6.4.3（3）余弦定理、正弦定理应用举例-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（16张 PPT））

人教A版高中数学必修第二册
6.4.3(3) 余弦定理、正弦定理应用举例
广信数学组
复习
正弦定理：
余弦定理：
变形
复习
正弦定理的变形：
三角形面积公式：
课堂引入
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题。
解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离
的工具进行测量。
具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案，下面我们通过几道例题来说明这种情况。
需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他
条件。事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定
情景和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情景与条件限制下的恰当方案。
探索新知
仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;
俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；
方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。
N
方位角60°
水平线
目标方向线
视线
视线
仰角
俯角
几个概念
课堂典例
例9：A,B两点都在河的对岸（不可到达）,设计一种测量A,B两点间的距离的方法，并求出A,B间的距离
分析：计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A，B两点间的距离.
课堂典例
解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离为
D
C
B
A
α
β
γ
δ
课堂探究
如何测量地球与月亮之间的距离?
早在1671年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角,测量计算出α,β的大小和两地之间的距离,从而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.
A
B
背景资料
课堂典例
底部不能到达的
测量高度
A
B
E
G
C
D
H
分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，
所以不能直接测量出建筑物的高.
由解直角三角形的知识，只要能
测出一点C到建筑物的顶部A的
距离CA,并测出由点C观察A的仰
角，就可以计算出建筑物的高.
例10 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点。设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度。
课堂典例
解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上，由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在 ACD中，根据正弦定理可得
B
E
A
H
G
D
C
h
a
课堂典例
例11：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
测量角度问题
课堂典例
解：根据题意，画岀示意图由余弦定理，得
于是
由正弦定理，得 ，于是
由于 0°因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东
46° + 30° = 76°,
大约需要航行24 n mile.
课堂练习
课后练习3 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到0.01n mile）?
解：在 △ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，
课堂练习
练习：在海岸A处发现北偏东45°距离A处 海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以 海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船什么方向能最快追上走私船？
解:如图若要最快追上走私船，则两船到D点时所用时间相等.
假设在D处相遇,设缉私船用t h在D处追上走私船,如图.
则有CD= ，BD=10t
课堂练习
课堂典例
求解三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.