第2讲
一次函数的性质与应用
知识精要
知识点1
一次函数的性质
当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小；
①的图象在一、二、三象限
0
x
y
②的图象在一、三、四象限
0
x
y
③图象在一、二、四象限
0
x
y
④图象在二、三、四象限
0
x
知识点2
一次函数的应用
1.根据实际问题建立一次函数解析式的方法
找等量关系；
把已知条件代入，变化的两个量用变量x,y来表示；
求定义域。（根据解析式和实际意义求定义域）
2.利用一次函数解决决策问题的方法
先根据题意建立函数解析式；
（2）再根据解析式画出函数图像；
（3）最后根据图像作出决策。
名师精讲
例1、如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，（1）求点C、点D的坐标；
（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长。
解：（1）C；D
（2）直线CD的解析式为
AB与CD的交点M
为
所以BM=
例2、小李师傅驾车到某地办事，汽车出发前油箱中有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如图所示，（1）请问汽车行驶多少小时后加油，中途加油多少升；
（2）求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式；
（3）已知加油前后汽车都以70千米/小时的速度行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由。
例3、如图，一束光线从y轴上的点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），求光线从A点到B点经过的路线的长．
解：延长BC交x轴于D，作BE⊥x轴，交于E．先证△AOC≌△DOC，
∴OD=OA=1，CA=CD，∴CA+CB=DB==
5．
备选例题
例1、如图，在中，，，边AB垂直平分线CD分别与AB、轴、轴交于点C、G、D，（1）求点G的坐标；
（2）求直线CD的解析式。
解：（1）G
（2）过点C作轴于点H
可求出AB=4，所以BC=2，
在中，，
所以，点C，
点D，所以直线CD的解析式为
例2、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元．
（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值．
（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值．
解：（1）由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x，18-2x，
发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．
于是W=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=-800x+17200．
又
∴5≤x≤9，∴W=-800x+17200（5≤x≤9，x是整数）．由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．
（2）由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，
发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，
于是W=200x+800（10-x）+300y+700（10-y）+400（19-x-y）+500（x+y-10）
=-500x-300y-17200．
又
∴W=-500x-300y+17200，且（x，y为整数）．
W=-200x-300（x+y）+17200≥-200×10-300×18+17200=9800．
当x=10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800．
又W=-200x-300（x+y）+17200≤-200×0-300×10+17200=14200．
当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200．
巩固练习
一、填空题：
1、当时，函数的图像经过第
二三四
象限，随的增大而
减小
2、在一次函数中，y随的增大而减小，且，则这个函数的图像一定经过二、三、四
象限
3、若,,则一次函数的图像不经过
第三象限
4、已知一次函数的图像经过点P和Q，则=
25
5、如图所示中的直线ABC，为甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y（元）与通话时间t(分钟)之间的函数关系的图像。当时，该图像的解析式为
；
从图像中可知，通话2分钟需付电话费
元；通话7分钟需付电话费
元。
第5题图
第7题图
6、设直线kx+（k+1）y-1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为Sk（k=1，2，3，……，2008），那么S1+S2+…+S2008=_______．
7、据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两个城市间的距离d（单位：km）有T=的关系（k为常数）．现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话次数为__TBC=k×_____次（用t表示）．
二：选择题：
1、无论m为何实数，直线与的交点不可能在（
C
）
（A）
第一象限
（B）
第二象限
（C）
第三象限
（D）
第四象限
2、过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（
C
）
（A）4条
（B）3条
（C）2条
（D）1条
3、已知abc≠0，而且=p，那么直线y=px+p一定通过（B
）
（A）第一、二象限
（B）第二、三象限
（C）第三、四象限
（D）第一、四象限
4、当-1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a的取值范围是（D
）
（A）-4
（B）0（C）-4（D）-45、在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（D
）
（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）4个
6、设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（
B
）
三解答题：
1、某公司急需用车，但暂时无力购买，于是准备与出租车公司签订租车合同，以每月行驶千米计算，甲出租车公司的月租车费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，如果，这两个函数的图像如图所示，那么：
每月行驶多少路程时，两家公司的租车费用相同？
每月行驶多少路程时，租用甲公司的车合算
（3）如果每月用车的路程约为2300千米，那么租用哪家的车合算？
解：（1）1500km；
（2）>1500km时，租用甲公司的车合算；
（3）选甲家的车合算；
2、育才中学需要添置某种教学仪器，方案一：到商家购买，每件需要8元。方案二：学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元。设需要仪器件，方案一与方案二的费用分别为元。
（1）分别写出的函数解析式；
（2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？
（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由。
解：（1）
（2）令，解得，所以当购置仪器30件时，两种方案的费用相同
（3）若学校需要仪器50件，选方案二便宜
（元），
（元），
因为，所以选方案二
热身练习
1、已知一次函数经过一、二、四象限，则
,
2、一次函数与x轴的交点坐标是
（2,0）
，与y轴的交点坐标是
（0,1）
3、自变量为的一次函数图像经过第二、三、四象限，则
，
4、已知点和都在直线上，若，则
〈
。
5、已知一次函数，若函数随的增大而减小，并且函数的图像经过二、三、四象限，则的取值范围是
6、火车站距车站5千米的某地以75千米/时的平均速度匀速驶离车站，那么火车与车站的距离s（千米）与火车行驶的时间t（时）之间的函数关系式是
7、若m＜0,
n＞0,
则一次函数的图象不经过
（
C
）
A.第一象限
B.
