第2讲
绝对值与有理数运算
知识精要
绝对值
1、一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
2、一个正数的绝对值是他本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
零的绝对值是零。
3、正数大于零，零大于负数，正数大于负数。
两个负数绝对值大地那书数反而小。
（二）、有理数的加减法
1、有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
2、有理数减法的意义
有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。
3、有理数的减法法则
有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.
设，则，
．
因此，．
（三）有理数的乘法
1、有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零.
说明：①掌握乘法法则的关键是会确定积的符号：“两数相乘，同号得正，异号得负”.
且不可与有理数加法的符号法则混淆；②有理数乘法法则中“同号得正，异号得负”是专指“两数”相乘而言的.
2、有理数乘法法则的推广
①几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正.
②几个数相乘，有一个因数为零，积就为零.
3、
倒数
（1）倒数的意义
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数.
即若a·b=1，则a与b互为倒数；若a与b互为倒数，则a·b=1.
（2）倒数的求法
①求一个非零整数的倒数，直接可写成这个数分之一的形式，即a的倒数为.
②求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下位置即可，即的倒数为.
对于带分数先将其化为假分数，再求倒数.
③求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，然后再求倒数.
零没有倒数，因为零不能作除数.
4、
有理数的除法法则
（1）除以一个数等于乘上这个数的倒数.
即：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
名师精讲
例1、现规定一种运算“
”，对于a、b两数有：,试计算的值。
例2、已知与互为相反数，设法求代数式
例3、当代数式取最小值时，相应的的取值范围是？
例4、（1）
（2）
备选例题
例1、有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24。例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算）
现有四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24。运算式如下：（1）
，
（2）
，（3）
。
另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）
使其结果等于24。
例2、观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离
4与-2，3与5，-2与-6，-4与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？（相等）
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
可以表示为__
_____。
（3）结合数轴求得的最小值为
，取得最小值时x的取值范围为
。
（4）
满足的的取值范围为
。
巩固练习
1、绝对值等于它本身的有理数是
，绝对值等于它的相反数的数是
。
2、如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m=-1，则代数式2ab-（c+d）+m2=___
____。
3、当b为
值时，5-有最大值，最大值是
。
4、相反数等于-5的数是___
___,绝对值等于5的数是___
_____。
5、-4的倒数的相反数是__
____。
6、绝对值小于的整数有_-3、-2、-1、0、1、2、3_______。
7、若|-x|=2，则x=__
__；若|x－3|=0，则x=___
___；若|x－3|=1，则x=___
____。
8、|－4|－|－2.5|+|－10|＝___
___；|－24|÷|－3|×|－2|＝___
___。
9、若与互为相反数，则=
。
10、两个有理数，它们的和为正数，积也为正数，那么这两个有理数
（
）
A、都是正数
B、都是负数
C、一正一负
D、符号不能确定
11、已知a0,且|a|>|b|>|c|,则|a|+|b|-|c|+|a+b|+|b+c|+|a+c|等于（?
）
????
A、-3a+b+c????
B、3a+3b+c????C、a-b+2c???
D、-a+3b-3c
12、两个非零有理数的和为正数，那么这两个有理数为（
）
A、都是正数
B、至少有一个为正数
C、正数大于负数
D、正数大于负数的绝对值，或都为正数。?
13、有理数的绝对值一定是
（
）
A、正数
B、整数
C、正数或零
D、自然数
14、下列说法中正确的个数有
（
）
①互为相反数的两个数的绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数的绝对值不相等；④绝对值相等的两个数一定相等
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
15、如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么
（
）
A、甲数必定大于乙数
B、甲数必定小于乙数
C、甲、乙两数一定异号
D、甲、乙两数的大小，要根据具体值确定
16、下列等式成立的是（
）
A、100÷×（—7）=100÷
B、100÷×（—7）=100×7×（—7）
C、100÷×（—7）=100××7
D、100÷×（—7）=100×7×7
17、下列说法正确的是（
）
A、一定是负数
B、只有两个数相等时它们的绝对值才相等
C、若，则与互为相反数
D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负
计算
（2）(－0.6)+1.7+(+0.6
)+(－1.7
)+(－9
)
（3）4×（－96）×（－0.25）×
（4）×（）÷（）
若+=0
，求的值.
