《正比例的意义》教学设计
教学内容：
西南师大2011版教材六年级下册第三单元第43-44页《正比例的意义》
教材分析：
《正比例》这部分内容是在学生学习了除法、分数、比和比例这些知识的基础上进行教学的。教材密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计系列情景，让学生体会生活中存在着许多相关联的量，他们之间的关系有共同之处。从而引发学生的讨论与思考，使学生认识到：如果一种量随着另一种量的变化而变化，并且它们的比值（商）一定，那么这两种量就成正比例。正比例关系是一种比较重要的数量关系，学生掌握了这种数量关系，既可以加深对比例的理解，又能为后面学习运用“正比例关系”解决生活中的一些实际问题埋下伏笔。通过正比例的教学，还进一步渗透了函数思想，为学生今后探究正比例图像的特点奠定基础。
学情分析：
（1）正确把握学生的学习起点。
这部分知识与前面的比、比例、分数、除法等知识联系特别紧密，有的学生可能已经有了一定的了解，。因此教学时要尽量把主动权交给学生。
（2）课堂氛围要开放。
教学时教师创设的氛围必须是开放的、宽松的、自主的，以利于学生获得更深刻、更准确的理解和体验。运用已有知识去尝试、去探究、去发现、去再创造。
（3）创设的情景要切合学生的生活实际。
通过具体实例，借助事物表象，引导学生逐步了解数量之间的内在联系，从而发现两种相关联量的变化规律。
教学目标：
1.使学生通过具体实例来认识成正比例的量，理解正比例的意义，知道正比例的图像和两个变量的变化规律，并会正确判断两种相关联的量是否成正比例关系。
2．经历数据的观察、比较、分析、归纳等过程，培养学生的抽象概括能力和对比分析能力。
3初步渗透函数思想和推理思想，感受正比例关系的实际应用。
教学重点：使学生理解正比例的意义。
教学难点：使学生会正确判断两种量是否成正比例关系。
教学准备：多媒体课件、自学单、小组活动学习单
教学过程：
一、创设情境，激趣导入
1.视频导入：
请同学们看一段买铅笔的视频，视频主要讲述一支铅笔2元钱，两支铅笔4元，三支铅笔6元。
师:同学们，老师今天给大家看一个是视频，根据视频完成表1，说一说你有什么发现？
一种笔销售的数量与总价的关系如下表1:
数量/支
1
2
3
4
5
6
总价/元
生1：我发现数量变化，总价也随着变化。
生2：我发现买的笔越多，花的钱就越多，但是它们的单价是不变的，都是2元。
师：单价怎么求？
生：总价÷数量=单价
根据学生的回答，教师归纳：像这样一种量变化，另一种量也随着变化，我们就把这两种量称为两种相关联的量。
2.
理解两种相关联的量
师：今天老师还给大家带来一辆小汽车，仔细观看动画（小汽车1小时行驶60km,2小时行驶？km,3小时行驶？km），完成表2，说一说你有什么发现？
一辆汽车行驶的时间和路程情况如下表2:
时间/时
1
2
3
4
5
6
路程/km
生：我发现时间越长，小汽车行驶的路程越长，但是速度是不变的。
师：他们是两种相关联的量吗？为什么？
生：时间和路程是两种相关联的量。因为时间变化会引起路程的变化，所以时间和路程是两种相关联的量。
师：真好。那么你刚才说的速度不变是怎么求的
生：路程÷时间=速度
【设计意图：通过数量与总价、路程与时间这两组感性材料，让学生认识变量与不变量。并从一般出发引导学生抽象出概念的基本特征，如果一种量变化会引起另一种量变化，那么这两个变量就叫做两种相关联的量。】
二、学习新知
1.
