2.2圆与圆的方程 练习（2）
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2.2圆与圆的方程 练习（2）
第1题. 点是圆上任意一点，点关于直线的对称点也在圆上，则实数 ．
答案：
第2题. 求过点，且圆心在直线上的圆方程．
答案：解法一：，中点为，
中垂线方程为，即．
解方程组解得．
所求圆的圆心为．
又因所求圆过点和点，根据两点间距离公式，
得半径．
故所求圆的方程为．
解法二：设所求的圆方程为．
根据已知条件得：，
②－①得 ④
由③④解得：，．
将，代入①得．
所求圆方程为．
第3题. 已知圆和圆关于点成中心对称，若圆的方程为，则圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ．
第4题. 在轴上的截距为和，且半径为的圆的方程是 ．
答案：．
第5题. 圆心在直线上，且到轴的距离恰等于圆的半径，在轴上截得的弦长为，求此圆的方程．
答案：解法一：由题意，设所求圆的圆心为，
则圆的方程为，
若得，
，解得或．
所求圆的方程为或．
解法二：由题意，设所求圆的方程为．
由其中，是根据弦长、弦心距与半径关系得到，
解得或．
所求圆的方程为或．
第6题. 已知三边所在直线的方程为，，
，求的外接圆的方程．
答案：解：由题先求出的三个顶点．
解方程组①，②，③，
由①解得：点坐标为，
由②解得：点坐标为，
由③解得：点坐标为．
又，，都在外接圆上，故设外接圆方程为，
解方程组得，，．
所求外接圆方程为．
第7题. 求经过点且和直线相切，并且圆心在直线上的圆的方程．
答案：解：由于，故点在直线上，又圆与这条直线相切，
那么圆心在过点且垂直于的直线上，即在直线上，
再由解得圆心坐标为，且圆半径为．
所求圆的方程为．
第8题. 已知两个定点和，动点到点的距离与它到点的距离的比是，求动点的轨迹．
答案：解：设点的坐标为，因为，，
整理得，即．
动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
第9题. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ．
第10题. 方程表示的圆（ ）
Ａ．关于直线对称
Ｂ．关于直线对称
Ｃ．其圆心在轴上，且过原点
Ｄ．其圆心在轴上，且过原点
答案：Ｂ．
第11题. 圆的圆心 ，半径为 ．
答案：，
第12题. 经过两点，，且在轴上截得的弦长为的圆的方程．
答案：解：设圆的方程为，
将，两点的坐标分别代入，得．
又令，得．
由已知，（其中，是方程的两根）， ③
①，②，③联立组成方程组，解得或．
所求圆的方程为或．
第13题. 已知定点，点是圆上的动点，点分的比为，求点的轨迹方程．
答案：解：作交轴于，则，
，．
又，．
又，．
，．
由圆的定义知，点在以为圆心，为半径的圆上，
点的轨迹方程．
第14题. 若坐标原点在圆的内部，那么实数的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ．
第15题. 方程表示圆，则的取值范围是（ ）
Ａ．或 Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ．
第16题. 圆的半径为，圆心在坐标轴上，则当时，的值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．
答案：Ｃ．
第17题. 圆与两平行线，相切，圆心在直线上，求这个圆的方程．
答案：解：两平行线距离即为所求圆的直径．圆半径为．
又由和
得两交点，，其中点即为所求圆心，
因此所求圆方程为．
第18题. 设方程，若该方程表示一个圆，求的取值范围及这时圆心的轨迹方程．
答案：解：将圆的方程配方可得
，
设方程表示一个圆的充要条件是得．
设圆心坐标为，则消去得．
，．
所求圆心的轨迹方程是 ．
第19题. 以点为圆心，并且与轴相切的圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：C．
第20题. 已知圆的圆心在轴上，截直线所得的弦长为，且与直线相切，求圆方程．
答案：解：圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为：．
设与圆交于、两点，则，过作于，则为弦的中点，如图：
在中，，，
所以 ①，
又圆与相切，则 ②，
将②代入①中得：．
解得：；又代入②中，得．
故圆的方程为．
第21题. 圆心为且被直线截得的线段长为的圆的方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ．
第22题. 过原点，且在，轴上的截距分别为，的圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ．
第23题. 已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ．
第24题. 已知圆经过，，三点，则圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ．
第25题. 一个等腰三角形底边上的高等于，底边两端的坐标是，，求它的外接圆方程．
答案：解法一：设圆的方程为．
则三顶点，，或，，满足方程，所以
或
解得，（或），．
故所求圆的方程为或．
解法二：由题设可知，圆心一定在一腰和底边的中垂线上，所以由方程组
或
得圆心坐标为或．
易求半径，
所以所求外接圆方程为或．
第26题. 若圆与轴切于原点，则（ ）
Ａ．，， Ｂ．，，
Ｄ．，， Ｄ．，，
答案：Ｃ．
第27题. 设直线与轴交点为，点把圆的直径分为两段，则其长度之比为（ ）
Ａ．或 Ｂ．或
Ｃ．或 Ｄ．或
答案：Ａ．
第28题. 已知两点和，求以为直径的圆的方程．
