6.4.3（2）正弦定理-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册课件（20张PPT）

6.4.3（2）正弦定理
广信数学组
人教A版高中数学必修第二册
温故知新
余弦定理可以解决的有关三角形的问题：
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状.
余弦定理：
推论:
课堂探究
探究 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？
回忆一下直角三角形的边角关系?
A
B
C
c
b
a
两等式间有联系吗？
对一般的三角形,这个结论还能成立吗?
定理的推导
?
探索新知
因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法研究。
思考 向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦。如何实现转化？
由诱导公式 可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系。
我们希望获得 中的边a,b,c与他们所对角A,B,C的正弦之间的关系式。在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来研究。
探索新知
探索新知
下面先研究锐角三角形的情形。
在锐角 中，过点A作与 垂直的单位向量 ，则
与 的夹角为 ， 与 的夹角为
即
同理，过点C作与 垂直的单位向量 ，可得
课堂典例
当 是钝角三角形时
不妨设A为钝角，过点A作与 垂直的单位向量 ，则
与 的夹角为 ， 与 的夹角为
仿照上述方法，同样可得
引入新知
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的
正弦的比相等.
即
有没有其他的方法证明正弦定理？
课堂典例
所以AD=csinB=bsinC, 即
同理可得
D
A
c
b
C
B
图1
过点A作AD⊥BC于D,
此时有　
若三角形是锐角三角形, 如图1,
方法二：
课堂典例
由(1)(2)(3)知，结论成立．
且
仿(2)可得
若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,
此时也有
交BC延长线于D,
过点A作AD⊥BC，
C
A
c
b
B
图2
课堂典例
证明：
作外接圆O,
过B作直径BC/,连AC/,
方法三：外接圆法
O
C/
c
b
a
C
B
A
A/
课堂典例
方法四：面积法.
O
y
解:如图建立直角坐标系.
过C点作CD?AB于D.
D
则点C的坐标(bcosA,bsinA)
(bcosA,bsinA)
于是△ABC的面积
同样可得
S△=
A
B
C
b
a
c
课堂典例
同除以 ，
课堂典例
在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即
＝2R
正弦定理
课堂典例
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
（1）已知任意两角与一边，可以求出另一角和
其他两边；
（2）已知任意两边和其中一边的对角，可以求
出三角形的其他的边和角.
课堂典例
解
课堂典例
解：
（三角形中大边对大角）
例 2 在△ABC 中，已知a = , b = , B = 45。, 解三角形.
两解
课堂典例
一解
课堂典例
无解
课堂典例
（1）三角形常用公式：
（2）正弦定理应用范围：
①
已知两角和任意边，求其他两边和一角
②
已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角。(注意解的情况)
正弦定理：
＝
2R