判断两种相关联的量
杯子的底面积与水的高度的变化情况如下表3:
底面积/cm2
10
15
20
30
60
……
水的高度/cm
30
20
15
10
5
……
一段布用去的米数和剩下的米数如下表4:
用去的米数/m
80
100
120
130
150
……
剩下的米数/m
120
100
80
70
50
……
师：这里还有2张表格，请你观察一下每张表格中的两种量，它们是不是两种相关联的量
生：表格3是两种相关联的量，底面积变化，高也随着变化。
师：那表格3中什么量是不变的 怎么求
生:
底面积×高=体积
师：表4呢？为什么？
生：表格4是两种相关联的量，因为用去的米数+剩下的米数=总米数，总米数不变，用去的越来越多，那剩下的就越来越少。
3.认识正比例
师：现在这里一共有4张表格，你能按一定标准对它们进行分类吗
生1：我根据两个相关联的量的变化情况分为两类，1、2都是一个量扩大，另一个量也扩大，3、4都是一个量变大，另一个量减少，所以1、2分为一类，3、4分为一类。
生2:我是根据不变量的求法来分类的，1、2都是用除法一类，
3是用乘法一类，4是加法为一类。
师：像1、2这2张表格中的两种相关联的量，相对应的两个量又是除法关系，这两种量叫做正比例的量，它们的关系就是正比例关系。
4.揭题：这就是今天我们所要学习的正比例的认识
5.理解正比例
小组合作探究：讨论提纲
（1）找一找：表中有哪两种量？它们是不是两种相关联的量？
（2）写一写：①请把表格填写完整。
②请写出几组两种量中相对应的两个数的比，并
求出比值，再写出一个式子表示它们的关系。
（3）说一说：表中两种量的变化规律是怎样的？
一种笔销售的数量与总价的关系如下表1:
数量/支
1
2
3
4
5
6
总价/元
2
4
6
一辆汽车行驶的时间和路程情况如下表2:
时间/时
1
2
3
4
5
6
路程/km
60
120
180
师：把刚才探究的两张表的结论放在一起，小组四人对比一下它们有什么共同特点？
总结得出正比例的概念
课件出示正比例定义
师：表4？这两种量不也是两种相关联的量吗
生：不是，因为它们是和一定不是比值一定。
师：表3呢
生：不是，因为它们是积一定不是比值一定。
师：你还想到了还有什么一定也不成正比例
生：差一定也不成正比例。
(小结)师：看来判断两种量成不成正比例关系，必须要具备哪些条件
生：
1.两种相关联的量；
2.相对应的两个数的比值一定
师：如果老师用字母x和y表示两种相关联的量，
k表示它们的比值一定，你能用一个关系式表示吗
(y/x=k)
6.生活中的正比例
师：你能举出生活中正比例关系的例子吗
【设计意图：学生学习概念要经历一个复杂的认知过程，才能实现从感性向理性的过渡。通过这4组素材，通过让学生进行分类、比较、分析，层层深入，使概念的本质属性凸显出来，使概念的本质更加清晰、明确，使学生对概念内涵的理解从文字层面进入实质层面，再结合这4张表格理解正比例的内涵与外延。】
3、
巩固练习
第一关：缜密思考，准确判断
1.判断下列表中的两种量是否成正比例关系 并说明理由。
(1)
一辆汽车行驶的时间和路程的关系如下表：
时间/小时
1
2
3
4
5
6
路程/千米
80
160
240
320
400
480
表中路程和时间是两种（
）的量。它们的比的比值表示（
），这个比值（
）。所以，（
）和（
）成（
）关系。
(2)正方形的面积与边长的关系如下表：
正方形的边长/cm
1
2
3
4
5
6
正方形的面积/cm2
1
4
9
16
25
36
表中面积和边长是两种（
）的量。它们的比的比值表示（
），这个比值（
）。所以，（
）和（
）（
）关系。
师：第一题谁来说
师：表格2的比值为什么不相等 你怎么知道
生：
1÷1=1,
4÷2=2,
9÷3=3
师：有谁知道这个比值为什么不一样
生：因为面积÷边长=边长，两个边长都在变。
师：刚才我们去判断的时候，理由都是从哪几方面去思考的
师：好，既然表2不是正比例，我们就把它去掉，一起来观察这张表格，两种正比例的量是怎么变的
师：如果我把表1画在一张图上，那么这个点表示什么意思
师：如果把这些点连起来，那么就把这幅图叫做正比例图像。
师：不计算，根据图像判断，如果行8小时，路程是多少千米？
第二关：细心研读，精心选择
2、判断下列两种量是否成正比例关系 是的画“√"
,不是的画“×"
(1)长方形的长一定，宽与面积。
(2)差一定，被减数与减数。