第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8、已知函数，当自变量增加m时，相应的函数值增加（
B
）
A．3m+1
B．3m
C．m
D．3m－1
9、汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距Ｂ地路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量t的取值范围是（
A
）
A．S=120－30t
(0≤t≤4)
B．S=120－30t
(t>0)
C．S=30t
(0≤t≤40)
D．S=30t
(t<4)
10．要得到y=-x-4的图像，可把直线y=-x（
D
）
（A）向左平移4个单位
（B）向右平移4个单位
（C）向上平移4个单位
（D）向下平移4个单位
11、已知一次函数，（1）当取何值时，随的增大而增大；
（2）当取何值时，直线与轴的交点在轴的负半轴。
解：（1）；（2）且
自我测试
1、函数的图像平行于直线,且与轴交于点（0,3），则=
-2
=
3
2、函数，函数值y随x的增大而
减小
3、已知点A(2，a)、B(3,b)在直线y=kx+2上,且a>b,则k的取值范围是
4、一次函数，经过第一、二、四象限，则函数值y随x的增大而
减小
5、据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中摩托车存车费是每辆一次1.00元，自行车存车费是每辆一次0.5元，若自行车存车数为辆，存车费总收入为y元，则y关于的函数关系式是
；x的定义域是
6、已知函数，当时，y的取值范围是
（
C
）
A.
B.
C.
D.
7、
已知正比例函数(k≠0)的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（
A
）
8、若函数与轴的交点在轴的上方，且，为整数，则符合条件的有（
B
）
A．8个
B．7个
C．9个
D．10个
9、已知一次函数图像与轴交点在轴下方，且随的增大而减小，其中为整数。（1）求的值；（2）当取何值时，。
解：（1）；（2）
10、为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式。其中，使用的“便民卡”和“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（分钟）与通话费y（元）的关系如图
分别求出通话费与通话时间之间的函数关系式；
请你帮用户算一下，在一个月内使用哪种卡便宜？
解：（1）解
设，
则
解得
所以
设
则，解得
所以
）令，
解得
（分）
当时，选如意卡；
当时，选两种卡都一样；
当时，选便民卡第2讲
一次函数的性质与应用
知识精要
知识点1
一次函数的性质
当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小；
①的图象在一、二、三象限
0
x
y
②的图象在一、三、四象限
0
x
y
③图象在一、二、四象限
0
x
y
④图象在二、三、四象限
0
x
知识点2
一次函数的应用
1.根据实际问题建立一次函数解析式的方法
找等量关系；
把已知条件代入，变化的两个量用变量x,y来表示；
求定义域。（根据解析式和实际意义求定义域）
2.利用一次函数解决决策问题的方法
先根据题意建立函数解析式；
再根据解析式画出函数图像；
最后根据图像作出决策。
名师精讲
例1、如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，（1）求点C、点D的坐标；
（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长。
例2、小李师傅驾车到某地办事，汽车出发前油箱中有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如图所示，
（1）请问汽车行驶多少小时后加油，中途加油多少升；
（2）求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式；
（3）已知加油前后汽车都以70千米/小时的速度行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由。
例3、如图，一束光线从y轴上的点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），求光线从A点到B点经过的路线的长．
备选例题
例1、如图，在中，，，边AB垂直平分线CD分别与AB、轴、轴交于点C、G、D，
（1）求点G的坐标；
（2）求直线CD的解析式。
例2、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元．
（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值．
（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值．
巩固练习
一、填空题：
1、当时，函数的图像经过第
象限，随的增大而
2、在一次函数中，y随的增大而减小，且，则这个函数的图像一定经过
象限
3、若,,则一次函数的图像不经过
4、已知一次函数的图像经过点P和Q，则=
5、如图所示中的直线ABC，为甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y（元）与通话时间t(分钟)之间的函数关系的图像。当时，该图像的解析式为
；
从图像中可知，通话2分钟需付电话费
元；通话7分钟需付电话费
元。
第5题图
第7题图