14、化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
15、有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an。若a1=，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”。试计算：a2=___2__，a3=__-1__，a4=_____，a5=___2___。这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计算a2004是多少？
热身练习
1.有理数的加减法计算:
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
(5)
;
(6)
;
(7)
;
(8)
二.计算:
(1)
;
(2)
;
(4)
;
(5)
;
(6)
2.有理数的乘除法计算:
1、（－8）×（－7）
2、2.9×（－0.4）
3、
4、－91÷13
5、（－18）÷（－0.6）
4、
二、计算
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
自我测试：
绝对值大于2，且小于4的整数有_________。
2、，则
___
；
，则
___
。
3、________。
4、
,
。
5、若,且,,则
___
。
6、1－3+5―7+……+97―99
=________。
7、．下面四个三角形内的数有共同的规律，请找出这个规律，确定A为_________
8、一个有理数与它的相反数的积
(
)。
A、
是正数
B、是负数
C、一定不大于0
D、一定不小于0
9、下列说法中正确的是
(
)。
A、同号两数相乘,符号不变.
B、异号两数相乘,取绝对值较大的因数的符号.
C、两数相乘,积为正数,那么这两个数都为正数.
D、两数相乘,积为负数,那么这两个数异号。
10、下列各式与的值相等的是（
）
A、
B、
C、
D、
11、下列说法正确的是（
）
A、两个有理数的和一定大于每一个加数
B、两个有理数的差一定小于被减数
C、若两数的和为O，则这两个数都为O
D、若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个为正数
12、计算
13、
已知，且，求的值。
14、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x
绝对值为2，求的值
15、已知与互为相反数，，互为倒数，试求的值．第2讲
绝对值与有理数运算
知识精要
绝对值
1、一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
2、一个正数的绝对值是他本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
零的绝对值是零。
3、正数大于零，零大于负数，正数大于负数。
两个负数绝对值大地那书数反而小。
（二）、有理数的加减法
1、有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
2、有理数减法的意义
有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。
3、有理数的减法法则
有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.
设，则，
．
因此，．
（三）有理数的乘法
1、有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零.
说明：①掌握乘法法则的关键是会确定积的符号：“两数相乘，同号得正，异号得负”.
且不可与有理数加法的符号法则混淆；②有理数乘法法则中“同号得正，异号得负”是专指“两数”相乘而言的.
2、有理数乘法法则的推广
①几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正.
②几个数相乘，有一个因数为零，积就为零.
3、
倒数
（1）倒数的意义
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数.
即若a·b=1，则a与b互为倒数；若a与b互为倒数，则a·b=1.
（2）倒数的求法
①求一个非零整数的倒数，直接可写成这个数分之一的形式，即a的倒数为.
②求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下位置即可，即的倒数为.
对于带分数先将其化为假分数，再求倒数.
③求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，然后再求倒数.
零没有倒数，因为零不能作除数.
4、
有理数的除法法则
（1）除以一个数等于乘上这个数的倒数.
即：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
名师精讲
例1、现规定一种运算“
”，对于a、b两数有：,试计算的值。
解：
例2、已知与互为相反数，设法求代数式
解：由于和都是非负数所以
则原式=
=
例3、当代数式取最小值时，相应的的取值范围是？
解：当
则原式=
当时最小，最小值为
当时
则原式=
当时最小，最小值为
当时
原式==
所以原式最小时所对应的范围是
例4、（1）
（2）
解：=
解：
==
=
备选例题
例1、有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24。例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算）
现有四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24。运算式如下：（1）
，
（2）10-(3×-6+4)=24
，（3）(10+4-6)×3=24。
另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）使其结果等于24。
例2、观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离
4与-2，3与5，-2与-6，-4与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？（相等）
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
可以表示为_______。
（3）结合数轴求得的最小值为
5
，取得最小值时x的取值范围为
。
（4）
满足的的取值范围为或。
巩固练习
1、绝对值等于它本身的有理数是
非负数
，绝对值等于它的相反数的数是
负数
。
2、如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m=-1，则代数式2ab-（c+d）+m2=___3____。
3、当b为
值时，5-有最大值，最大值是
5
。
4、相反数等于-5的数是___5___,绝对值等于5的数是________。
5、-4的倒数的相反数是______。
6、绝对值小于的整数有_-3、-2、-1、0、1、2、3_______。
7、若|-x|=2，则x=____；若|x－3|=0，则x=______；若|x－3|=1，则x=_______。
8、|－4|－|－2.5|+|－10|＝___11.5___；|－24|÷|－3|×|－2|＝___16___。
9、若与互为相反数，则=
。
10、两个有理数，它们的和为正数，积也为正数，那么这两个有理数
（
A
）
A、都是正数
B、都是负数
C、一正一负
D、符号不能确定
11、已知a0,且|a|>|b|>|c|,则|a|+|b|-|c|+|a+b|+|b+c|+|a+c|等于（?A?
