2020-2021学年安徽省合肥四十八中九年级（下）开学数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年安徽省合肥四十八中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．
2．计算a10÷a2（a≠0）的结果是（　　）
A．a5 B．a﹣5 C．a8 D．a﹣8
3．2016年3月份我省农产品实现出口额8362万美元，其中8362万用科学记数法表示为（　　）
A．8.362×107 B．83.62×106 C．0.8362×108 D．8.362×108
4．如图，一个放置在水平桌面上的圆柱，它的主（正）视图是（　　）
A． B． C． D．
5．方程＝3的解是（　　）
A．﹣ B． C．﹣4 D．4
6．2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为（　　）
A．b＝a（1+8.9%+9.5%） B．b＝a（1+8.9%×9.5%）
C．b＝a（1+8.9%）（1+9.5%） D．b＝a（1+8.9%）2（1+9.5%）
7．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　）
A．4 B．4 C．6 D．4
8．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
9．一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（　　）
A．或2+ B．或2﹣ C．2± D．或
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．不等式x﹣2≥1的解集是　 　．
12．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是　 　．
13．如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC＝30°，则劣弧的长为　 　．
14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，且CE＝2BE，连接AE交BD于点G，过点B作BF⊥AE于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作OP⊥OF交DC于点N，S四边形MONC＝，现给出下列结论：①；②sin∠BOF＝；③OF＝；④OG＝BG；其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．计算：（﹣2016）0++tan45°．
16．解方程：x2﹣2x＝4．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．
18．2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有　 　人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有　 　人．
（2）请补全条形统计图．
（3）“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB＝60°，求C、D两点间的距离．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．
六.解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21．如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．
七、解答题.（本大题共1小题，共14分）
23．如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R．
①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．
解：﹣2的绝对值是：2．
故选：B．
2．计算a10÷a2（a≠0）的结果是（　　）
A．a5 B．a﹣5 C．a8 D．a﹣8
解：a10÷a2（a≠0）＝a8．
故选：C．
3．2016年3月份我省农产品实现出口额8362万美元，其中8362万用科学记数法表示为（　　）
A．8.362×107 B．83.62×106 C．0.8362×108 D．8.362×108
解：8362万＝8362 0000＝8.362×107，
故选：A．
4．如图，一个放置在水平桌面上的圆柱，它的主（正）视图是（　　）
A． B． C． D．
解：圆柱的主（正）视图为矩形．
故选：C．
5．方程＝3的解是（　　）
A．﹣ B． C．﹣4 D．4
解：去分母得：2x+1＝3x﹣3，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解，
故选：D．
6．2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为（　　）
A．b＝a（1+8.9%+9.5%） B．b＝a（1+8.9%×9.5%）
C．b＝a（1+8.9%）（1+9.5%） D．b＝a（1+8.9%）2（1+9.5%）
解：∵2013年我省财政收入为a亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，
∴2014年我省财政收入为a（1+8.9%）亿元，
∵2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，
∴2015年我省财政收为b＝a（1+8.9%）（1+9.5%）；
故选：C．
7．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　）
A．4 B．4 C．6 D．4
解：∵BC＝8，
∴CD＝4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴＝，
∴AC2＝CD?BC＝4×8＝32，
∴AC＝4；
故选：B．
8．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
9．一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解；由题意，甲走了1小时到了B地，在B地休息了半个小时，2小时正好走到C地，乙走了小时到了C地，在C地休息了小时．
由此可知正确的图象是A．
故选：A．
10．如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（　　）
A．或2+ B．或2﹣ C．2± D．或
解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．
由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，
∵y＝，
∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，
∴OA?2＝1.5，
∴OA＝，
∴AM＝1+＝．
如图2中，当点A在正方形外部时，
由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，
∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，
解得AN＝，
∴AM＝2+，
综上所述，满足条件的AM的值为或2+，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．不等式x﹣2≥1的解集是　x≥3　．
解：不等式x﹣2≥1，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
12．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是　k＞﹣且k≠0　．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（﹣3）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得：k＞﹣且k≠0．
故答案为：k＞﹣且k≠0．
13．如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC＝30°，则劣弧的长为　　．
解：∵AB是⊙O切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴的长为＝．
故答案为．