(3)订阅《小学生时代》的本数和所需的钱。
(4)圆的直径一定，周长和圆周率。
(5)小新跳高的高度和他的身高。
第三关：反复研读，拓展延伸
3.观察下面3张表格中两种相关联的量是否能成正比例。
教师出示如下的3张表格，这3张表格分别表示的是3只小动物爬行情况的记录。学生很有兴趣地观察后，教师组织集体质疑交流。
表1：
爬行时间/分
1
2
3
4
5
…
爬行距离/m
0.5
1
1.5
2
2.5
…
表2：
爬行时间/分
1
2
3
4
5
…
爬行距离/m
1
2
3
4
5
…
表3：
爬行时间/分
1
2
3
4
5
…
爬行距离/m
2
3
6
7
8
…
生：第一张表格是蜗牛爬行的，速度很慢，但速度都是相等的，所爬行的距离与爬行的时间成正比例。
生：第二张表格七星瓢虫爬行距离与爬行的时间也能成正比例。
生：第三张蚂蚁爬行的速度有快有慢，它爬形的距离与爬行的时间不能成正比例。
师：那你觉得怎样把蚂蚁爬行的距离改一改，使它爬行的距离与爬行
的时间也能成正比例
生：把蚂蚁爬2分钟的距离改成4m,爬4分钟的距离改为8m,爬5分钟的距离改为10m,这样蚂蚁爬行的距离与爬行的时间也能成正比例了。
师：现在这3只动物各自爬行的距离与爬行时间都成正比例了，我根据每一张表格画出了图,请大家继续观察表格和图，你又有什么发现
生：我发现蜗牛爬得比较慢，画出的线比较平；蚂蚁爬得比较快，画出的线是最斜的。
师：你的意思是按第一张表格的对应数量画出的线上升的速度比较慢，按第三张表格的对应数量画出的线上升的速度比较快。
师总结：从图中可明显地看出蚂蚁爬行的速度最快，画出的这条线是最陡的，而蜗牛爬行的速度最慢，画出的这条线是最平缓的。
四、全课总结
原来正比例图像还挺有意思，在今后的学习中还要探究更多正比例的奥秘，今天这节课对正比例的学习就到这里。说一说这节课你学到了什么
板书设计：
正比例
两种相关联的量：一种量变化，另一种量随着变化
两种相关联的量
正比例特征
相对应的两个数的比值一定
Y
X
教学流程：
正比例教学反思
正比例的教学，是在学生具有比和比例的知识，认识常见数量关系的基础上展开的，重点是能让孩子们理解正比例的意义。学好正比例是学习反比例的基础，也是今后中学学习函数的一个重要基础。但正比例概念较抽象，孩子们不易接受。因此，在本课教学中，我注重了以下几点：
一、以视频方式导入新课
正比例，讲的是一种量扩大或缩小，另一种量随之扩大或缩小，于是，我将数学知识与与现实生活买铅笔情景巧妙融合，观看视频发现买的越多花的钱越多，激发学生学习兴趣。数学来源于生活，又服务于生活，观看之后，我关注孩子们已有的生活经验和兴趣，让学生观察动画：小汽车随时间增加行驶的路程越远，使他们初步感知什么是两种相关联的量，更为后面正比例意义的学习做好铺垫。
二、以合作学习方式探究新知
数学新标准提倡：引导学生以自主探索与合作交流的方式理解数学，解决问题。在本课的探究过程中，我本着“以学生为主体”的思想，给学生较充分的思考和交流的空间，在引导学生初步认识了两种相关联的量后，从学生常见的数量关系入手，给出表二（研究数量和总价两种相关联的量的变化规律）、表三（研究时间和路程两种相关联的量的变化规律），使抽象的数学知识具有丰富的现实背景，为学生的数学学习提供了生动活泼、主动的材料与环境。然后放手让学生采取同桌合作的方式依据讨论提纲，合作研究表二和表三中的其中一张，开放自由，学生边填边思，并分别指名学生到前面汇报交流，培养合作互动的精神。接着通过表二、表三这两例“正比例”意义教学素材的对比，让学生感悟其基本特征，从而由两个具体数学现象归纳抽象出正比例的意义。让学生经历这个过程，丰富他们的数学体验，实现“用教材教”而不是“教教材”这一新课程理念的转变，也为学生积极参与后面的学习活动打下基础。
三、层层递进认识正比例图像
通过学生小组讨论、总结、汇报、师生交流后概括出的数学新知，再通过用图像直观表达正比例关系，进一步验证学习正比例关系的两个量用图像表示的情况，以帮助学生构建立体的概念模型。本课教学中我设计了认识图像上的点、认识图像的形状、引申意义、概括正比例图像的特征、图像实际应用等内容层层递进，助力学生掌握正比例图像的特征和作用，促使学生掌握用图像表示正比例关系。
四、以智力闯关方式展开练习
