第六章 导数及其应用
6．1 导数
6．1.1 函数的平均变化率
最新课程标准
1.理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．(重点)
2．理解函数平均变化率的几何意义和物理意义．(重点)
3．理解数学中“以直代曲”的思想.
[教材要点]
知识点一 函数的平均变化率
函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两点，记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)，
则当Δx≠0时，商________＝
称作函数y＝f(x)在区间[x1，x2](或[x2，x1])的平均变化率．
知识点二 函数的平均变化率的几何意义即割线的斜率已知y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是________________，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
知识点三 函数的平均变化率的物理意义即平均速度物体在某段时间内的平均速度即函数的平均变化率．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx的值可正可负，但不可为零．( )
(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．( )
(3)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．( )
(4)平均速度是刻画某函数在区间[x1，x2]上的变化快慢的物理量．( )
2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图像上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则割线PQ的斜率为( )
A．4
B．4x
C．4＋2Δx2
D．4＋2Δx
3．如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
4．如果质点M按规律s＝3＋t2(s的单位是m，t的单位是s)运动，则在时间段[2,2.1]内质点M的平均速度等于( )
A．3
m/s
B．4
m/s
C．4.1
m/s
D．0.41
m/s
题型一 求函数的平均变化率
例1 (1)已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(1＋Δx)－f(1)可得．
(2)→→
方法归纳
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率＝.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x1附近的平均变化率，可用的形式．
跟踪训练1 函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是( )
A．2
B．2x
C．2＋Δx
D．2＋(Δx)2
题型二 求物体在某段时间内的平均速度
例2 质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10
m/s2)
方法归纳
求运动物体平均速度的两个步骤
1．求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
2．求平均速度＝
跟踪训练2 一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
题型三 平均变化率的几何意义
例3 已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．
方法归纳
已知y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是＝，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
跟踪训练3 已知函数y＝x2－1的图像上一点A(3,8)及邻近一点B(3＋Δx,8＋Δy)，则割线AB的斜率等于( )
A．6
B．6＋Δx
C．6＋(Δx)2
D．6x
第六章 导数及其应用
6．1 导数
6．1.1 函数的平均变化率
新知初探·自主学习
知识点一
知识点二
＝
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：＝＝4＋2Δx.
答案：D
3．解析：＝＝－1.
答案：B
4．解析：
平均速度＝＝＝＝4.1(m/s)，故选C.
答案：C
课堂探究·素养提升
例1 解析：(1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4.
(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝.
因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
答案：(1)C (2)见解析
跟踪训练1 解析：∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，
∴＝＝2＋Δx，故选C.
答案：C
例2 解析：Δs＝g×(3＋Δt)2－g×32＝×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，＝＝30＋5Δt.
答案：30＋5Δt
跟踪训练2 解析：＝＝－6－3Δt.
例3 解析：
当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝＝＝＝5.
当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝＝＝4.1.
答案：5 4.1
跟踪训练3 解析：
因为Δy＝(3＋Δx)2－1－32＋1＝6Δx＋(Δx)2，所以＝＝6＋Δx，故选B.
答案：B
PAGE6.1.2 导数及其几何意义
最新课程标准
1.理解瞬时变化率、导数的概念．(难点、易混点)
2．会用导数的定义求函数的导数．
3．理解导数的几何意义．(重点)能应用导数的几何意义解决相关问题．(难点)
[教材要点]
知识点一 瞬时变化率与导数
(1)物体运动的瞬时速度
设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当________时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率________________趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
(2)函数的瞬时变化率
设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率________________趋近于一个常数k，那么常数k称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．
记作：当Δx→0时，→k.
还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率，记作
＝k.
(3)函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在点x0的________，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作________，即f′(x0)＝________________.
知识点二 导数的几何意义
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为________________________．
[基础自测]
1．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________________________________________________________________________．
2．函数y＝f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是( )
A．0B．0C．0D．03．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)等于( )
A．1
B．－1
C．－3
D．3
4．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么
＝( )
A.
