2.6.2 菱形的判定同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
中小学教育资源及组卷应用平台
初中数学湘教版八年级下册2.6.2菱形的判定 同步练习
一、单选题
1.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，这个条件可以是（ ）
A. BC＝CD B. AB＝CD C. ∠D＝90° D. AD＝BC
2.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）．
A. AC⊥BD，AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA
C. AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D. AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
3.如图，某同学作线段AB的垂直平分线：分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD为线段AB的垂直平分线.根据这个同学的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A. 菱形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 一般的四边形
4.如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（ ）
A. B. C. D. 互相垂直
5.如图，在一张平行四边形纸片ABCD中，画一个菱形，甲、乙两位同学的画法如下:
甲：以B ， A为圆心，AB长为半径作弧，分别交BC ， AD于点E ， F,则四边形ABEF为菱形；乙：作∠A, ∠B的平分线AE ， BF ， 分别交BC于点E ， 交AD于点F ， 则四边形ABEF是菱形；关于甲、乙两人的画法，下列判断正确的是（ ）
A. 仅甲正确 B. 仅乙正确 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误
6.如图， 中， 平分 ， 交 于 ， 交 于 ，若 ，则四边形 的周长是（ ）
A. 24 B. 28 C. 32 D. 36
7.有两张宽为3，长为9的矩形纸片如图所示叠放在一起，使重叠的部分构成一个四边形，则四边形的最大面积是（ ）
A. 27 B. 12 C. 15 D. 18
8.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A. 16 B. 15 C. 14 D. 13
9.如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A. 甲、乙均正确 B. 甲、乙均错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确
10.将一矩形纸片对折后再对折，如图1、图2，然后沿图3中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（ ）.
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
二、填空题
11.如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，若CD=4cm，则菱形ABCD的面积是________ cm2 ．
12.已知：线段 AC ， 如图．
求作：以线段 AC 为对角线的一个菱形 ABCD ．
作法：
①作线段AC的垂直平分线MN交AC 点于O；
②以点O为圆心，任意长为半径画弧，交直线MN于点B ， D；
③顺次连结点A ， B ， C ， D ， 则四边形ABCD即为所求作的菱形．
请回答：上面尺规作图作出菱形 ABCD的依据是________．
13.如图，平行四边形 的两条对角线 相交于点 ， ， ， ，则四边形 的形状是________.
14.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=________°．
15.如图，已知：在 ABCD中，AB=AD=2，∠DAB=60°，F为AC上一点，E为AB中点．
ABCD的周长是________；
EF+BF的最小值为________．
三、解答题
16.如图，□ABCD中对角线BD平分∠ABC.
求证：□ABCD是菱形.
17.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.
18.如图，在Rt△ABC.∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．
19.如图，在 中，∠ACB=90 ，∠B=60 ，作边AC的垂直平分线 交AB于点D，过点C作AB的平行线交 于点E，判断四边形DBCE的形状，并说明理由．
四、综合题
20.如图，已知在△ADE中，∠ADE=90°，点B是AE的中点，过点D作DC∥AE，DC=AB，连结BD、CE．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）若AD=8，BD=6，求菱形BDCE的面积．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
如下图，
若BC＝CD，则平行四边形ABCD是菱形；
若AB＝CD，则还是平行四边形；
若∠ADC＝90°，则平行四边形ABCD是矩形；
若AD＝BC，则还是平行四边形；
故答案为：A.
2.【答案】 C
解：A、根据AC与BD互相平分得四边形ABCD是平行四边形，再有AC⊥BD ，可得此四边形是菱形；
B、根据AB=BC=CD=DA ，可知四边形是菱形；
C、由AB=BC，AD=CD，不能得到此四边形是平行四边形，所以不能判定四边形ABCD是菱形；
D、由AB=CD，AD=BC得四边形是平行四边形，再有AC⊥BD，可得四边形是菱形．
故答案为：C．
3.【答案】 A
解：∵分别以A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故答案为：A.
4.【答案】 D
解：由平行四边形的性质可得： ， ，则选项A不符题意
，则选项B不符题意
若 ，则
对角线相等的平行四边形一定是矩形，但不一定是菱形，则选项C不符题意
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则选项D符合题意
故答案为：D.
