【单元培优卷】第1章 三角形的证明 （含解析）

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2020-2021学年北师大版八年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第1章三角形的证明
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·全国九年级）下列说法中，正确的个数有（　　）
（1）关于某直线对称的两个三角形是全等三角形
（2）全等三角形是关于某直线对称的
（3）两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
（4）有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称
（5）圆成轴对称，它有无数条对称轴
（6）等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
A．4
B．3
C．2
D．1
2．（2021·云南八年级期末）下列条件中，使不是直角三角形的是（
）
A．，，
B．
C．
D．
3．（2021·全国八年级）如图，，是平分线上一点，，，，则长度为
A．
B．
C．
D．
4．（2021·安徽八年级期末）等腰三角形一边的长为，周长是，则底边的长是（
）
A．
B．
C．7或
D．4或
5．（2020·湖北八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2021·河南八年级期末）如图，已知等腰三角形中，，，分别以、两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧分别交于点、，直线与相交于点，则的度数是（
）
A．50°
B．60°
C．75°
D．45°
7．（2021·四川八年级期末）中，，的垂直平分线交、于点、，若，则的周长是（
）
A．7cm
B．8cm
C．9cm
D．10cm
8．（2020·淮安市浦东实验中学八年级期中）如图，中，，的平分线交于点，过点作交、于、，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2021·山东八年级期末）如图，中，，于D，BE平分，且于E，与CD相交于点F，于H，交BE于G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
10．（2021·北京八年级期末）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点重合），连接，点分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（
）
A．不变
B．一直变小
C．先变大后变小
D．先变小后变大
．
11．（2021·湖北八年级期中）如图，在边长为6cm的等边△ABC中，点D从A出发沿A→B的方向以1cm/s的速度运动，点E从B出发沿B→C的方向以2cm/s的速度运动，D，E两点同时出发，当点E到达点C时，D，E两点停止运动，以DE为边作等边△DEF（D，E，F按逆时针顺序排列），点N为线段AB上一动点，点M为线段BC的中点，连MF，NF，当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为（　　）
A．5cm
B．4.5cm
C．4cm
D．3cm
12．（2021·湖北八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
13．（2020·福建八年级期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD平分∠BAC，CD=2，DE⊥AB于E，则等于_____________．
14．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）如图，已知，且，则________．
15．（2021·山东八年级期末）如图，在中，，，，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则周长的最小值为________．
16．（2021·黑龙江九年级期末）已知：在中，，，点在上，连接，若，则的长为________．
17．（2021·全国八年级）已知在有一角为的直角三角形中，角所对的边是斜边的一半，若在等腰三角形中，于点，且，则底角的度数为_________．
18．（2020·湖北嘉鱼·初二期末）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=2，点D是边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，使点E在∠C的内部，连接BE．下列结论：①AC=1；②EB=ED；③当AD平分∠BAC时，△BDE是等边三角形；④动点D从点C运动到点B的过程中，点E的运动路径长为2．其中正确的是__________．（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·北京八年级期末）如图，中，，点分别在边，上，，．求证：
平分．
20．（2021·湖南八年级期末）如图，中，，点是延长线上一点，于点交于点，求证：．
21．（2020·北京师范大学三帆中学朝阳学校八年级月考）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线；
（2）如图，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．（3）电信部门要修建一座电视信号发射塔．如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中标出它的位置．
22．（2020·江阴市敔山湾实验学校八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　
　；
（2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
23．（2021·全国八年级专题练习）（1）如图①，△ABC的周长为15，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．①如果∠A=80°，求∠BPC的度数；②如果BC=5，过P作GH∥BC交AB、AC于G、H，则△AGH的周长为
；③如果∠ABC=60°，BP=3，则△ABC的面积为
；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
24．（2021·安徽八年级期末）已知：如图，点，在的边，上，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点，连接，，，．
（1）求证：①；②；（2）探究：满足什么条件时，是等边三角形，并说明理由；（3）若，请在备用图中画出符合条件的图形，并探究与之间的数量关系，并说明理由．
25．（2020·浙江省开化县第三初级中学八年级期中）（问题呈现）如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且，试确定线段AE与DB的数量关系，并说明理由．
（探究思考）
（1）特殊情况，探索结论
如图1，当点E为AB的中点时，猜想：AE________DB（填“>”，“<”或“=”）
