湖南省师大附中11-12学年高二上学期期末考试（数学理）

湖南师大附中高二第一学期期末考试·数学（理科）试卷
（考试时间：2012.1.13 8：00-10：00）
时量：120分钟 总分：150分
命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 备课组长：吴锦坤
考试范围：高中数学选修2-1 、 2-2
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数，则= （ C ）
A. B.1 C.5 D.
2. 的值是 （ B ）
A.1 B.0 C.-1 D.2
【解析】选B
3. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图，则其导函数y=的图象可能为下图中的 （ D ）
A B C D
【解析】选D .
4. 已知函数在处的导数为2，则的值为 （ A ）
A. B. C. 4 D. 1
【解析】选A.
5. 设命题p：R，， 则命题p为真命题的充分非必要条件的是 （ B ）
A． B． C． D．
【解析】因为当时，不等式不恒成立，则命题p为真的充要条件是
，即，故选B.
6. 已知空间向量则和的夹角为 ( A )
A． B． C． D．
【解析】A．
7.设F是抛物线的焦点，与抛物线相切于点的直线l与x轴的交点为Q,则等于 （ D ）
A. 300; B. 450; C. 600; D. 900.
【解析】 依题意
8. 已知定义在R上的函数满足：对任意x∈R，都有成立，且当时，(其中为的导数).设，则a，b，c三者的大小关系是 （ B ）
A. B. C. D.
【解】由可得，函数的图象关于直线对称，所以．
又当时，，即，则在上单调递增．
所以．即，故选B.
二.填空题：本大题共8个小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9. i是虚数单位，则复数的虚部是 .
【解析】==，其虚部是.
10. 计算=
11. 直线轴以及曲线围成的图形的面积为 .
12. 已知曲线在点处的切线方程是，则=_____2____.
13. 已知(a∈R)，则f (a)的最小值为 －1 .
【解析】因为，故当时，f (a)取最小值－1．
14. 过椭圆()的左焦点作轴的垂线l，点P为直线l与椭圆的一个交点，为椭圆的右焦点，若，则直线的斜率是.
【解析】由已知，点，因为，则，即.
从而，即，即.
所以，故.
15．设直角三角形的两直角边的长分别为，斜边长为，斜边上的高为，则有 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：
①；②；③ ；④.
其中正确结论的序号是 ② ④ ；进一步类比得到的一般结论是.
【解析】在直角三角形ABC中，，所以.
于是.
.
所以.
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
已知函数，
（I）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若函数没有极值点，求的取值范围.
解：（Ⅰ）因为
当 时， （3分）
而，时，
时，
所以的单调递增区间为单调递减区间为 （6分）
（Ⅱ）因为
而，的二次项系数大于0，
若无极值点，则对恒成立， （9分）
所以 ，
即的取值范围为. （12分）
17.(本题满分12分)
如图，三棱柱ABC－A1B1C1的各侧棱都垂直于底面，AC＝AA1＝4，AB＝5，BC＝3.
（Ⅰ）证明：BC⊥AC1；
（Ⅱ）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值.
【解法一】（Ⅰ）因为AC＝4，AB＝5，BC＝3，则
AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. （2分)
因为三棱柱ABC－A1B1C1的各侧棱都垂直于底面，则
平面A1ACC1⊥平面ABC，BC⊥平面A1ACC1. （4分）
因为A1C平面A1ACC1，所以BC⊥AC1. （6分）
（Ⅱ）因为AA1＝AC＝4，则四边形A1ACC1为正方形，
所以A1C⊥AC1. （7分）
又BC⊥AC1，BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC. （8分）
设AC1与A1C交于点M，连结BM，则
∠ABM为AB与平面A1BC所成的角. （9分）
在Rt△ABM中，AM＝2，AB＝5，sin∠ABM＝.
故直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为. (12分)
【解法二】用空间向量法证明亦可。
18. (本题满分12分)
某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为万元（m＞0且为常数）．已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．
（1）设投放B型电视机的金额为x万元，请将这次活动中农民得到的总补贴表示为x的函数，并求其定义域；
（2）求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？
解：（1）设投放B型电视机的金额为x万元，则投放A型电视机的金额为（10 – x ）万元，农民得到的总补贴
（4分）（没有指明x范围的扣1分）
（2），
令y′=0得x=10m –1 （ 6分）
1°若10m–1≤1即0＜m≤，则f（x）在上为减函数，
当x=1时，f（x）有最大值；
2°若1＜10m–1＜9即，则f（x）在上是增函数,
在上是减函数，当x=10m–1时，f（x）有最大值；
3°若10m–1≥9即m≥1，则f (x)在上是增函数，
当x=9时，f（x）有最大值． （10分）
因此，当0＜m≤时，投放B型电视机1万元；当时，
投放B型电视机（10m–1）万元，当m≥1时，投放B型电视机9万元．
农民得到的总补贴最大。 （12分）
19.(本题满分13分)
把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示
的数表，其中第行共有个正整数.设（i、j∈N*）表示
位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）记N*)，试比较与的大小，并用数学归纳法证明。
【解】（Ⅰ）因为数表中前i－1行共有个数，则第i行的第一个数是，所以＝. （2分）
（5分）
（Ⅱ）因为， （6分）
所以.
所以. （7分）
检验知，当时，，
时，
时，
时，
时，，即 （8分）
猜想：当时，. （9分）
证明：① 当时，，所以成立. （10分）
② 假设当时，不等式成立，即.
则.
因为，
而
所以，即当时，猜想也正确.
由①、②得当时, 成立.
综上分析，当时， （13分）
20. (本题满分13分)
已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，过右焦点F2且垂直于长轴的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆左焦点F1作直线，交椭圆于P、Q两点，若，求直线的倾斜角.
【解】（Ⅰ）设椭圆方程为. （1分）
因为，所以.据题意，点在椭圆上，则，
于是. （4分）
因为，，则c＝1，. （5分）
故椭圆的方程为. （6分）
（Ⅱ）由椭圆方程知，点F1(－1，0)，F2(1，0).
若直线的斜率不存在，则直线的方程为.代入椭圆方程得.
不妨设点、，则.
所以直线的斜率存在. （8分）
设直线的方程为，点，.
由，得. （9分）
所以，.
于是.
. （10分）
又，
.（11分）
由，得，所以.此时直线与椭圆相交. （12分）
故直线的倾斜角是45°或135°. （13分）
21. (本题满分13分)
已知函数
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）若函数在区间（0,1）上为单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）求证：.
【解】（Ⅰ）当时，
(2分)
当时，当时，
在（0,1）上单调递减，在上单调递增，
（4分）
（Ⅱ）
若函数在区间（0,1）上单调递增，则在上恒成立，
在上恒成立，令
则 （6分）
若函数在区间（0,1）上单调递减，则在上恒成立，
在上恒成立，令
则
综上，的取值范围为 （8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知当时，
.
（13分）
1
2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
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