第4讲
代数方程（一）
知识精要
一、一元整式方程
1、定义：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。
一元一次方程解法：含字母系数的一元一次方程要讨论字母是否为零。
一元二次方程的解法主要有四种：
（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法
高次方程
如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n（n是正整数），那么这个方程叫做一元n次方程；其中次数n大于2的方程统称为一元高次方程，简称高次方程。
（1）二项方程：一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。其一般式为
(其中≠0,
≠0,n是正整数).
（2）双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.一般形式为
解双二次方程方法：换元法。
二、分式方程
1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的解法：去分母法（方程两边都乘以最简公分母）；换元法。
3、检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
名师精讲
例1、解方程
例2、已知实数满足，求代数式的值。
例3、（适宜用“去分母”的方法的分式方程）
例4、（1）（同底换元）；
（2）（倒数换元）
例5、解特殊的分式方程
（1）；
（2）
例6、已知关于的方程无解，求的值。
巩固练习
一、填空题
1、关于的方程的根是
2、如果关于的方程无解，那么=
3、方程的根是
4、方程的根是
5、如果分式方程两边都减去后，变为方程，那么这两个方程的解
（填“相同”或“不相同”）
6、把分式方程去分母后，得到的整式方程是
7、用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程的一般形式是
8、如果关于的分式方程无解，那么=
二、选择题
1、解关于的方程时，下列说法中错误的是（
）
A．当a=0,b=0时,方程有无数多解
B．当n为奇数且时，方程有且只有一个实数根
C．当n为偶数且时，方程无实数根
D．当n为偶数且时，方程有两个实数根
2、（是关于的一元二次方程，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．且
D．一切实数
3、关于的方程有唯一解，则必须（
）
A．
B．且
C．
D．且
4、如果分式的值为零，那么的值是（
）
A．2
B．—3
C．2，—3
D．—2
5、如果关于的分式方程有增根，那么的值是（
）
A．—1或—2
B．—1或2
C．1或2
D．1或—2
三、解答题
1、关于的方程，分别求m、n为何值时，原方程：
有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解。
2、解方程
3、解方程：
（1）；
（2）；
（3）
（4）
（5）
4、解方程：
（1）
（4）
5、解方程
6、已知两个分式：A=，B=，其中x≠±2．下面有三个结论：①A=B；②A、B互为倒数；③A、B互为相反数．请问哪个正确?为什么?
7、关于的方程无解，求的值。
热身练习
1、判断下列关于的方程，是哪种代数方程？
（2）;
（3）;
2、方程的根是
3、方程的根是
4、已知与的和等于，则
，
.
5、若关于方程无解，则的值是
．
6、用换元法解，可设，则原方程可化为关于的方程是_____________．
7、若解关于的方程有增根=
—1，则a的值为（
）
A、0或—1
（B）0
（C）3
（D）3或—1
8、如果用换元法解方程，设，那么原方程可化为（
）
9、用换元法解方程
10、当a为何值时，方程有增根？
自我测试
1、当m=
时，关于的分式方程没有实数解.
2、用换元法解方程时，可设
=,这时原方程变为
.
3、若，则
.
4、要使方程无解，则a=?
。
5、方程的最简公分母是（
）
A．
B．
C．
D．
6、
如果，那么的值是（
）
A.1
B.—1
C.±1
D.4
7、关于x的方程的根是（
）
A．
B．
C．
D．
8、解方程：；
9、解方程：；
10、解方程：；
11、解方程：；
12、解方程：
13、解方程组第4讲
代数方程（一）
知识精要
一、一元整式方程
1、定义：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。
一元一次方程解法：含字母系数的一元一次方程要讨论字母是否为零。
一元二次方程的解法主要有四种：
（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法
高次方程
如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n（n是正整数），那么这个方程叫做一元n次方程；其中次数n大于2的方程统称为一元高次方程，简称高次方程。
（1）二项方程：一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。其一般式为
(其中≠0,
≠0,n是正整数).
（2）双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.一般形式为
解双二次方程方法：换元法。
二、分式方程
1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的解法：去分母法（方程两边都乘以最简公分母）；换元法。
3、检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
名师精讲
例1、解方程
解：原方程可化为
当时，为任意实数；
当时，方程无实数解；
当时，=0；
当时，；
例2、已知实数满足，求代数式的值。
解：设，原方程可化为，解得
当时，，方程有实数根，所以成立；
当时，，方程无实数根；
例3、（适宜用“去分母”的方法的分式方程）
解：原方程就是，
约去分母，得，
整理后，得.
解得.