5.【答案】 C
解：甲的作法正确；
证明：由题意得AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE，
又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AB=BE，∴四边形ABEF是平行菱形。
乙的作法正确；
证明：∵AD∥BC ，
∴∠1=∠2 ， ∠6=∠7 ，
∵BF平分∠ABC ， AE平分∠BAD ，
∴∠2=∠3 ， ∠5=∠6 ，
∴∠1=∠3 ， ∠5=∠7 ，
∴AB=AF ， AB=BE ，
∴AF=BE
∵AF∥BE ， 且AF=BE ，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF ，
∴平行四边形ABEF是菱形。
故答案为：C
6.【答案】 A
解：∵DE // AC， DF // AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠BAD=∠ADF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ADF，
∴DF=AF=6，
∴平行四边形AEDF是菱形，
∴菱形AEDF的周长为：6×4=24，
故答案为：A.
7.【答案】 C
解：重叠的四边形的两组对边分别平行，那么可得是平行四边形，再根据宽度相等，利用面积的不同求法可得一组邻边相等，那么重叠的四边形应为菱形；如图，
此时菱形ABCD的面积最大．
设AB=x，EB=9-x，AE=3，
则由勾股定理得到：32+（9-x）2=x2 ，
解得x=5，
S最大=5×3=15．
故答案为：C．
8.【答案】 A
解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
同理：AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA= = =8，
∴AE=2OA=16．
故选：A．
9.【答案】 A
解：根据菱形的判定定理及性质可得甲、乙的做好均正确.
10.【答案】 C
由折叠过程可得，该四边形的对角线互相垂直平分，
所以将①展开后得到的平面图形是菱形.
故答案为：C.
二、填空题
11.【答案】 8
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=4cm，
∵∠A=45°，DE⊥AB，
∴DE=AD sin45°=4×=2（cm），
∴S菱形ABCD=AB DE=8（cm2）．
故答案为：8 ．
12.【答案】 对角线垂直的平行四边形是菱形
解：∵由作法可知．OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：对角线垂直的平行四边形是菱形．
13.【答案】 菱形
【解析】【解答】∵四边形 是平行四边形；
∴,CO=OC=2，BO=OD=3;
∵ ，则CO2+ BO2=BC2；
∴∠ BOC=90°，则四边形ABCD为菱形.
14.【答案】 70．
解：∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形．∴DB=DE．
∵∠BDE=70°，∴∠ABD= =55°．
∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°．
根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，
∴∠BAC=∠BAD=35°．∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
15.【答案】 8；
解：根据平行四边形有一组邻边相等得到四边形ABCD为菱形，然后计算四边形的周长；根据菱形的性质可知点B与点D关于AC对称，从而可知BF=DF，则EF+BF=EF+DF，当点D、F、B共线时，EF+BF有最小值，然后根据等边三角形的性质以及直角三角形的勾股定理得出最小值．
三、解答题
16.【答案】 证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,
∴∠2=∠3.
又∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴ AB =AD,
∴□ABCD是菱形.
17.【答案】 解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∵DE∥AC，
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF是菱形.
18.【答案】 解：∵AF∥CD， ∴∠AFE=∠CDE，
在△AFE和△CDE. ，
∴△AEF≌△CED， ∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠B=90°，∠ACB=30°， ∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB， ∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD，
∴DA=DC， ∴四边形ADCF是菱形．
19.【答案】 解：四边形DBCE是菱形，理由如下：
DE垂直平分AC，
，
，即 ，
，
，
四边形DBCE是平行四边形，
， ，
是 的中位线，
点D是AB的中点，
，
又 在 中， ，
，
，
平行四边形DBCE是菱形．
四、综合题
20.【答案】 （1）证明：在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，AB=BE，
∴DB= AB=AB=BE，
∵DC∥BE，DC=AB=BE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD=BE，
∴四边形BECD是菱形．
（2）解：连接BC交DE于O．
∵四边形DBEC是菱形，
∴BC⊥DE，
∴BO∥AD，∵AB=BE，
∴DO=OE，
∴OB= AD=4，OD==2 ，
∴BC=8，DE=4 ，
∴S菱形BDCE= BC DE=16 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)