（2）特例启发，解答题目
通过探讨，小敏和小聪分别给出了第（1）小题结论的两种证法，思路如下：
小敏：
小聪：
请选择适当的（问题呈现）中问题的解答．
（拓展延伸）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且．若的边长为1，，求CD的长（直接写出结果）．
2020-2021学年北师大版八年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第1章三角形的证明
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·全国九年级）下列说法中，正确的个数有（　　）
（1）关于某直线对称的两个三角形是全等三角形
（2）全等三角形是关于某直线对称的
（3）两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
（4）有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称
（5）圆成轴对称，它有无数条对称轴
（6）等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】由轴对称的性质可判断①，由全等三角形的定义：能够完全重合的三角形，所以全等三角形不一定关于某直线对称，也可以是平移或旋转，从而可判断②，由轴对称的性质及对称轴的位置可判断③，由全等三角形的定义：能够完全重合的三角形，有一条公共边的两个全等三角形也可以通过旋转得到，从而可判断④，由圆的对称性可判断⑤，由等腰三角形的三线合一可判断⑥，从而可得答案．
【详解】解：（1）关于某直线对称的两个三角形是全等三角形，正确，符合题意；
（2）全等三角形是关于某直线对称的，错误，不符合题意；
（3）两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧，错误，不符合题意；
（4）有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称，错误，不符合题意；
（5）圆成轴对称，它有无数条对称轴，正确，符合题意；
（6）等腰三角形的顶角平分线、底边的中线、底边的高线互相重合，故错误，不符合题意，
正确的有2个，故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的定义，轴对称变换，轴对称的性质，对称轴的确定，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2021·云南八年级期末）下列条件中，使不是直角三角形的是（
）
A．，，
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理解答．
【详解】A、∵，∴是直角三角形；
B、∵，∴是直角三角形；C、设a=b=2x，c=3x，
∵，，∴，∴不是直角三角形；
D、设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，∵，
∴，解得x=，∴∠C=3x=，∴是直角三角形；故选：C．
【点睛】此题考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟练掌握根据边或角判断直角三角形的方法是解题的关键．
3．（2021·全国八年级）如图，，是平分线上一点，，，，则长度为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质作PE⊥AB于点E，再结合平行线的性质，求出∠PME，从而求出PM，最后结合等角对等边即可得出结果．
【详解】过点作于点，如图，
∵
是平分线上一点，，∴
.
∵
，，∴
，，
∴
.∵
，∴
，∴
．
故选：.
【点睛】本题考查角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，及等腰三角形的判定与性质，灵活根据角平分线的性质构造辅助线是解题关键．
4．（2021·安徽八年级期末）等腰三角形一边的长为，周长是，则底边的长是（
）
A．
B．
C．7或
D．4或
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答．
【详解】解：分情况考虑：
①当4cm是腰时，则底边长是18-8=10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；
②当4cm是底边时，腰长是（18-4）×=7（cm），
4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．（2020·湖北八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分类讨论：作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
【详解】作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，得到P5，此时AP=BP；
以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P2和P6，此时AB=AP；
以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P1、P3和P4，此时BP=BA；
综上所述：符合条件的点P共有6个．故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．
6．（2021·河南八年级期末）如图，已知等腰三角形中，，，分别以、两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧分别交于点、，直线与相交于点，则的度数是（
）
A．50°
B．60°
C．75°
D．45°
【答案】A
【分析】根据中垂线的性质可得DA=DB，设∠A=x，则∠ABD=x，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．
【详解】又作图可知：EF是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠A=∠ABD，
设∠A=x，则∠ABD=x，∵，∴∠ABC=x+15°，
∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=x+15°，∴2(x+15°)+x=180°，∴x=50°，故选A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．
7．（2021·四川八年级期末）中，，的垂直平分线交、于点、，若，则的周长是（
）
A．7cm
B．8cm
C．9cm
D．10cm
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】∵AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D，∴AD＝BD，
∴△DBC的周长=BC+BD+CD=
BC+AD+CD=BC+AC
∵，，∴△DBC的周长=6+4=10cm，故选D．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