检验：，
∴
均为原方程根.
例4、（1）（同底换元）；
解：（1）设.则原方程可化为，，
∴
.
当y1=-2时，即；
当y2=-3时，即.
∴
均为原方程的根.
（2）（倒数换元）
解：设，那么，于是原方程变形为，
去分母，得
；
，解得y1=,y2=1.
当y=时，得.
解.
当y=1时，得.
经检验都是原方程的根.
∴原方程根是：.
例5、解特殊的分式方程
（1）；
（2）
()
（）
例6、已知关于的方程无解，求的值。
解：去分母得，解得
。
原方程的增根可能是、、，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则。
当，，时，方程无解。
巩固练习
一、填空题
1、关于的方程的根是
，
2、如果关于的方程无解，那么=
—2
3、方程的根是
4、方程的根是
5、如果分式方程两边都减去后，变为方程，那么这两个方程的解
不相同
（填“相同”或“不相同”）
6、把分式方程去分母后，得到的整式方程是
7、用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程的一般形式是
8、如果关于的分式方程无解，那么=
1
二、选择题
1、解关于的方程时，下列说法中错误的是（
D
）
A．当a=0,b=0时,方程有无数多解
B．当n为奇数且时，方程有且只有一个实数根
C．当n为偶数且时，方程无实数根
D．当n为偶数且时，方程有两个实数根
2、（是关于的一元二次方程，则的取值范围是（
C
）
A．
B．
C．且
D．一切实数
3、关于的方程有唯一解，则必须（
C
）
A．
B．且
C．
D．且
4、如果分式的值为零，那么的值是（
B
）
A．2
B．—3
C．2，—3
D．—2
5、如果关于的分式方程有增根，那么的值是（
D
）
A．—1或—2
B．—1或2
C．1或2
D．1或—2
三、解答题
1、关于的方程，分别求m、n为何值时，原方程：
有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解。
解：原方程可化为：
当时，方程有唯一解；
当时，方程有无数多解；
当时，方程无解；
2、解方程
解：原方程可化为
设，则原方程可化为，
，解得，
则，解得
3、解方程：
（1）；
（2）；
解：
解：，
（3）
（4）
（分组分解）
（5）
4、解方程：
（1）
解：（1是增根）
解：
（4）
解：
或3
解：，设
原方程变为，得
当
时，方程无实数根
当时，
经检验都是方程的根
5、解方程
解：原方程可化为
解得
6、已知两个分式：A=，B=，其中x≠±2．下面有三个结论：①A=B；②A、B互为倒数；③A、B互为相反数．请问哪个正确?为什么?
答案：B=，A+B=0，所以A、B互为相反数。
7、关于的方程无解，求的值。
解：约去分母有，
当时，方程无解；
当时，方程无解。
热身练习
1、判断下列关于的方程，是哪种代数方程？
分式方程
（2）;
一元六次方程（一元高次方程）
（3）;分式方程
2、方程的根是
3、方程的根是
4、已知与的和等于，则
2
，
2
.
5、若关于方程无解，则的值是
1
．
6、用换元法解，可设，则原方程可化为关于的方程是______________．
7、若解关于的方程有增根=
—1，则a的值为（
C
）
A、0或—1
（B）0
（C）3
（D）3或—1
8、如果用换元法解方程，设，那么原方程可化为（
D
）
9、用换元法解方程
解：设，则原方程可化为，
解得（舍去），当时，解得
10、当a为何值时，方程有增根？
解
原方程可化为，
当时，原方程有增根；
自我测试
1、当m=
4或-6
时，关于的分式方程没有实数解.
2、用换元法解方程时，可设
=y,这时原方程变为
.
3、若，则
±2
.
4、要使方程无解，则a=?
。
5、方程的最简公分母是（
D
）
A．
B．
C．
D．
6、
如果，那么的值是（
A
）
A.1
B.—1
C.±1
D.4
7、关于x的方程的根是（
A
）
A．
B．
C．
D．
8、解方程：；
解：
，
，
，
.
.
经检验知：是增根，是原方程的根.
9、解方程：；
解：
设
.
得
y1=；y2=2.
当y1=时，
.
当时，
经检验知：
均为原方程的根.
10、解方程：；
解:
,,.
经检验知:是增根；是原方程的根.
11、解方程：；
解：
12、解方程：
解：设，则
，
得
把代入中，则
把代入中，则
经检验知：均为原方程的根.
13、解方程组
繁解：由①得。
③
把③代入②，得。
化简，得。解得。
把代入③，得。
所以原方程组的解是