）
????
A、-3a+b+c????
B、3a+3b+c????C、a-b+2c???
D、-a+3b-3c
12、两个非零有理数的和为正数，那么这两个有理数为（
D
）
A、都是正数
B、至少有一个为正数
C、正数大于负数
D、正数大于负数的绝对值，或都为正数。?
13、有理数的绝对值一定是
（
C
）
A、正数
B、整数
C、正数或零
D、自然数
14、下列说法中正确的个数有
（
A
）
①互为相反数的两个数的绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数的绝对值不相等；④绝对值相等的两个数一定相等
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
15、如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么
（
D
）
A、甲数必定大于乙数
B、甲数必定小于乙数
C、甲、乙两数一定异号
D、甲、乙两数的大小，要根据具体值确定
16、下列等式成立的是（
B
）
A、100÷×（—7）=100÷
B、100÷×（—7）=100×7×（—7）
C、100÷×（—7）=100××7
D、100÷×（—7）=100×7×7
17、下列说法正确的是（
D
）
A、一定是负数
B、只有两个数相等时它们的绝对值才相等
C、若，则与互为相反数
D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负
计算
（1）
（2）(－0.6)+1.7+(+0.6
)+(－1.7
)+(－9
)
解：（1）=
（2）=1.1+0.6-1.7-9
==-3
=-9
（3）4×（－96）×（－0.25）×
（4）×（）÷（）
解：
解：
若+=0
，求的值.
解：由题可得
则
14、化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
解：当
则原式==
当
则原式==
当
则原式==
15、有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an。若a1=，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”。试计算：a2=___2__，a3=__-1__，a4=_____，a5=___2___。这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计算a2004是多少？
热身练习
1.有理数的加减法计算:
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
解：原式=
-1
解：原式=
解：原式=
解：原式=
(5)
;
(6)
;
(7)
;
(8)
解：原式=
解：原式=
解：原式=
解：原式=
二.计算:
(1)
;
(2)
解：原式=
-12
解：原式=
;
(
4)
;
解：原式
=
解：原式=
(5)
;
(6)
解：原式=
-9
解：原式=-10
2.有理数的乘除法计算:
1、（－8）×（－7）
2、2.9×（－0.4）
3、
解：原式=56
解：原式=-1.16
解：原式=
4、－91÷13
5、（－18）÷（－0.6）
4、
解：原式=-7
解：原式=30
解：原式=
二、计算
1、
2、
解：原式=
解：原式=
3、
4、
解：原式=
解：原式=
5、
6、
解：原式=1
解：原式=
7、
8、
解：原式=0
解：原式=
自我测试：
绝对值大于2，且小于4的整数有_-3，3__。
2、，则
；
，则
。
3、___-6___。
4、
,
。
5、若,且,,则
49或1
。
6、1－3+5―7+……+97―99
=___-50____。
7、．下面四个三角形内的数有共同的规律，请找出这个规律，确定A为___55______
8、一个有理数与它的相反数的积
(
C
)。
A、
是正数
B、是负数
C、一定不大于0
D、一定不小于0
9、下列说法中正确的是
(
D
)。
A、同号两数相乘,符号不变.
B、异号两数相乘,取绝对值较大的因数的符号.
C、两数相乘,积为正数,那么这两个数都为正数.
D、两数相乘,积为负数,那么这两个数异号。
10、下列各式与的值相等的是（
C
）
A、
B、
C、
D、
11、下列说法正确的是（
D
）
A、两个有理数的和一定大于每一个加数
B、两个有理数的差一定小于被减数
C、若两数的和为O，则这两个数都为O
D、若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个为正数
12、计算
解：原式=
解：
==
解：=
解：=
==
=
13、
已知，且，求的值。
解：因为
所以同号
则时
时
或
14、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x
绝对值为2，求的值
解：原式=或=
=-4
=0
15、已知与互为相反数，，互为倒数，试求的值．
解：由于和都是非负数
所以
得：
