6.4.3（1）余弦定理-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（16张PPT）

人教A版高中数学必修第二册
6.4.3（1）余弦定理
广信数学组
课堂引入
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系。例如，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、叫角定量关系。对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法。这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？
下面我们利用向量方法研究这个问题。
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。也就是说，三角形的其它边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，表示的公式是什么？
探究： 在三角形ABC中 ，三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,怎样用a,b和C表示c？
探索新知
探索新知
C
A
c
a
b
﹚
若△ABC为任意三角形，已知角C，a, b,求边 c.
由向量减法的三角形法则得
设
同理可得
B
探索新知
C
B
A
b
a
c
余弦定理 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
你能用其他方法证明余弦定理吗？
探索新知
b
A
a
c
C
B
证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：
坐标法
课堂探究
它还有别的用途吗，
若已知a,b,c,可以求什么？
已知两边和它们的夹角求第三边
课堂探究
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系。你能说说这两个定理之间的关系吗？
勾股定理
令C＝900
由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。
引入新知
一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形(solving.triangles),
课堂典例
解：由余弦定理得
例1 在△ABC中，已知a= ,b=2, c= ,
解三角形.
课堂典例
例2. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.
解：由余弦定理，得
因此
课堂探究
思考：如何判断三角形的形状?
推论：
C
B
A
b
a
c
设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形
△ABC是锐角三角形
△ABC是直角三角形
课堂典例
例3 在△ABC中，若　　　　　　，
则△ABC的形状为（　 ）
Ａ、钝角三角形　　　Ｂ、直角三角形
Ｃ、锐角三角形　　　Ｄ、不能确定
A
D
练习：三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形

为（ ）
Ａ、钝角三角形　 　　Ｂ、直角三角形
Ｃ、锐角三角形 　　　Ｄ、不能确定
A
课堂练习
练习：已知△ABC的三边为 、2、1，求它的最大内角。
解：不妨设三角形的三边分别为a= ,b=2,c=1
则最大内角为∠A.由余弦定理的推论得：
思考：若已知三边的比是 :2:1,又怎么求？
结论：已知三边可求三个角。（SSS）
课堂练习
证明：
点评:本题通过基本不等式的运用构造不等关系，再利用三角形的内角具有的范围，得到结论.
练习： 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c 且满足b2=ac 求证:
课堂小结
余弦定理可以解决的有关三角形的问题：
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状.
余弦定理：
推论: