第3讲
有理数的乘方和混合运算
知识精要
有理数的乘方
1、求个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。叫底数，叫指数，读作：的次幂(的次方)。
2、乘方的意义：表示个相乘。
3、写法的注意：
当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了．
如：＝()×()，表示两个相乘．
而＝，表示2个2相乘的积除以3的相反数．
4、与－的区别．
(1)表示个相乘，底数是，指数是，读作：的次方．
(2)－表示个乘积的相反数，底数是，指数是，读作：的次方的相反数．
如：底数是，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘．
＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．
底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．＝－(2×2×2)＝－8．
注：与的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。
5、乘方运算的符号规律．
(1)正数的任何次幂都是正数．
(2)负数的奇次幂是负数．
(3)负数的偶次幂是正数．
(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0．
所以，任何数的偶次幂都是正数或0。
有理数的混合运算
1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即
，
名师精讲
例1、观察下列顺序排列的等式：
9×0+1=1；
9×1+2=11；
9×2+3=21；
9×3+4=31；
9×4+5=41；
……
猜想第n个等式（n为正整数）应为
。
例2、若正数的倒数等于其本身，负数的绝对值等于
3，且，，
求代数式的值。
例3、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，试求x2-(a+b+cd)x+(a+b)2007+(-cd)2008
例4、已知，求的值。
备选例题：
例1、计算:
；
例2、若有理数满足,则的值是多少？
例3、已知下列等式：
①
13＝12；②
13+23＝32；③
13+23+33＝62；④
13+23+33+43＝102；…………
由此规律知，第n个等式是_
_____________________。
例4、若有理数满足，求
多少？
巩固练习
1、下面计算正确的是（
）
Ａ、
Ｂ、
Ｃ、
Ｄ、
2、计算(
)
A、0
B、－54
C、－72
D、－18
3、下列式子中正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
4、若有理数满足,,则下列命题错误的是（
）。
A、
B、
C、
D、
5、下面四个命题中，正确的是（
）
A、若，则
B、若，则
C、若，则
D、若，则
填空题
1、
=______；
=_____；
=_________；
?????
=________；
=_______；
=______；
2、已知，则：
（1）
（2）
（3）
3、?最小的非负有理数与最大的非正有理数的和是
。
4、已知，则___________。
5、已知：若（a,b均为整数）则
。
6、已知三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，若
，则问S的奇偶性是
。
计算题
-299·(-)100+8101·(-0.125100).
;
-22
-（1-×0.2）÷
热身练习
1、118表示（
）
A、11个8连乘
B、11乘以8
C、8个11连乘
D、8个别1相加
2、－32的值是（
）
A、－9
B、9
C、－6
D、6
3、下列各对数中，数值相等的是（
）
A、
－32
与
－23
B、－23
与
(－2)3
C、－32
与
(－3)2
D、(－3×2)2与－3×22
4、下列说法中正确的是（
）
A、23表示2×3的积
B、任何一个有理数的偶次幂是正数
C、－32
与
(－3)2互为相反数
D、一个数的平方是，这个数一定是
5、下列各式运算结果为正数的是（
）
A、－24×5
B、(1－2)4×5
C、(1－24)×5
D、1－(3×5)6
6、如果一个有理数的平方等于4，那么这个有理数等于（
）
A、－2
B、2
C、4
D、2或－2
7、一个数的立方是它本身,那么这个数是（
）
A、
0
B、0或1
C、－1或1
D、0或1或－1
8、如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（
）
A、正数
B、负数
C、
非负数
D、任何有理数
9、－24×(－22)×(－2)
3=（
）
A、
29
B、－29
C、－224
D、224
10、两个有理数互为相反数，那么它们的次幂的值（
）
A、相等
B、不相等
C、绝对值相等
D、没有任何关系
11、一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（
）
A、正数
B、负数
C、正数或负数
D、奇数
12、(－1)2001＋(－1)2002÷＋(－1)2003的值等于（
）
A、0
B、
1
C、－1
D、2
二、填空题
1、(－2)6中指数为
，底数为
；
的底数是
，指数是
，
2、根据幂的意义，(－3)4表示
，－43表示
；
3、平方等于的数是
，立方等于的数是
；
4、一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是
；
5、平方等于它本身的数是
，立方等于它本身的数是
；
6、
，
，
；
7、，，的大小关系用“＜”号连接可表示为
____
____________________
8、如果，那么是
；
9、
；
10、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是
；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是
；
11、若，则
0
计算题
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
自我测试：
一、填空题
1.x为有理数，若x3＝－8,则x＝
.
2.abc<0且a>0,则bc
0.
3.一个数的9次方和它的10次方相等，那么这个数是
.
4.如果（a＋2）2＋|b－3|＝0,那么ab＝
.
5.查立方表得5.193＝139.8,则0.5193＝
.
6.a<0,b>0,且|a|>|b|,则a＋b
0.
7.一个数加上x与这个数减去x是互为相反数，那么这个数是
.
选择题
11.若0
1;④2a>1，其中正确的个数是
.
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
12.如果|a|＋b2＝0,则a1999＋b1999等于
.
（A）1
（B）0
（C）－1
（D）1999
13.若n为正整数且a＝－1,则－（－a2）2n＋1等于
.
（A）－1
（B）1
（C）0
（D）1或－1
15.0.1÷(－0.01)
×(－0.1)2÷(－0.1)3等于
.
（A）10
（B）100
（C）－100
（D）1000
16.下面有四种说法，其中正确的是
.
一个有理数奇次幂为负，偶次幂为正
三数之积为正，则三数一定都是正数
两个有理数的加、减、乘、除（除数不为零）、乘方结果仍是有理数
一个数倒数的相反数，与它相反数的倒数不相等
17.下列代数式，叙述正确的是
.
a与b的2倍的和是2(a＋b)
（
C）
x的平方与y的和是x2＋y
两数m、n的立方和是（m＋n）3
（D）
两数x、y和的平方是x2＋y2
18.甲数为x,乙数比甲数的2倍多2，丙数比乙数的一半少2，那么丙数为
.
（A）2x＋2
（B）x－1
（C）x＋1
（D）4x－2
19.若a＋b>0,a·b>0，则必有
.
（A）a>0;b>0
（B）a<0;b<0
（C）a、b同号
（D）a、b中一个为正，且绝对值较大
三、计算题
1.
2.
3.
4.(－3)2－(－3)3－22＋(－2)2
5.
6.
7.
8.
四、解答题
若|a＋1|＋|b－3|＋|c|＝0,求(a－b)2－(b－c)2－(c－a)2和值.第3讲
有理数的乘方和混合运算
知识精要
有理数的乘方
1、求个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。叫底数，叫指数，读作：的次幂(的次方)。
2、乘方的意义：表示个相乘。
3、写法的注意：
当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了．
如：＝()×()，表示两个相乘．
而＝，表示2个2相乘的积除以3的相反数．
4、与－的区别．
(1)表示个相乘，底数是，指数是，读作：的次方．
(2)－表示个乘积的相反数，底数是，指数是，读作：的次方的相反数．
如：底数是，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘．
＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．
底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．＝－(2×2×2)＝－8．
注：与的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。
5、乘方运算的符号规律．
(1)正数的任何次幂都是正数．
(2)负数的奇次幂是负数．
(3)负数的偶次幂是正数．
(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0．
所以，任何数的偶次幂都是正数或0。
有理数的混合运算
1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即
，
名师精讲
例1、观察下列顺序排列的等式：
9×0+1=1；
9×1+2=11；
9×2+3=21；
9×3+4=31；
9×4+5=41；
……
猜想第n个等式（n为正整数）应为。
例2、若正数的倒数等于其本身，负数的绝对值等于
3，且，，
求代数式的值。
答:-4
例3、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，试求x2-(a+b+cd)x+(a+b)2007+(-cd)2008
答:7或3
例4、已知，求的值。
答:-1或3
备选例题：
例1、计算:
；
答:
例2、若有理数满足,则的值是多少？
参考答案：3或-1或-5
例3、已知下列等式：
①
13＝12；②
13+23＝32；③
13+23+33＝62；④
13+23+33+43＝102；…………
由此规律知，第n个等式是__________。
例4、若有理数满足，求
多少？
解：原式=
巩固练习
1、下面计算正确的是（ D ）
Ａ、
Ｂ、
Ｃ、
Ｄ、
2、计算(
A
)
A、0
B、－54
C、－72
D、－18
3、下列式子中正确的是（
C
）
A、
B、
C、
D、
4、若有理数满足,,则下列命题错误的是（
D
）。
A、
B、
C、
D、
5、下面四个命题中，正确的是（
C
）
A、若，则
B、若，则
C、若，则
D、若，则
填空题
1、
=___1___；
=___-1__；
=____-27______；
?????
=___25_____；
=___-0.001____；
=___1___；
2、已知，则：
（1）
36
（2）
-7
（3）
3、?最小的非负有理数与最大的非正有理数的和是 0 。
4、已知，则____-1_______。
5、已知：若（a,b均为整数）则
109
。
6、已知三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，若
，则问S的奇偶性是
偶
。
计算题
-299·(-)100+8101·(-0.125100).
