2020-2021学年北师大版八年级下册数学 3.2图形的旋转 同步习题（word含解析）

3.2图形的旋转 同步习题
一．选择题
1．下列图形中，不是旋转对称图形的是（　　）
A．正三角形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形
2．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（　　）
A． B． C． D．
3．把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（　　）
A．36° B．72° C．90° D．108°
4．如图，把△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则下列结论错误的是（　　）
A．BD＝OB B．AB＝CD C．∠AOC＝∠BOD D．∠A＝∠C
5．如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，则∠CB′C′的度数为（　　）
A．50° B．60° C．80° D．100°
6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；
其中一定正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是边BC上一点（点D不与点B，点C重合），将AC绕点A顺时针旋转至AC1，AC1交BC于点H，且AD平分∠CAC1，若DC1∥AB，则点B到线段AD的距离为（　　）
A．2 B． C．4 D．3
8．如图，将△ABC绕A点逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，若∠CDE＝90°，则∠BCD的度数是（　　）
A．110° B．120° C．130° D．150°
9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，将△ABC绕点A旋转，使得点C的对应点C′落在AB上，则∠BB′C′的度数为（　　）
A．12° B．15° C．25° D．30°
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点D是BC上的一点，BD＝1，点P是AC上的一个动点，连接DP，将线段DP绕点D顺时针旋转90°得到线段BQ，连接BQ，则线段BQ长的最小值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．若点B恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为　 　°．
12．如图，Rt△ABC和Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°．B，C，E三点共线，Rt△ABC不动，将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°），当DE∥BC时，α＝　 　．
13．如图，等边△ABC，边长为4，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边在右侧作等边△ADE，取AC中点F，连接EF，当EF的值最小时，BD＝　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点P在AC边上，以点P为中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△DEF，DE交边AC于G，当P为中点时，AG：DG的值为　 　．
三．解答题
16．如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，连接AD，把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，其中D，E是对应点，若∠CAD＝18°，求∠EAC的度数．
17．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．分别画出下列图形．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0）；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3．
参考答案
一．选择题
1．解：A、正三角形旋转120°，可以与原图形重合，是旋转对称图形，不合题意；
B、等腰梯形，不是旋转对称图形，符合题意；
C、正五边形旋转72°，可以与原图形重合，是旋转对称图形，不合题意；
D、正六边形旋转60°，可以与原图形重合，是旋转对称图形，不合题意；
故选：B．
2．解：根据旋转的定义，A，B，C中的三角形绕一点旋转一次不能得到另一三角形，不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
3．解：五角星可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，
因而旋转的角度是360°÷5＝72°，
故选：B．
4．解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，OB＝OD，
∵∠BOD≠90°，
∴BD≠OB．
故选：A．
5．解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，
∴AB＝AB′，∠C′B′A＝∠B，
∴∠AB′B＝∠B，
∵∠B＝50°，
∴∠C′B′A＝∠AB′B＝50°，
∴∠CB′C′＝180°﹣∠C′B′A﹣∠AB′B＝80°，
故选：C．
6．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①错误，③正确；
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，
∴∠A＝∠EBC，故④正确；
∵∠A+∠ABC不一定等于90°，
∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误．
故选：C．
7．解：如图，过点B作BF⊥AD于F，过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，AE⊥BC，
∴CE＝BE＝8，∠C＝∠ABC，
∴AE＝＝＝6，
∵将AC绕点A顺时针旋转至AC1，
∴AC＝AC1，
∵AD平分∠CAC1，
∴∠CAD＝∠C1AD，
在△ACD和△AC1D中，
，
∴△ACD≌△AC1D（SAS），
∴∠C＝∠C1，
∵DC1∥AB，
∴∠C1＝∠HAB，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠DAB＝∠DAC1+∠HAB，
∴∠DAB＝∠ADB，
∴AB＝DB＝10，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
∴AD＝＝＝2，
∵S△ABD＝×BD×AE＝×AD×BF，
∴10×6＝2×BF，
∴BF＝3，
故选：D．
8．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠CAE＝60°，∠E＝∠ACB，
∴∠CAE+∠CDE＝360°﹣（∠ACD+∠E），
∵∠BCD＝360°﹣∠ACB﹣∠ACD＝360°﹣（∠ACD+∠E），
∴∠BCD＝∠CDE+∠CAE＝60°+90°＝150°，
故选：D．
9．解：由旋转的性质可知，∠B′AB＝∠BAC＝30°，AB＝AB′，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠BCB＝90°，
∴∠BB′C＝90°﹣75°＝15°，
故选：B．
10．解：过点D作DT⊥BC交AC于点T，在DC上取一点G，使得DG＝DT，连接TG，GQ，过点B作BR⊥QG于R．
∵∠TDC＝∠PDQ＝90°，
∴∠PDT＝∠GDQ，
在△PDT和△QDG中，
，
∴△PDT≌△QDG（SAS），
∴∠DTP＝∠DGQ，
∴点Q在射线GQ上运动，∠DGQ是定值，
∵∠TDC＝∠B＝90°，
∴DT∥AB，
∴＝，∠DTC＝∠A，
∴＝，∠DGQ＝∠A，
∴DT＝DG＝，
∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴AC＝＝＝2，
∴sin∠DGR＝sin∠A，
∴＝，
∴＝，
∴BR＝，
根据垂线段最短可知，当BQ与BR重合时，BQ的值最小，最小值为．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵∠BAC＝105°，
∴∠B+∠C＝75°，
∵AB′＝CB′，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∴∠C＝25°，
故答案为：25．
12．解：如图1，当DE位于BC的上方，
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠BCD，
∵∠E＝45°，∠DCE＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠E＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴α＝∠ACD＝45°，
如图2，当DE位于BC的下方，
∵DE∥BC，
∴∠E＝∠BCE＝45°，
∴α＝∠ACB+∠BCE+∠ECD＝90°+45°+90°＝225°，
∴当DE∥BC时，α＝45°或225°．
故答案为：45°或225°．
13．解：如图，连接CE，
∵点F是AC的中点，
∴AF＝CF＝2，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴点E在∠ACB的外角的角平分线上运动，
∴当EF⊥CE时，EF有最小值，
∴∠CFE＝30°，
∴CE＝CF＝1，
∴BD＝1，
故答案为1．
14．解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
∴PC＝A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故答案为：3．
15．解：设BC＝x，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AB＝2x，AC＝x，
∵点P是AC中点，
∴PC＝PA＝x，
由旋转得，DP＝DF＝AC＝x，DG＝DE＝AB＝x，
根据勾股定理得，PG＝＝＝x，
∴AG＝AP﹣PG＝x﹣x，
∴＝＝．
故答案为．
三．解答题
16．解：∵把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，
∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝42°．
17．解：（1）连接PQ，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
（2）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
（3）如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CH＝PC＝，PH＝HC＝，
∴BH＝4+，
∴BC2＝BH2+CH2＝+（4+）2＝25+12，
∵S△ABC＝BC2，
∴S△ABC＝（25+12）＝+9．
18．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
（3）如图，△A3B3C3即为所求作．