8．（2020·淮安市浦东实验中学八年级期中）如图，中，，的平分线交于点，过点作交、于、，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据角平分线和平行，可判定△BEO和△CFO为等腰三角形，通过线段和差即可求出CF．
【详解】解：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠CBO，
∵，∴∠EOB=A∠CBO,∴∠EBO=∠EOB，∴BE=EO，
同理，CF=FO，，，∴CF=8-3=5，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和平行线、角平分线的性质，解题关键是联系已知条件，发现线段相等关系．
9．（2021·山东八年级期末）如图，中，，于D，BE平分，且于E，与CD相交于点F，于H，交BE于G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【分析】根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE＝AE＝AC，又因为BF＝AC所以CE＝AC＝BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD＝CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG＝CG．
在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
【详解】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD．故①正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD
又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG
在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．
∵CE＝AE，∴AE＜BG．故②错误．在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝AE＝AC．在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．∴BF＝AC，
∴CE＝AC＝BF，∴2CE＝BF；故③正确；
由③可得△DFB≌△DAC．∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，∴AD+CF＝BD；故④正确；故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
10．（2021·北京八年级期末）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点重合），连接，点分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（
）
A．不变
B．一直变小
C．先变大后变小
D．先变小后变大
【答案】D
【分析】先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得周长为，最后根据点到直线的距离即可得出答案．
【详解】是等边三角形，，，
，，又，，
，，，
在和中，，，，
则周长为，
在点D从B运动到C的过程中，BC长不变，AD长先变小后变大，其中当点D运动到BC的中点位置时，AD最小，在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
11．（2021·湖北八年级期中）如图，在边长为6cm的等边△ABC中，点D从A出发沿A→B的方向以1cm/s的速度运动，点E从B出发沿B→C的方向以2cm/s的速度运动，D，E两点同时出发，当点E到达点C时，D，E两点停止运动，以DE为边作等边△DEF（D，E，F按逆时针顺序排列），点N为线段AB上一动点，点M为线段BC的中点，连MF，NF，当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为（　　）
A．5cm
B．4.5cm
C．4cm
D．3cm
【答案】B
【分析】先确定点F的运动路径，后确定点M关于直线的对称点，过对称点向AB作垂线，这条垂线段就是线段和的最小值，后计算即可．
【详解】如图，过点E作EH⊥AB于H，连接FC．
由题可得：∠BEH＝30°，AD＝1×t＝t（cm），BE=2t，CE＝(6-2t)（cm），
∴BH＝BE＝t（cm），∴DH＝AB-AD-BH=6-t-t=(6-2t)（cm），∴DH＝EC．
∵△DEF，△ABC是等边三角形，∴DE＝EF，∠DEF＝∠DBE
=60°．
∴∠HDE+∠DEB＝120°，∠DEB+∠FEC＝120°，∴∠HDE＝∠CEF．
在△DHE和△ECF中，，∴△DHE≌△ECF（SAS），∴∠DHE＝∠ECF＝90°，
∴F点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段CF，
作点M关于CF的对称点K，连接FK，过点K作KJ⊥AB于J，
∵FM+FN＝FK+FN≥KJ，∴当点N与J重合，且点F在KJ上时，FM+FN的值最小，
∵M是BC的中点，∴MC=CK=3，∴BK＝BC+CK＝6+3＝9（cm），
∵∠KJB＝90°，∠B＝60°，∴BJ＝BN=BK＝9×＝4.5（cm），
当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为4.5cm．故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质，垂线段最短原理，三角形的全等，熟练确定动点的路径，把问题转化为线段和的最小值转化为垂线段最短原理是解题的关键．
12．（2021·湖北八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是；根据以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是；以此类推，得点的纵坐标是，从而得到答案．
【详解】∵点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，∴，
∴，即点的纵坐标是
∵以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，
∴，
∴，点的纵坐标是，即
∵以为边在右侧作等边三角形
同理，得点的纵坐标是
按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即故选：C．
【点睛】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质，从而完成求解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
13．（2020·福建八年级期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD平分∠BAC，CD=2，DE⊥AB于E，则等于_____________．
【答案】6
【分析】由题意根据角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD=DE，进而利用三角形面积公式求出即可．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，∴CD=DE=2，