设直线kx+（k+1）y-1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为Sk（k=1，2，3，……，2008），那么S1+S2+…+S2008=_______．
7、据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两个城市间的距离d（单位：km）有T=的关系（k为常数）．现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话次数为__
_____次（用t表示）．
二：选择题
1、无论m为何实数，直线与的交点不可能在（
）
（A）
第一象限
（B）
第二象限
（C）
第三象限
（D）
第四象限
2、过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（
）
（A）4条
（B）3条
（C）2条
（D）1条
3、已知abc≠0，而且=p，那么直线y=px+p一定通过（
）
（A）第一、二象限
（B）第二、三象限
（C）第三、四象限
（D）第一、四象限
4、当-1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a的取值范围是（
）
（A）-4（B）0（C）-4（D）-45、在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（
）
（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）4个
6、设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（
）
三解答题：
1、某公司急需用车，但暂时无力购买，于是准备与出租车公司签订租车合同，以每月行驶千米计算，甲出租车公司的月租车费用是元，乙出租车公司的月租车费用是元，如果，这两个函数的图像如图所示，那么：
每月行驶多少路程时，两家公司的租车费用相同？
每月行驶多少路程时，租用甲公司的车合算
（3）如果每月用车的路程约为2300千米，那么租用哪家的车合算？
2、育才中学需要添置某种教学仪器，方案一：到商家购买，每件需要8元。方案二：学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元。设需要仪器件，方案一与方案二的费用分别为元。
（1）分别写出的函数解析式；
（2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？
（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由。
热身练习
1、已知一次函数经过一、二、四象限，则
,
2、一次函数与x轴的交点坐标是
（2,0）
，与y轴的交点坐标是
3、自变量为的一次函数图像经过第二、三、四象限，则
，
4、已知点和都在直线上，若，则
。
5、已知一次函数，若函数随的增大而减小，并且函数的图像经过二、三、四象限，则的取值范围是
6、火车站距车站5千米的某地以75千米/时的平均速度匀速驶离车站，那么火车与车站的距离s（千米）与火车行驶的时间t（时）之间的函数关系式是
7、若m＜0,
n＞0,
则一次函数的图象不经过
（
）
A.第一象限
B.
第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8、已知函数，当自变量增加m时，相应的函数值增加（
）
A．3m+1
B．3m
C．m
D．3m－1
9、汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距Ｂ地路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量t的取值范围是（
）
A．S=120－30t
(0≤t≤4)
B．S=120－30t
(t>0)
C．S=30t
(0≤t≤40)
D．S=30t
(t<4)
10．要得到y=-x-4的图像，可把直线y=-x（
）
（A）向左平移4个单位
（B）向右平移4个单位
（C）向上平移4个单位
（D）向下平移4个单位
11、已知一次函数，（1）当取何值时，随的增大而增大；
（2）当取何值时，直线与轴的交点在轴的负半轴。
自我测试
1、函数的图像平行于直线,且与轴交于点（0,3），则=
=
2、函数，函数值y随x的增大而
3、已知点A(2，a)、B(3,b)在直线y=kx+2上,且a>b,则k的取值范围是
4、一次函数，经过第一、二、四象限，则函数值y随x的增大而
5、据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中摩托车存车费是每辆一次1.00元，自行车存车费是每辆一次0.5元，若自行车存车数为辆，存车费总收入为y元，则y关于的函数关系式是
；的定义域是
6、已知函数，当时，y的取值范围是
（
）
A.
B.
C.
D.
7、
已知正比例函数(k≠0)的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（
）
8、若函数与轴的交点在轴的上方，且，为整数，则符合条件的有（
）
A．8个
B．7个
C．9个
D．10个
已知一次函数图像与轴交点在轴下方，且随的增大而减小，其中为整数。（1）求的值；（2）当取何值时，。
10、为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式。其中，使用的“便民卡”和“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（分钟）与通话费y（元）的关系如图
分别求出通话费与通话时间之间的函数关系式；
请你帮用户算一下，在一个月内使用哪种卡便宜？