我设计了智能闯关训练，缜密思考，准确判断——反复比较，精心选择——细心研读，拓展延伸，三关内容，步步提高，层层延伸，让孩子们自由发言，讲清算理，让他们在巩固本课知识的同时，思维能力也得到相应提高。我还注重在每项练习中加强知识之间的比较，比如在理解正比例意义的同时出示了和、差、积的关系，拓宽了学生的知识面，更使正比例关系中的比值一定，在学生头脑中留下更深刻的印象。最后引导学生自己对知识进行梳理，培养学生的归纳能力和表达能力，使他们进一步掌握正比例的意义。
本课做练习时有些仓促，应再多给学生一些思考时间和表达想法的时间，更好地让所有的学生在思考中成长，在应用中提升。
=
K(一定)
总结收获
课堂小结
3.拓展题
初步感知正比例图像张开角度有大有小，为将来研究函数的斜率做铺垫
2.判断题
在没有表的情况下增加难度判断是否能成正比例
1.填空题
加深对正比例的理解，根据正比例关系认识正比例图像
巩固练习
5.学以致用
发现生活中正比例的例子
4.借助四张表格理解正比例的外延与内涵
3.总结正比例概念
2.小组合作
探讨发现规律
1.四张表格分类
找出除法关系
理解正比例
理解相关联的量
视频导入
导入第二课时
正比例图像及应用
教学内容：
正比例图像及应用
教学目标：
1、知识与技能：
（1）初步认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画出图像，并会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。
（2）进一步理解正比例的意义，会运用正比例知识解决简单的实际问题。
2、过程与方法：通过操作、观察、讨论、交流认识正比例图像。
3、情感态度与价值观：通过解决问题，进一步体会正比例在现实生活中的广泛应用。
教学重点：
1、认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在有直角坐标系的方格纸上画出图像，并会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。
2、会运用正比例知识解决简单的实际问题。
教学难点：
认识正比例关系的图像，会运用正比例知识解决简单的实际问题。
教学过程：
一、复习引入
1、判断下面各题中的两种量是不是成正比例？为什么？
①《中国少年报》的单价一定，总价和订阅的数量。
②小明的跳高高度和他的身高。
③书的总页数一定，已经看的页数和未看的页数。
④水稻每公顷产量一定，水稻的公顷数和总产量。
2、请你举出生活中还有哪些是成正比例的量。
3、揭示课题。
这些数量之间藏着不少的知识，昨天我们认识了成正比例的量，今天这节课我们继续来研究这些数量间的一些规律和特征。
二、自主探索，学习新知
1、出示例2
(1)引导学生仔细观察这个表，并完成导学案“激疑导学”第1题。
(2)指名汇报，师随学生的回答作必要的板书：
=
=
=
=
0.7
×100%
=
出粉率
(3)思考：表中的面粉质量和小麦质量成正比例吗？为什么？
同桌交流，指名汇报。
2、用图像表示正比例关系
(1)在黑板上出示空白坐标图。
师指出：正比例关系可以通过这样一个图像来表示。
(2)仔细观察这个图表，谁能明白这个图表所表示的意思？
引导学生认识图表要达到两个层次：第一层是横着的这根有箭头的轴即横轴，表示小麦质量，单位是千克，竖着的这根有箭头的轴即竖轴，表示面粉质量，单位也是千克；第二层，横轴上的数从左往右数据从0开始逐渐增加，竖轴上的数从下往上数据从0开始也是逐渐增加的。
(3)提问：例题中的每一组数据你能用一个点来表示吗？
学生独立完成图像，小组内交流、订正。
(4)观察图像，同时完成导学案“激疑导学”第3题。
指名汇报，全班交流。
师引导，使学生知道：利用正比例关系图像，不用计算，可以由一个量的值，直接找到对应的另一个量的值。如：知道小麦质量是200kg，可以从图像上找到小麦质量是200kg的点,再找这个点对应的竖轴上的数是140，即小麦质量是200kg时，对应的面粉质量是140kg。
3、出示例3
(1)观察：这幅图告诉我们一个什么事情 需要解决什么问题？
(2)独立思考，并完成导学案“激疑导学”第4、5题，小组内交流、讨论。
(3)指名汇报展示，全班交流、订正。
三、当堂检测：
1、课堂活动第2题。
学生独立完成，同桌交流，然后指名汇报展示，全班交流、订正。
2、小组内完成练习十二第4题，指名汇报，全班交流、订正。
3、完成导学案“巩固达标“，小组内交流、订正。
四、教学小结
通过今天这节课你学到了什么知识？
五、作业布置
练习十二5、6、7题。
六、课后反思：