∵AB=6，∴．故答案为：6．
【点睛】本题考查角平分线相关，熟练掌握角平分线上一点到角两边的距离相等是解题的关键．
14．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）如图，已知，且，则________．
【答案】44°
【分析】延长BA到F，使AF＝AC，连接EF，如图，由题意可得BF＝BE，进而可得∠F＝，根据角的和差可求出∠FAE＝∠CAE＝78°，从而可根据SAS证明△AFE≌△ACE，于是得∠F＝∠ACE，根据三角形的外角性质可得∠ACE＝∠B+24°，于是可得关于∠B的方程，解之即得答案．
【详解】解：延长BA到F，使AF＝AC，连接EF，如图所示：
∵AB+AC＝BE，∴AB+AF＝BE，即BF＝BE，∴∠F＝∠BEF＝，
∵∠BAD＝∠DAC＝12°，AD⊥AE，即∠DAE＝90°，
∴∠FAE＝180°﹣（∠BAD+∠DAE）＝180°﹣（12°+90°）＝78°，
∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣12°＝78°，∴∠FAE＝∠CAE，
在△AFE和△ACE中，∵，∴△AFE≌△ACE（SAS），∴∠F＝∠ACE，
又∵∠ACE为△ABC的外角，∴∠ACE＝∠B+∠BAC＝∠B+24°，∴∠F＝∠B+24°，
∴∠B+24°＝，解得∠B＝44°．故答案为：44°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
15．（2021·山东八年级期末）如图，在中，，，，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则周长的最小值为________．
【答案】18
【分析】因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．
【详解】解：如图，
∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，∴AB=2AC=12，
∵AP+CP=AP+BP=AB=12，∴△ACP的周长最小值=AC+AB=18，故答案为：18．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．
16．（2021·黑龙江九年级期末）已知：在中，，，点在上，连接，若，则的长为________．
【答案】1或7
【分析】证明△ACD≌△BCE（SAS），推出∠DBE＝90°，根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB8，
①如图1中，当点D在线段AB上时，绕点C逆时针旋转90°到CE，连接BE，DE，
则∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，
∵CD＝5，∴DE＝5，∵BE2+BD2＝DE2，∴AD2+（8﹣AD）2＝（5）2，解得：AD＝1或7；
②如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
∵，∴CD＜BC图2这种情况不符合条件
③如图3，当点D在线段AB的延长线上时
，
∵，∴CD＜BC
图3这种情况不符合条件综上所述，AD的长为1或7；故答案为：1或7．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．（2021·全国八年级）已知在有一角为的直角三角形中，角所对的边是斜边的一半，若在等腰三角形中，于点，且，则底角的度数为_________．
【答案】、或、或、.
【分析】根据题意画出符合的三种情况，再根据含30°角的直角三角形的性质和三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质求出即可．
【详解】解：分为三种情况：①如图，
中，，，
，，，
，是等腰直角三角形，；
②如图，
中，，，，，，，
，，，，
③如图，
，∴，∴，；
故答案为：、或、或、．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
18．（2020·湖北嘉鱼·初二期末）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=2，点D是边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，使点E在∠C的内部，连接BE．下列结论：①AC=1；②EB=ED；③当AD平分∠BAC时，△BDE是等边三角形；④动点D从点C运动到点B的过程中，点E的运动路径长为2．其中正确的是__________．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】②③④
【分析】作EF⊥AB垂足为F，连接CF，可证△EAF≌△DAC，推出点E在AB的垂直平分线上，根据三线合一可证为等腰三角形，即可得到EB=ED，由AD平分∠BAC计算∠CAD=∠EAB=∠EBA=30°，从而证得△BDE是等边三角形，在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，由此即可解决问题．
【解析】解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=2，∴，故①错误；
如图，作EF⊥AB垂足为F，连接CF，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=ED，∠EAD=60°，∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAF=∠DAC，
在△EAF和△DAC中，，∴△EAF≌△DAC，∴AF=AC，EF=CD，
∵，∴，∴F为AB的中点，∴EF为的中线，
又∵，∴，∵，∴，故②正确；
∵AD平分∠BAC，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
又∵，∴是等边三角形，故③正确；
∵，，∴点E在AB的垂直平分线上，
∴在点D从点C移动至点B的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，
∴在点D从点C移动至点B的过程中,点E移动的路线为2，故④正确；故答案为：②③④．
【点睛】本题考查直角三角形性质，等边三角形性质，利用这些知识证明三角形全等为关键，掌握直角三角形和等边三角形的性质为解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·北京八年级期末）如图，中，，点分别在边，上，，．求证：
平分．
【答案】见解析
【分析】过点作于点，再根据AAS证出，从而得出，再根据角平分线的判定即可得出结论
【详解】证明：过点作于点．
．
在和中，．
．点在的平分线上．平分．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确的识别图形得出是解题的关键．
20．（2021·湖南八年级期末）如图，中，，点是延长线上一点，于点交于点，求证：．
【答案】见解析
【分析】由题意易得∠A=∠C，，，则有，进而可得∠D=∠DEB，然后问题可求证．
【详解】解：，，
又，，，
（等角的余角相等），
又（对顶角相等），，