14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，且CE＝2BE，连接AE交BD于点G，过点B作BF⊥AE于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作OP⊥OF交DC于点N，S四边形MONC＝，现给出下列结论：①；②sin∠BOF＝；③OF＝；④OG＝BG；其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
解：如图，过点O作OH∥BC交AE于点H，过点O作OQ⊥BC交BC于点Q，过点B作BK⊥OM交OM的延长线于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠BOM+∠MOC＝90°．
∵OP⊥OF，
∴∠MON＝90°，
∴∠CON+∠MOC＝90°，
∴∠BOM＝∠CON，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴S△BOM＝S△CON，
∴，
∴，
∴．
∵CE＝2BE，
∴，
∴．
∵BF⊥AE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BM＝，MQ＝．
∵AD∥BC，
∴，故①正确；
∵OH∥BC，
∴，
又∵CE＝2BE，
∴OH＝BE，AH＝HE＝．
∵∠HGO＝∠EGB，
∴△HOG≌△EBG（AAS），
∴OG＝BG，故④正确；
∵OQ2+MQ2＝OM2，
∴，
∴，故③正确；
∵，
即，
∴，
∴，故②错误；
∴正确的有①③④．
故选：D．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．计算：（﹣2016）0++tan45°．
解：（﹣2016）0++tan45°
＝1﹣2+1
＝0．
16．解方程：x2﹣2x＝4．
解：配方x2﹣2x+1＝4+1
∴（x﹣1）2＝5
∴x＝1±
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
18．2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有　40　人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有　320　人．
（2）请补全条形统计图．
（3）“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（人）；
∵本次抽取调查的学生中，比较了解”的学生有：40﹣14﹣6﹣4＝16（人），
∴估计该校800名学生中“比较了解”的学生有800×＝320（人），
故答案为：40，320；
（2）补全条形统计图如图：
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有6个，
∴恰好抽到2名男生的概率为＝．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB＝60°，求C、D两点间的距离．
解：过点D作l1的垂线，垂足为F，
∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，
∴∠ADE＝∠DEB﹣∠DAB＝30°，
∴△ADE为等腰三角形，
∴DE＝AE＝20，
在Rt△DEF中，EF＝DE?cos60°＝20×＝10，
∵DF⊥AF，
∴∠DFB＝90°，
∴AC∥DF，
由已知l1∥l2，
∴CD∥AF，
∴四边形ACDF为矩形，CD＝AF＝AE+EF＝30，
答：C、D两点间的距离为30m．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．
解：（1）把点A（4，3）代入函数y＝得：a＝3×4＝12，
∴y＝．
OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：
解得：
∴y＝2x﹣5．
（2）方法一：∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵MB＝MC，
∴
解得：x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5），
∴BC＝10，
∴BC的中垂线为：直线y＝0，
当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
六.解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21．如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，
得，解得：；
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，
设C坐标为（x，﹣x2+3x），
S△OAD＝OD?AD＝×2×4＝4；
S△ACD＝AD?CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；
S△BCD＝BD?CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，
则S＝S△OAD+S△ACD+S△BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x，
∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），
∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．
【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：
连接OD、AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
而AO＝BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH为⊙O的切线；
（2）证明：连接DE，如图，
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEC＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∵DH⊥CE，
∴CH＝EH，即H为CE的中点；
（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，
∵cosC＝＝，
∴AC＝5，
在Rt△CDH中，∵cosC＝＝，
∴CH＝，
∴CE＝2CH＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3．
七、解答题.（本大题共1小题，共14分）
23．如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R．
①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．
【解答】（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，
∴DE＝OC，DE∥OC，CE＝OD，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴∠OCE＝∠ODE，
∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，
∴∠PCO＝∠QDO＝90°，
∴∠PCE＝∠PCO+∠OCE＝∠QDO+∠EDO＝∠EDQ，
∵PC＝AO＝OC＝ED，CE＝OD＝OB＝DQ，
在△PCE与△EDQ中，，
∴△PCE≌△EDQ；
（2）①如图2，连接RO，
∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，
∴AR＝OR＝RB，
∴∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRO，
∵∠RCO＝∠RDO＝90°，∠COD＝150°，
∴∠CRD＝30°，
∴∠ARB＝60°，
∴△ARB是等边三角形；
②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE，
∴∠PEQ＝∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ＝∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE＝∠ACE﹣∠RCE＝∠ACR＝90°，
∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB＝∠PEQ＝90°，
∴∠OCR＝∠ODR＝90°，∠CRD＝∠ARB＝45°，
∴∠MON＝135°，
此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB＝90°，
∴AB＝2PE＝2×PQ＝PQ，∴＝．