然后利用两个三角形相似，即可；
（2）如图构造直角三角形，对直角三角形绕旋转，可得直角三角形即可．
【详解】
（1）
如图可知：∵ 小正方形为边长为1；
∴，；又线段与的相似比2；
∴ ，；且在所在直线的延长线上，在所在直线的延长线上；
∴
∴
∴ 可得点和点；连接和，即可；
（2）由题可知：作，可得直角三角形；
然后对直角三角形绕旋转；
可得：直角三角形
∴ 可得点；连接和，即可；
．
【点睛】
本题考查图形的位似及旋转的性质，重点在结合图形寻找对应的图形．
16．12
【分析】
根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，通过△AEF∽△CDF，根据相似三角形的性质结合由点E是AB的中点，得到，利用等高的两个三角形面积之比得到，再计算即可求解．
【详解】
解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
17．（1），；（2）
【分析】
（1）首先根据平移的性质得出a的值，然后利用待定系数法求出k的值即可；
（2）将抛物线的解析式变为顶点式，从而确定顶点坐标即可．
【详解】
（1）∵抛物线可由抛物线平移得到，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，解得；
（2）由（1）得，
∴该抛物线的顶点坐标是．
【点睛】
本题主要考查抛物线的性质及平移，掌握抛物线的性质是解题的关键．
18．
【分析】
过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．求出EG和DH的长，在Rt△BDH中，求出BH，则可得出答案．
【详解】
解：过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．
由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．
在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG＝，
∴EG＝（米）．
∴DH＝EG＝米．
在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，
∴BH＝DH＝米．
∴BC＝CG＋HG＋BH＝CG＋DE＋BH＝21＋9＋＝（30＋）米．
答：大楼BC的高度是（30＋）米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用?仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
19．（1）；（2）2018
【分析】
（1）利用“k属和合函数”的定义即可得出结论；
（2）先判断出函数的增减性，利用“k属和合函数”的定义得出ab=1，最后利用完全平方公式即可得出结论．
【详解】
解：（1）当时，∵，∴，
∵函数为“1属和合函数”，
∴，∴．
（2）∵反比例函数，∴在每一象限内，随的增大而减小，
∵反比例函数（且）是“属和合函数”，
∴，∴，∵，
∴．
【点睛】
本题考查了新定义的理解和应用，反比例函数的性质，一次函数的性质，掌握一次函数和反比例函数的性质是解本题的关键．
20．（1）96°；（2），理由见解析．
【分析】
（1）根据相似三角形的性质得到∠BCD=∠A=48°，再根据角的和差关系求出∠ACB即可．
（2）利用△BCD∽△BAC，得，可得结论．
【详解】
解：（1）当时，如图，．
∵，
∴，
∴．
（2）结论：．
∵，
∴，
∴
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
21．（1）小岛C到航线AB的距离为16海里；（2）这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能；渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区．
【分析】
（1）作CD⊥AB于D，由题意得出∠CAB＝∠ACB＝30°，从而得出AB＝CB＝，在Rt△BCD中，求得CD的长即可．
（2）利用勾股定理得出MD的长进而得出答案．
【详解】
（1）作CD⊥AB交AB于点D，如图1所示
由题意可知：∠CAB＝90°-60°＝30°，∠CBD＝90°-30°＝60°
∴∠ACB＝∠CBD-∠CAB＝30°
∴∠CAB＝∠ACB
∵∴AB＝CB＝＝
在Rt△CBD中
∴小岛C到航线AB的距离为16海里；
（2）∵CD＝16＜20
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能
设M为开始进入危险区的位置，N为离开危险区的位置，如图2所示：
即CM＝CN＝20
∵CD⊥AB
∴DM＝DN
在Rt△CMD中
DM＝
∴MN＝2DM＝24
∴可穿过危险区的时间为：小时
即分钟
∴渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区．
【点睛】
本题考查了方位角、勾股定理、等腰三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌方位角、握勾股定理、等腰三角形、三角函数的性质，从而完成求解．
22．（1）；（2）1或2．
【分析】
（1）利用待定系数法，转化为二元一次方程组求解即可；
（2）利用抛物线的解析式，用含有m的代数式表示的面积，建立数量关系等式求解即可．
【详解】
.解：（1）把代入中，
得，
解得
∴抛物线的表达式为；
（2）过点作轴平行线交于点，
把代入中，
得，
∴，
又∵，
∴直线的表达式为．
∵，
∴，
∴．
由得：
，
∴，
整理得，
解得，
∵，
∴的值为1或2.
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的确定，用二次函数的解析式表示三角形的面积，熟练利用二次函数的解析式表示指定三角形的面积是解题的关键．
23．（1）或；（2），最小值为
【分析】
（1）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
（2）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM的面积y=△ABC的面积-△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．
【详解】
解：（1）∵在中，，
∴，
∴，
分两种情况：
①当时，，即，解得；
②当时，，即，解得．
综上所述，当或时，与相似；
（2）过点作于点，则，
∴，
∴，即，解得．
设四边形的面积为，
．
∴当时，取得最小值，最小值为．
【点睛】
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．