B．1
C．2
D.
题型一 求瞬时速度
例1 以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为________．
先求出，再求
.
方法归纳
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度.2.
求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
跟踪训练1
一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
题型二 求函数在某点处的导数
例2 (1)曲线y＝在点处的切线的斜率为( )
A．2 B．－4
C．3
D.
(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f
′(x0)．
方法归纳
1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k这一现象．
2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率；
(3)求极限，得导数为f′(x0)＝
.
简记为：一差、二比、三趋近．
跟踪训练2 求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．
题型三 求曲线在某点处切线的方程
例3 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
(1)先求切点坐标，再求y
′，最后利用导数的几何意义写出切线方程．
(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．
方法归纳
1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以曲线的切线方程为x＝x0.
2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
跟踪训练3 若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．
题型四 求切点坐标
例4 已知抛物线y＝2x2＋1.求：
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
→→→
跟踪训练4 已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )
A．(1,1)
B．(－1,1)
C．(1,1)或(－1，－1)
D．(2,8)或(－2，－8)
方法归纳
根据切线斜率求切点坐标的步骤
1．设切点坐标(x0，y0)；
2．求导函数f′(x)；
3．求切线的斜率f′(x0)；
4．由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
5．点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．
6．1.2 导数及其几何意义
新知初探·自主学习
知识点一
(1)Δt趋近于0
(2)＝
(3)瞬时变化率 f′(x0) li
知识点二
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
[基础自测]
1．解析：∵f(x)＝x2，
∴函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是
li
＝li
＝li
＝li
(2＋Δx)＝2.
答案：2
2．解析：
f′(2)为函数y＝f(x)的图像在点B处的切线的斜率，f′(3)为函数y＝f(x)的图像在点A处的切线的斜率，f(3)－f(2)＝，其几何意义为割线AB的斜率，由图可知，0答案：C
3．解析：由题意知f′(2)＝3.
答案：D
4．解析：因为f′(1)＝1，所以li
＝1，
所以li
＝li
＝.
答案：A
课堂探究·素养提升
例1 解析：∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0Δt－gt0Δt－g(Δt)2，
∴＝v0－gt0－gΔt，
∴li
＝v0－gt0，
即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
答案：v0－gt0
跟踪训练1 解析：(1)初速度v0＝li
＝li
＝li
(3－Δt)＝3，
即物体的初速度为3
m/s.
(2)v瞬＝li
＝li
＝li
＝li
(－Δt－1)＝－1，
即物体在t＝2时的瞬时速度为1
m/s，方向与初速度方向相反．
例2 解析：(1)因为y′＝li
＝li
＝li
＝－，
所以曲线在点处的切线斜率为
k＝－4，故选B.
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
∴＝6＋3Δx，
∴f′(1)＝li
＝li
(6＋3Δx)＝6.
答案：(1)B (2)见解析
跟踪训练2 解析：∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴f′(1)＝li
＝li
＝2.
例3 解析：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．
y′＝li
＝li
＝li[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.
∴k＝3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由
解得或
从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．
跟踪训练3 解析：切线的斜率为k＝－1.
∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
例4 解析：设切点的坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
∴f′(x0)＝li
(4x0＋2Δx)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan
45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
跟踪训练4 解析：因为y＝x3，所以y′＝li
＝li[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.
故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)，故选C.
答案：C
PAGE6．1.3 基本初等函数的导数
最新课程标准
1.会用导数的定义求函数的导数．
2．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)
3．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)
[教材要点]
知识点一 函数的导数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x________的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个________．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为____________．
知识点二 几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝________
f(x)＝x
f′(x)＝________
f(x)＝x2
f′(x)＝________
f(x)＝
f′(x)＝________
f(x)＝
f′(x)＝
知识点三 基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝c
y′＝________
y＝xn(n∈N＋)
y′＝________，n为正整数
y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q)
y′＝________，μ为有理数
y＝ax(a＞0，a≠1)
y′＝________
y＝ex
y′＝________
y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)
y′＝________
y＝ln
x
y′＝________
y＝sin
x
y′＝________
y＝cos
x
y′＝________
[基础自测]
1．给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；
②若y＝，则y′＝；
③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
2．给出下列命题：
①y＝ln
2，则y′＝；②y＝，则y′＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln
2；④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于( )
A.
