湖南省师大附中11-12学年高一上学期期末考试（数学）

湖南师大附中2012年必修二模块结业测试卷
数 学
命题人：彭晓红 审题人：张 宇 备课组长：张 宇
时量：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 （必考部分：共100分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线的倾斜角为600，则直线的斜率为
A． B．－
C． D．
2．下列命题中，错误的是
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
3. 正方体的对角线的长为3cm，则它的体积为
A． B．
C． D．4．下列直线中，斜率为，且不经过第一象限的是
A． B．
C． D．
5. 直线与圆的位置关系是
A. 相离 B. 相交
C. 相切 D. 无法判定
6. 如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，
则棱锥的体积与原长方体的体积之比为
A. 1﹕3 B. 1﹕4
C. 1﹕5 D. 1﹕6
7．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，则；②若，，，，则；③若，，则； ④若，，，，则．其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是
A． B．
C． D．以上答案都不对
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得分
答案
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上
9．若经过点(-２, )和点(,４)的直线斜率不存在,则= ．
10. 在轴上与点A（－4，1，7）和点B（1，5，－2）等距离的点C的坐标为_________．
11．垂直于直线且经过点P(—1，0)的直线的一般式方程是______________．
12. 用一平面去截球所得截面的面积为cm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是 　 cm3.
13．圆心在轴上、半径为的圆C位于轴左侧，且与直线相切，则圆C的标准方程是 ___．
14．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①AB⊥EF；②AB与CM成60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．
其中正确结论的序号是________．
三、解答题：本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．(本小题满分10分)
如图为一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积和体积．
16. (本小题满分10分)
求过点A（5，2），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.
17. (本小题满分12分)
如图，正方体中， E是的中点．
（1）求证：∥平面AEC；
（2）求与平面所成的角.
18. (本小题满分12分)
已知圆及直线. 当直线被圆截得的弦长为时，（1）求的值； （2）求过点（3，5）并与圆相切的直线方程.
第Ⅱ卷（选考部分：共50分）
19．(本小题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．
（1）若AB=AD=,直线PB与CD所成角为，
①求四棱锥P－ABCD的体积；
②求二面角P－CD－B的大小；
（2）若E为线段PC上一点，试确定E点的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并说明理由．
20．(本小题满分12分)
如图，A，B两地相距10km，A（–5，0），B（5，0）．有一种商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的3倍．问该地居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)
21．(本小题满分13分)
已知方程．
（1）若此方程表示圆，求的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线相交于M，N两点，且OMON（O为坐标原点），求的值；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
22．(本小题满分13分)
如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在轴和轴上．
（1）求证：F＜0；
（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且AB⊥AD，求 的值；
（3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB，垂足为H，试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由.
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得分
答案 A B D B A D B C
二、填空题
9. -２ 10.（0，0， 2） 11. 3x-y+3=0
12. 13. 14. ①③
三、解答题
15.解：
…………………………5分
…………………………10分
16.解：设所求直线的方程为x-y+m=0或y=kx …………………………4分
把点 代入上述方程得：m=–3或k= …………………………8分
故所求直线的方程为x–y–3=0或2x–5y=0 …………………………10分
17.解：（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结EO.
因为E、O分别是与的中点，
所以OE∥.
又因为OE在平面AEC内，不在平面AEC内，
所以∥平面AEC. …………………………6分
（2）因为正方体中，
⊥平面ABCD，所以⊥BD，
又正方形ABCD中，AC⊥BD，
所以BD⊥平面，
所以∠是与平面所成的角. …………………………9分
设正方体棱长为a，中，，
所以，所以，…………………………11分
所以直线与平面所成的角为.…………………………12分
18.解：（1）依题意可得圆心，…………………………1分
则圆心到直线的距离.…………………2分
由勾股定理可知，代入化简得．……………………4分
解得，又，所以．…………………………6分
（2）由（1）知圆， 又在圆外，……………………7分
①当切线方程的斜率存在时，设方程为．…………………………8分
由圆心到切线的距离可解得 …………………………9分
切线方程为．…………………………10分
②当过斜率不存在，易知直线与圆相切．…………………………11分
综合①②可知切线方程为或．…………………………12分
19.解：(1)∵AB∥CD，∴∠PBA是PB与CD所成角，
即∠PBA=450 ， ∴在直角△PAB中，PA=AB=a …………………………1分
(1)VP－ABCD=·PA·SABCD=a3．…………… 2分
(2)∵AB⊥AD，CD∥AB
∴CD⊥AD
又PA⊥底面ABCD
∴PA⊥CD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD
∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角…………………………5分
在直角△PDA中,∵PA=AD=a
∴∠PDA=450
即二面角P－CD－B为450．…………………………6分
(2) 当点E在线段PC上，且满足PE ：EC=2 ：1时，平面EBD垂直于平面ABCD．
…………………………8分
理由如下：连AC、BD交于O点，连EO.
由△AOB∽△COD，且CD=2AB
∴CO=2AO
∴PE:EC=AO:CO =1:2
∴PA∥EO …………………………10分
∵PA⊥底面ABCD，
∴EO⊥底面ABCD.
又EO在平面EBD内，
∴平面EBD垂直于平面ABCD …………………………12分
20.解：设P(x，y)是坐标平面内的任意一点，并设从B地运货到P地的运费为a元/km，则
从A地运货到P地的运费为3a元/km. ．…………………………2分
当运费相等时，就是|PB|·a = 3a·|PA| 即 …………………………6分
整理得 ①…………………………10分
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买. …………………………12分
21.解：（1） ， ，，．
， ，则的取值范围是．…………2分（2）
由（1）得代入（2）并整理得 ： ．……4分
设，，则， (3) ………………5分
∵OMON， ． 得出：．………………7分 ∴ (4)
将（3）代入（4）可求得： ．…………………………9分
（3）设圆心为，
则 ．……………11分
又半径； 则圆的方程
……………………13分
22.解：（1）证明：依题意，原点O必定在圆M内，即点（0，0），
代入方程的左边后的值小于0，于是有F< 0.
……………………3分（2）四边形ABCD的面积S=,因为S=8，|AC|=2，可得|BD|=8.
……………………4分
因为AB⊥AD，，所以BD为圆的直径，所以半径= 4. ……………………5分
又,所以=64. ……………………7分
（3）设四边形ABCD四个顶点的坐标为A(a，0)，
B（0，b），C（c，0），D（0，d），则点G的坐标为.……………………9分
又OH⊥AB，故要使O、G、H三点共线，只需证OG⊥AB即可.
圆M的方程中，当时，有，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，所以.……………………10分
当时，有，其中方程的两根分别为点B和点C的纵坐标，
所以.……………………11分
因为，，所以.……………………12分
所以OG⊥AB，又OH⊥AB，所以O、G、H三点共线. ……………………13分
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
P
E
C
B
A
D
O
A
B
.
A
B
C
D
H
O
x
y
.
M
.
G
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
O
P
E
C
B
A
D
O