;
解：原式=
解：原式=1
-22
-（1-×0.2）÷
解：原式=
解：原式=-3.88
热身练习
1、118表示（
C
）
A、11个8连乘
B、11乘以8
C、8个11连乘
D、8个别1相加
2、－32的值是（
A
）
A、－9
B、9
C、－6
D、6
3、下列各对数中，数值相等的是（
B
）
A、
－32
与
－23
B、－23
与
(－2)3
C、－32
与
(－3)2
D、(－3×2)2与－3×22
4、下列说法中正确的是（
C
）
A、23表示2×3的积
B、任何一个有理数的偶次幂是正数
C、－32
与
(－3)2互为相反数
D、一个数的平方是，这个数一定是
5、下列各式运算结果为正数的是（
B
）
A、－24×5
B、(1－2)4×5
C、(1－24)×5
D、1－(3×5)6
6、如果一个有理数的平方等于4，那么这个有理数等于（
D
）
A、－2
B、2
C、4
D、2或－2
7、一个数的立方是它本身,那么这个数是（
D
）
A、
0
B、0或1
C、－1或1
D、0或1或－1
8、如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（
D
）
A、正数
B、负数
C、
非负数
D、任何有理数
9、－24×(－22)×(－2)
3=（
B
）
A、
29
B、－29
C、－224
D、224
10、两个有理数互为相反数，那么它们的次幂的值（
C
）
A、相等
B、不相等
C、绝对值相等
D、没有任何关系
11、一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（
C
）
A、正数
B、负数
C、正数或负数
D、奇数
12、(－1)2001＋(－1)2002÷＋(－1)2003的值等于（
C
）
A、0
B、
1
C、－1
D、2
二、填空题
1、(－2)6中指数为
6
，底数为
-2
；
的底数是
，指数是
5
，
2、根据幂的意义，(－3)4表示
，－43表示
；
3、平方等于的数是
，立方等于的数是
；
4、一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是
负数
；
5、平方等于它本身的数是
0或1
，立方等于它本身的数是
0或±1
；
6、
，
，
；
7、，，的大小关系用“＜”号连接可表示为
____(-2.7)5＜(-2.7)3＜(-2.7)4____________________
8、如果，那么是
0
；
9、
-1
；
10、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是
-1
；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是
1
；
11、若，则
＜
0
计算题
1、
2、
解:原式=-16
解:原式=
3、
4、
解:原式=-1
解:原式=2
5、
6、
解:原式=2
解:原式=-59
7、
8、
解:原式=-73
解:原式=-1
自我测试：
一、填空题
1.x为有理数，若x3＝－8,则x＝
-2
.
2.abc<0且a>0,则bc
＜
0.
3.一个数的9次方和它的10次方相等，那么这个数是
0或1
.
4.如果（a＋2）2＋|b－3|＝0,那么ab＝
-8
.
5.查立方表得5.193＝139.8,则0.5193＝
0.1398
.
6.a<0,b>0,且|a|>|b|,则a＋b
＜
0.
7.一个数加上x与这个数减去x是互为相反数，那么这个数是
0
.
选择题
11.若01;④2a>1，其中正确的个数是
C
.
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
12.如果|a|＋b2＝0,则a1999＋b1999等于
B
.
（A）1
（B）0
（C）－1
（D）1999
13.若n为正整数且a＝－1,则－（－a2）2n＋1等于
B
.
（A）－1
（B）1
（C）0
（D）1或－1
15.0.1÷(－0.01)
×(－0.1)2÷(－0.1)3等于
B
.
（A）10
（B）100
（C）－100
（D）1000
16.下面有四种说法，其中正确的是
C
.
一个有理数奇次幂为负，偶次幂为正
三数之积为正，则三数一定都是正数
两个有理数的加、减、乘、除（除数不为零）、乘方结果仍是有理数
一个数倒数的相反数，与它相反数的倒数不相等
17.下列代数式，叙述正确的是
C
.
a与b的2倍的和是2(a＋b)
（
C）
x的平方与y的和是x2＋y
两数m、n的立方和是（m＋n）3
（D）
两数x、y和的平方是x2＋y2
18.甲数为x,乙数比甲数的2倍多2，丙数比乙数的一半少2，那么丙数为
B
.
（A）2x＋2
（B）x－1
（C）x＋1
（D）4x－2
19.若a＋b>0,a·b>0，则必有
A
.
（A）a>0;b>0
（B）a<0;b<0
（C）a、b同号
（D）a、b中一个为正，且绝对值较大
三、计算题
1.
2.
解:原式=
解:原式=
3.
4.(－3)2－(－3)3－22＋(－2)2
解:原式
=
解:原式=36
5.
解:原式=
6.
解:原式=
7.
解:原式=0
8.
解:原式=23
四、解答题
若|a＋1|＋|b－3|＋|c|＝0,求(a－b)2－(b－c)2－(c－a)2和值.
解:
42-32-12=6