B．10
C．10ln
10
D.
4．已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝，则α等于( )
A.
B.
C.
D.
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.
首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．
方法归纳
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“与ln
x”，“ax与logax”，“sin
x与cos
x”的导数区别．
跟踪训练1 若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,
则f′(x)－g′(x)＝________.
题型二 利用公式求函数在某点处的导数
例2 质点的运动方程是s＝sin
t，求质点在t＝时的速度．
先求s
′(t)，再求s
′.
方法归纳
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
跟踪训练2 (1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cos
x在处的导数．
题型三 求曲线过某点的切线方程
1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？
[提示] 根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f
′(x0)·(x
－x0)．
2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
[提示] 不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．
3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？
[提示] 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．
联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f
′(x)在x
＝x0时的函数值．
例3 已知曲线f(x)＝.
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
(1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．
(2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程．
方法归纳
1．求曲线过已知点的切线方程的步骤
2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．
跟踪训练3 试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
题型四 导数公式的应用
点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
[提示] 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y
′＝(ex)
′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
例4 (1)已知函数y＝kx是曲线y＝ln
x的一条切线，则k＝________.
(2)求过曲线f(x)＝cos
x上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．
→→
→
方法归纳
求曲线方程或切线方程时，应注意：
1．切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
2．曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
3．必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
跟综训练4 已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．
6．1.3 基本初等函数的导数
新知初探·自主学习
知识点一
都是可导 确定的导数f′(x) f′(x)或y′(或y′x)
知识点二
0 1 2x －
知识点三
0 nxn－1 μxμ－1 axln
a ex cos
x －sin
x
[基础自测]
1．解析：对于①，y′＝(x－3)′＝，正确；
对于②，y′＝x＝x，不正确；
对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．
答案：B
2．解析：对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.
答案：C
3．解析：∵f′(x)＝10xln
10，
∴f′(1)＝10ln
10.
答案：C
4．解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝.
答案：D
课堂探究·素养提升
例1 解析：(1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝′＝x.
(4)y′＝(3x)′＝3xln
3.
(5)y′＝(log5x)′＝.
跟踪训练1 解析：∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，
∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.
答案：3x2－
例2 解析：v(t)＝s′(t)＝cos
t，∴v＝cos＝.
即质点在t＝时的速度为.
跟踪训练2 解析：(1)∵f′(x)＝′＝′＝－＝－，
∴f′(1)＝－＝－.
(2)∵f′(x)＝－sin
x，
∴f′＝－sin
＝－.
例3 解析：(1)f′(x)＝－.
设过点A(1,0)的切线的切点为P，①
则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.
因为点A(1,0)，P在切线上，
所以＝－，②
解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，
即4x＋y－4＝0.
(2)设斜率为－的切线的切点为Q，
由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.
所以切点坐标为或.
故满足斜率为－的曲线的切线方程为
y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，
即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
跟踪训练3 解析：y′＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)．
∵点A在曲线y＝x2上，
∴y0＝x，
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率k＝2x0，
∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率为＝.
∴2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.
例4 解析：(1)设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴k＝，
∴y＝·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln
x上，
∴y0＝ln
x0，∴ln
x0＝，∴x0＝e，∴k＝.
(2)因为f(x)＝cos
x，所以f′(x)＝－sin
x，则曲线f(x)＝cos
x在点P的切线斜率为
f′＝－sin＝－，
所以所求直线的斜率为，
所求直线方程为y－＝，
即y＝x－π＋.
答案：(1) (2)见解析
跟踪训练4 解析：设切点为(x0，y0)．
因为y′＝3xln
3，①
所以k＝3x0ln
3，
所以y＝3x0ln
3·x，
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，
所以3x0ln
3·x0＝3x0，②
所以x0＝＝log3
e.