答案：解：根据已知条件，圆心是的中点，则
，．
又圆的直线，
即圆的半径为．
即所求圆的方程是．
第1题. 点是圆上任意一点，点关于直线的对称点也在圆上，则实数 ．
答案：
第2题. 求过点，且圆心在直线上的圆方程．
答案：解法一：，中点为，
中垂线方程为，即．
解方程组解得．
所求圆的圆心为．
又因所求圆过点和点，根据两点间距离公式，
得半径．
故所求圆的方程为．
解法二：设所求的圆方程为．
根据已知条件得：，
②－①得 ④
由③④解得：，．
将，代入①得．
所求圆方程为．
第3题. 已知圆和圆关于点成中心对称，若圆的方程为，则圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ．
第4题. 在轴上的截距为和，且半径为的圆的方程是 ．
答案：．
第5题. 圆心在直线上，且到轴的距离恰等于圆的半径，在轴上截得的弦长为，求此圆的方程．
答案：解法一：由题意，设所求圆的圆心为，
则圆的方程为，
若得，
，解得或．
所求圆的方程为或．
解法二：由题意，设所求圆的方程为．
由其中，是根据弦长、弦心距与半径关系得到，
解得或．
所求圆的方程为或．
第6题. 已知三边所在直线的方程为，，
，求的外接圆的方程．
答案：解：由题先求出的三个顶点．
解方程组①，②，③，
由①解得：点坐标为，
由②解得：点坐标为，
由③解得：点坐标为．
又，，都在外接圆上，故设外接圆方程为，
解方程组得，，．
所求外接圆方程为．
第7题. 求经过点且和直线相切，并且圆心在直线上的圆的方程．
答案：解：由于，故点在直线上，又圆与这条直线相切，
那么圆心在过点且垂直于的直线上，即在直线上，
再由解得圆心坐标为，且圆半径为．
所求圆的方程为．
第8题. 已知两个定点和，动点到点的距离与它到点的距离的比是，求动点的轨迹．
答案：解：设点的坐标为，因为，，
整理得，即．
动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
第9题. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ．
第10题. 方程表示的圆（ ）
Ａ．关于直线对称
Ｂ．关于直线对称
Ｃ．其圆心在轴上，且过原点
Ｄ．其圆心在轴上，且过原点
答案：Ｂ．
第11题. 圆的圆心 ，半径为 ．
答案：，
第12题. 经过两点，，且在轴上截得的弦长为的圆的方程．
答案：解：设圆的方程为，
将，两点的坐标分别代入，得．
又令，得．
由已知，（其中，是方程的两根）， ③
①，②，③联立组成方程组，解得或．
所求圆的方程为或．
第13题. 已知定点，点是圆上的动点，点分的比为，求点的轨迹方程．
答案：解：作交轴于，则，
，．
又，．
又，．
，．
由圆的定义知，点在以为圆心，为半径的圆上，
点的轨迹方程．
第14题. 若坐标原点在圆的内部，那么实数的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ．
第15题. 方程表示圆，则的取值范围是（ ）
Ａ．或 Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ．
第16题. 圆的半径为，圆心在坐标轴上，则当时，的值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．
答案：Ｃ．
第17题. 圆与两平行线，相切，圆心在直线上，求这个圆的方程．
答案：解：两平行线距离即为所求圆的直径．圆半径为．
又由和
得两交点，，其中点即为所求圆心，
因此所求圆方程为．
第18题. 设方程，若该方程表示一个圆，求的取值范围及这时圆心的轨迹方程．
答案：解：将圆的方程配方可得
，
设方程表示一个圆的充要条件是得．
设圆心坐标为，则消去得．
，．
所求圆心的轨迹方程是 ．
第19题. 以点为圆心，并且与轴相切的圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：C．
第20题. 已知圆的圆心在轴上，截直线所得的弦长为，且与直线相切，求圆方程．
答案：解：圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为：．
设与圆交于、两点，则，过作于，则为弦的中点，如图：
在中，，，
所以 ①，
又圆与相切，则 ②，
将②代入①中得：．
解得：；又代入②中，得．
故圆的方程为．
第21题. 圆心为且被直线截得的线段长为的圆的方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ．
第22题. 过原点，且在，轴上的截距分别为，的圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ．
第23题. 已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ．
第24题. 已知圆经过，，三点，则圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ．
第25题. 一个等腰三角形底边上的高等于，底边两端的坐标是，，求它的外接圆方程．
答案：解法一：设圆的方程为．
则三顶点，，或，，满足方程，所以
或
解得，（或），．
故所求圆的方程为或．
解法二：由题设可知，圆心一定在一腰和底边的中垂线上，所以由方程组
或
得圆心坐标为或．
易求半径，
所以所求外接圆方程为或．
第26题. 若圆与轴切于原点，则（ ）
Ａ．，， Ｂ．，，
Ｄ．，， Ｄ．，，
答案：Ｃ．
第27题. 设直线与轴交点为，点把圆的直径分为两段，则其长度之比为（ ）
Ａ．或 Ｂ．或
Ｃ．或 Ｄ．或
答案：Ａ．
第28题. 已知两点和，求以为直径的圆的方程．
答案：解：根据已知条件，圆心是的中点，则
，．
又圆的直线，
即圆的半径为．
即所求圆的方程是．