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1.1
等腰三角形
第一章
三角形的证明
第1课时
三角形的全等和等腰三角形的性质
学习目标
1.回顾全等三角形的判定和性质;
2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用
其解决基本的几何问题.(重点)
问题：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理?
问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线
底边上的高互相重合(三线合一).
问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
定理:等腰三角形的两个底角相等.
等腰三角形的性质及其推论
二
问题引入
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：
∠B=
∠C.
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，
则BD=CD.
AB=AC
(
已知
)，
BD=CD
(
已作
)，
AD=AD
(公共边)，
∴
△BAD≌
△CAD
(SSS).
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：
∠B=
∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC
(
已知
),
∠BAD=∠CAD
(
已作
),
AD=AD
(公共边),
∴
△BAD
≌
△CAD
(SAS).
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
想一想：由△BAD≌
△CAD，除了可以得到∠B=
∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌
△CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵
∠ADB+∠ADC=180°，
∴
∠ADB=∠ADC=
90°
，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线
.
A
B
C
D
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
证明后的结论,以后可以直接运用.
总结归纳
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC,
∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC,
BD=CD
(已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC,
AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD,
∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
综上可得：如图,在△ABC中,
例1
(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为___________；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为
____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为__________.
75°,
30°
72°,72°或36°,108°
30°,30°
结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.
A
B
C
D
例2
如图，在△ABC中
，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
分析（1）指出图中有几个等腰三角形？
（2）找出图中所有相等的角；
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
（3）设∠A=x°,请把△
ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵
∠A+
∠ABC+
∠C=180
°，
∴
x+2x+2x=180
°
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC=
∠A+
∠ABD=2x,
从而∠ABC=
∠C=
∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180
°
，
解得x=36
°，在△ABC中，
∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
归纳
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.北师版八年级(下册)数学教案
2020—2021学年第二学期
课题：1.1.1等腰三角形
主备人：
审核人：八年级备课组
执教人：
课型
新授课
课时安排
1
集体备课日期
2.21
教学
目标
1、了解作为证明基础的几条公理、定理，掌握证明的基本步骤和基本格式.
2、掌握等腰三角形的性质
3、利用等腰三角形的性质解决简单问题.
重点
1、掌握等腰三角形的性质
2、利用等腰三角形的性质解决简单问题.
难点
利用等腰三角形的性质解决简单问题.
教法与学法
师
生
活
动
个性化备课补充
教
学
过
程
【知识铺垫】
1、全等三角形性质：全等三角形的
、
相等。
2、全等三角形判定：“SAS”、
、
、
、
。
3、等腰三角形定义：有两条
的三角形是等腰三角形。
4、等腰三角形性质：①等腰三角形的
相等。（“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、
、
互相重合。
【新知探究】
（一）等腰三角形的性质
性质1
等腰三角形的两个
相等（简写成“
”）
性质2
等腰三角形
、
、
互相重合。
你能证明上述两个性质吗？
性质1：等腰三角形的两底角相等
★练：求证
等腰三角形的两底角相等。
已知：如图
求证：
证明：
性质2：等腰三角形的
顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
互相重合。
（二）、用符号语言表示两个性质并做分析
性质1：
在△ABC中
∵AB=AC
∴
=
（等边对
）
性质2：（简称：
）
①在△ABC中∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠
=∠
，
⊥
②在△ABC中∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴
⊥
，
=
③在△ABC中∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠
=∠
，
=
【自我检测】
【课堂小结】
我们这节课学习了
作
业
设
计
板
书
设
计
教
后
反
思