所以k＝eln
3.
答案：eln
3
PAGE6.1.4 求导法则及其应用
最新课程标准
1.熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)
2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)
3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)
[教材要点]
知识点一 导数的运算法则
1．和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝________________.
2．积的导数
(1)[f(x)g(x)]′＝________________；
(2)[Cf(x)]′＝________________.
3．商的导数
′＝________________________.
知识点二 复合函数的概念及求导法则
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成________，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作________．
复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为＝________，即y对x的导数等于________________.
[基础自测]
1．下列运算中正确的是( )
A．若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2
B．已知函数y＝2sin
x－cos
x，则y′＝2cos
x＋sin
x
C．已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1
D.′＝
2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝( )
A．ex(x＋1)
B．1＋ex
C．x(1＋ex)
D．ex(x－1)
3．若函数f(x)＝exsin
x，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )
A.
B．0
C．钝角
D．锐角
4．函数f(x)＝sin(－x)的导函数f′(x)＝________.
题型一 导数四则运算法则的应用
例1 求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；
(4)y＝x2－sincos.
方法归纳
1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
跟踪训练1 已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．
题型二 复合函数的导数
例2 求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin
3x.
先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．
方法归纳
1．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
跟踪训练2 求下列函数的导数．
(1)y＝cos(x＋3)；
(2)y＝(2x－1)3；
(3)y＝e－2x＋1.
题型三 导数法则的综合应用
试说明复合函数y＝(3x
＋2)2的导函数是如何得出的？
[提示] 函数y＝(3x
＋2)2可看作函数y＝u2和u＝3x
＋2的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)
′·(3x
＋2)
′＝6u＝6(3x
＋2)．
例3 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值．
求出导数f
′(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解．
方法归纳
关于复合函数导数的应用及其解决方法
1．复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
2．方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．
跟踪训练3 (1)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
(2)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
6．1.4 求导法则及其应用
新知初探·自主学习
知识点一
1．f′(x)±g′(x)
2．(1)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (2)Cf′(x)
3.，g(x)≠0，g′(x)≠0
知识点二
x的函数 y＝f(g(x)) · y对u的导数与u对x的导数的乘积
[基础自测]
1．解析：A项中，由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋c，错误；B项中，由y＝2sin
x－cos
x，则y′＝(2sin
x)′－(cos
x)′＝2cos
x＋sin
x，正确；C项中，由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，所以f′(x)＝2x＋3，错误；D项中，′＝，错误；
答案：B
2．解析：f′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，选A.
答案：A
3．解析：∵f′(x)＝exsin
x＋excos
x，
∴f′(4)＝e4(sin
4＋cos
4)．
∵π<4<π，∴sin
4<0，cos
4<0，∴f′(4)<0.
由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．
答案：C
4．解析：f′(x)＝[sin(－x)]′＝cos(－x)(－x)′
＝－cos
x.
答案：－cos
x
课堂探究·素养提升
例1 解析：(1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln
3＋1)·(3e)x－2xln
2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin
x，
∴y′＝2x－cos
x.
跟踪训练1 解析：∵f′(x)＝
＝(x≠0)．
∴由f′(x0)＋f(x0)＝0，得
＋＝0，
解得x0＝.
答案：
例2 解析：(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin
x的复合函数，函数y＝sin
3x可看作函数y＝sin
v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin
x)′＋(sin
v)′·(3x)′
＝3u2·cos
x＋3cos
v
＝3sin2x
cos
x＋3cos
3x.
跟踪训练2 解析：(1)函数y＝cos(x＋3)可以看作函数y＝cos
u和u＝x＋3的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
y′x＝y′u·u′x＝(cos
u)′·(x＋3)′
＝－sin
u·1＝－sin
u＝－sin(x＋3)．
(2)函数y＝(2x－1)3可以看作函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
y′x＝y′u·u′x＝(u3)′·(2x－1)′
＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.
(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.
例3 解析：因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
所以f′(1)＝2a－2，
所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.
因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.
跟踪训练3 解析：(1)因为y＝3(x2＋x)ex，所以y′＝3(x2＋3x＋1)ex，所以y′|x＝0＝3，故曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为y－0＝3(x－0)，即y＝3x.
(2)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，
所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
答案：(1)y＝3x (2)见解析
PAGE6.2 利用导数研究函数的性质
6．2.1 导数与函数的单调性
最新课程标准
1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)
3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
[教材要点]
知识点一 用函数的导数判定函数单调性的法则
(1)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；
(2)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．
知识点二 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性
与导数有如下关系
函数的单调性
导数
单调递增
________
单调递减
________
常函数
________
[基础自测]
1．函数y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是( )
2．已知函数f(x)＝＋ln
x，则有( )
A．f(2)＜f(e)＜f(3)
B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2)
D．f(e)＜f(3)＜f(2)
3．函数y＝f(x)的图像如图所示，则( )
A．f′(3)>0
B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0
D．f′(3)的正负不确定
4．已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．
题型一 函数单调性与导数的正负的关系
例1 (1)函数y＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法：
①函数y＝f(x)的定义域是[－1,5]；
②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]；
③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；
④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.
其中正确的序号是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为( )
(3)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的图像只可能是所给选项中的( )
研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
方法归纳
1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．
2．通过图像研究函数单调性的方法
(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负．
跟踪训练1 (1)函数y＝f(x)的图像如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图像可能是( )
(2)函数y＝f(x)在定义域R上可导，其导函数的图像如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为________________．
题型二 利用导数求函数的单调区间
例2 (1)求函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间．
(2)求函数f(x)＝x＋(a≠0)的单调区间．
求出导数f
′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f
′(x)>0求得单调增区间，由f
′(x)<0求得单调减区间．
方法归纳
利用导数求函数单调区间的步骤
1．确定函数f(x)的定义域．
2．求导数f′(x)．
3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
4．结合定义域写出单调区间．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
(2)函数f(x)＝ln
x－x的单调递增区间是( )
A．(－∞，1)
B．(0,1)
C．(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
题型三 已知函数的单调性求参数的取值范围
1．已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，如何求实数a的取值范围．
[提示] 由已知得f
′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f
′(x)＝3x2－a＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a＜3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a＜0.
又因为a＝0时，f
′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
2．若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1,1)，如何求a的取值范围．
[提示] 由f
′(x)＝3x2－a，
①当a≤0时，f
′(x)≥0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f
′(x)＜0.
∴f(x)在上为减函数，
∴f(x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3.
例3 已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.
(1)若函数y在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围；
(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值．
(1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y
′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围．
(2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值．
方法归纳
1．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
跟踪训练3 将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？
6．2 利用导数研究函数的性质
6．2.1 导数与函数的单调性
新知初探·自主学习
知识点一
(1)f′(x)>0 (2)f′(x)<0
知识点二
f′(x)≥0 f′(x)≤0 f′(x)＝0
[基础自测]
1．解析：∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.
答案：D
2．解析：因为在定义域(0，＋∞)上，f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.
答案：A
3．解析：由图像可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.
答案：B
4．解析：∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，
故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
课堂探究·素养提升
例1 解析：(1)由图像可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.
(2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
(3)∵导数的正负确定了函数的单调性，
∴从函数f′(x)的图像可知，令f′(x)＝0，
得x＝0或x＝a(a>0)，
∴函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，故选C.
答案：(1)A (2)D (3)C
跟踪训练1 解析：
(1)由函数y＝f(x)的图像可知其单调性从左向右依次为单调递增、单调递减、单调递增、单调递减，所以其导函数y＝f′(x)的图像从左向右依次在x轴上方、下方、上方、下方．通过观察可知，只有选项A符合题意．
(2)函数y＝f(x)的单调递增区间为其导函数的图像在x轴上方的部分对应的区间，观察图像知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞)．
答案：(1)A (2)(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞)
例2 解析：(1)f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.∴f(x)的单调减区间为(1,2)．
(2)f(x)＝x＋的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
当a>0时，
令f′(x)＝1－>0，解得x>或x<－；
令f′(x)＝1－<0，解得－当a<0时，f′(x)＝1－>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调递减区间为(－，0)和(0，)．
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
跟踪训练2 解析：(1)∵f′(x)＝(ex－ex)′＝ex－e，
由f′(x)＝ex－e>0，可得x>1.
即函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调增区间为
(1，＋∞)，故选D.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝－1，
由f′(x)＝－1>0，得0所以函数f(x)＝ln
x－x的单调递增区间是(0,1)，故选B.
答案：(1)D (2)B
例3 解析：y′＝3x2－a.
(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数．
则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，
即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立，
则a≤(3x2)最小值．
因为x>1，所以3x2>3.
所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]．
(2)令y′>0，得x2>.
若a≤0，则x2>恒成立，即y′>0恒成立，
此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符．
若a>0，令y′>0，得x>或x<－.
因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以＝1，即a＝3.
跟踪训练3 解析：y′＝3x2－a，
当a≤0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．
当a＞0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝或x＝－(舍去)．
依题意，有>1，∴a>3，
所以a的取值范围是(3，＋∞)．
PAGE6.2.2 导数与函数的极值、最值
最新课程标准
1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．(易混点)
2．会求函数的极值．(重点)
3．会求函数在闭区间上的最值．
4．能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题．(难点)
[教材要点]
知识点一 极值点和极值的概念
名称
定义
表示法
极值
极大值
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有________，则称函数f(x)在点x0处取极大值
记作________
极小值
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有________，则称函数f(x)在点x0处取极小值
记作________
极值点
________统称为极值点
知识点二 函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得________与________，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．
[基础自测]
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )
A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
3．函数f(x)＝2x－cos
x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
4．下列说法正确的是________．(填序号)
①函数的最大值一定是函数的极大值；
②开区间上的单调连续函数无最值；
③函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．
题型一 求函数的极值
例1 求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x2－2x－1；
(2)f(x)＝－x3＋－6；
(3)f(x)＝|x|.
方法归纳
1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．
点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
①f′(x0)＝0；
②点x0两侧f′(x)的符号不同．
(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝x2－2ln
x，则f(x)的极小值是________．
题型二 利用函数的极值求参数
例2 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值．
(1)求导函数f
′(x)，则由x＝1和x＝－是f
′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b.
(2)由f(－1)＝求出c，再列表求解．
方法归纳
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
1．根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
2．因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
题型三 求函数的最值
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
1．观察[a，b]上函数y＝f(x)的图像，试找出它的极大值、极小值．
[提示] f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
2．结合图像判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
[提示] 存在．f(x)的最小值为f(a)，f(x)的最大值为f(x3)．
3．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？
[提示] 不一定．也可能是区间端点的函数值．
例3 (1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为( )
A．72
B．36
C．12
D．0
(2)函数f(x)＝ln
x－x在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e
B．－1
C．－e
D．0
(3)求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．
方法归纳
求函数最值的四个步骤
第一步，求函数的定义域；
第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；
第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；
第四步，求极值、端点值，确定最值．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.
6．2.2 导数与函数的极值、最值
新知初探·自主学习
知识点一
f(x)≤f(x0) y极大＝f(x0) f(x)≥f(x0) y极小＝f(x0) 极大值点与极小值点
知识点二
最大值 最小值
[基础自测]
1．解析：依题意，记函数y＝f′(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.
答案：B
2．解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0.
∴当x＝－1时，函数有极大值5；3?(－2,2)，故无极小值．
答案：C
3．解析：f′(x)＝2＋sin
x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
答案：A
4．答案：②
课堂探究·素养提升
例1 解析：(1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1.
因为当x<1时，f′(x)<0，
当x>1时，f′(x)>0，
所以函数在x＝1处有极小值，且y极小＝－2.
(2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1.
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小＝－6.
(3)显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导，
当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
故当x＝0时，函数取得极小值，且y极小＝0.
跟踪训练1 解析：∵f′(x)＝2x－，
且函数定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.
答案：1
例2 解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－为f′(x)＝0的解．
∴
∴a＝－，b＝－2.经检验满足题意．
(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋c，
由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，得c＝1.
∴f(x)＝x3－x2－2x＋1.
∴f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
∴f(x)的递增区间为和(1，＋∞)，递减区间为.
当x＝－时，f(x)有极大值为f＝；
当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－.
跟踪训练2 解析：f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，
如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
例3 解析：(1)因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0，故选D.
(2)f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，
∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1，故选B.
(3)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
答案：(1)D (2)B (3)见解析
跟踪训练3 解析：f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f′(x)<0，
当x∈(0,2)时，f′(x)>0，
∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．
∴f(0)＝m＝1.
答案：1
PAGE6.3 利用导数解决实际问题
最新课程标准
1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．(重点)
2．能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)．(难点、易混点)
[教材要点]
知识点一 最优化问题
生活中经常遇到求________、________、________等问题，这些问题通常称为最优化问题．
知识点二 用导数解决最优化问题的基本思路
[基础自测]
1．做一个容积为256
m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6
m
B．8
m
C．4
m
D．2
m
2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0A．30
B．40
C．50
D．60
3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
题型一 面积、体积的最值问题
例1 请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．
方法归纳
1．解决面积、体积最值问题的思路
要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
2．解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
跟踪训练1 将一张2×6
m的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x
m，容积为y
m3.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)x取何值时，水箱的容积最大．
题型二 用料最省、成本(费用)最低问题
例2 位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．
可设CD＝x
km，则CE＝(3－x)km，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数．
方法归纳
1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪训练2 甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
题型三 利润最大、效率最高问题
在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？
[提示] 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．
例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
(1)根据x＝5时，y＝11，求a的值．
(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．
方法归纳
1．经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．
2．关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练3 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24
200－x2，且生产x吨的成本为R＝50
000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
温馨提示：请完成课时分层作业(十七)
章末质量检测
模块质量检测
6．3 利用导数解决实际问题
新知初探·自主学习
知识点一
利润最大 用料最省 效率最高
知识点二
函数 导数
[基础自测]
1．解析：设底面边长为x
m，高为h
m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S
m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．
答案：C
2．解析：V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，
因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，
此时V(x)单调递增；
当40答案：B
3．解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当0＜x＜9时，y′＞0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．
答案：C
4．解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6
000，
S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．
答案：115
课堂探究·素养提升
例1 解析：设包装盒的高为h
cm，底面边长为a
cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
跟踪训练1 解析：(1)由水箱的高为x
m，
得水箱底面的宽为(2－2x)
m，长为＝(3－x)
m.
故水箱的容积为y＝2x3－8x2＋6x(0(2)由y′＝6x2－16x＋6＝0，
解得x＝(舍去)或x＝.
因为y＝2x3－8x2＋6x(0所以当x的值为时，水箱的容积最大．
例2 解析：设CD＝x
km，则CE＝(3－x)km.
则所需电线总长
l＝AC＋BC＝＋(0≤x≤3)，
从而l′＝－.
令l′＝0，即－＝0，
解得x＝1.2或x＝－6(舍去)．
因为在[0,3]上使l′＝0的点只有x＝1.2，
所以根据实际意义，知x＝1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2
km处时，所需电线总长最短．
跟踪训练2 解析：(1)Q＝P·
＝·
＝·400
＝－v2＋6
000(0(2)Q′＝－5v，
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当0当800，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值＝Q(80)＝(元)．
例3 解析：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，故a＝2.
(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)·(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
跟踪训练3 解析：每月生产x吨时的利润为
f(x)＝x－(50
000＋200x)
＝－x3＋24
000x－50
000(x≥0)，
由f′(x)＝－x2＋24
000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．
因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24
000×200－50
000＝3
150
000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．