（等角对等边）．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
21．（2020·北京师范大学三帆中学朝阳学校八年级月考）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线；
（2）如图，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．
（3）电信部门要修建一座电视信号发射塔．如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中标出它的位置．
【答案】（1）见解析图；（2）见解析图；（3）见解析图，发射塔应修在角平分线与中垂线的交点Q处
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可，注意取半径时的范围；（2）根据垂直平分线的尺规作图方法作图即可，同样要注意半径范围；（3）综合（1），（2）的结论，作图即可．
【详解】（1）如图所示：①以适当长为半径作圆弧与OB，OA交于D，E两点；
②取大于长为半径，分别以D，E为圆心作圆弧，交于F点；③连接射线OF即为∠AOB的角平分线
（2）如图所示：①取大于长为半径，分别以A，B为圆心作圆弧，在线段AB上下部分交于M，N点；②连接直线MN，即为线段AB的垂直平分线；
（3）如图所示：综合（1）、（2），结合角平分线的性质及垂直平分线的性质可知，发射塔应修在角平分线于线段中垂线的交点Q处．
【点睛】本题考查角平分与垂直平分线的作法及实际应用，熟练掌握作图方法，并灵活运用性质解决实际问题是解题关键．
22．（2020·江阴市敔山湾实验学校八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　
　；
（2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
【答案】（1）；（2），图和理由见解析
【分析】（1）作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．
【详解】解：（1）如图2所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′E交BC于P，此时PA+PE的值最小．连接BA′．由勾股定理得，BA′=BA===2，
∵是的中点，∴BE=BA=，
∵，，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，
∴PA+PE的最小值=A′E===．故答案为：；
（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=C′A=1，
∴CM+MN的最小值为C′N==．
【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．
23．（2021·全国八年级专题练习）（1）如图①，△ABC的周长为15，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
①如果∠A=80°，求∠BPC的度数；
②如果BC=5，过P作GH∥BC交AB、AC于G、H，则△AGH的周长为
；
③如果∠ABC=60°，BP=3，则△ABC的面积为
；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
【答案】（1）①130°，②10，③，（2）∠Q＝90°﹣∠A；（3）60°或120°或45°或135°．
【分析】（1）①运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；②根据平行和角平分线，判断△GPB和△CPH是等腰三角形，把△AGH的周长转化为AB+AC即可；③过点P分别作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、R、F，根据角平分线的性质，可知PD=PR=PF，△ABC的面积就等于周长乘以PD，根据30°角，求出PD即可；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别求解即可．
【详解】解：（1）①∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
②∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP，∵GH∥BC，∴∠GPB
=∠CBP，∴∠ABP=∠GPB，
∴BG=GP，同理，CH=PH，GH=BG+HC，
△AGH的周长为：AG+GH+AH=AG+BG+AH+HC=AB+AC，
△ABC的周长为15，BC=5，15-5=10，∴△AGH的周长为10；
故答案为：10，
③过点P分别作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、R、F，连接AP，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴PD=PR，PD=PF，
∵∠ABC=60°，∴∠PBD=30°∵BP=3，∴PD=1.5，∴PR=PF=1.5，
，，
，，
，，
，故答案为：；
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝[360°﹣(180°-∠A）]＝（180°+∠A）＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质和等腰三角形的判定等知识；灵活运用所涉及的知识进行分类讨论是解题的关键．
24．（2021·安徽八年级期末）已知：如图，点，在的边，上，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点，连接，，，．
（1）求证：①；②；（2）探究：满足什么条件时，是等边三角形，并说明理由；（3）若，请在备用图中画出符合条件的图形，并探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2），理由见解析；（3）作图，见解析，，理由见解析．
【分析】(1)①利用线段垂直平分线的性质，等量代换即可；②利用角的平分线的性质，代换计算即可；(2)利用四边形PCOD的内角和为360°，计算得证；(3)证明即可得证.
【详解】（1）证明：①为的垂直平分线，，同理：，；
②，，，
同理，，
；
（2）．
理由：∵，，，
，，
由（1）得，，是等边三角形；
（3）作图如下，．
理由：，，，，
在和中，
，，，
由（1）得，，
，．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，角的平分线，等边三角形的判定，直角三角形的全等，熟记性质，灵活运用等量代换思想，一般与特殊思想是解题的关键.
25．（2020·浙江省开化县第三初级中学八年级期中）（问题呈现）如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且，试确定线段AE与DB的数量关系，并说明理由．
（探究思考）
（1）特殊情况，探索结论
如图1，当点E为AB的中点时，猜想：AE________DB（填“>”，“<”或“=”）
（2）特例启发，解答题目
通过探讨，小敏和小聪分别给出了第（1）小题结论的两种证法，思路如下：
小敏：
小聪：
请选择适当的（问题呈现）中问题的解答．
（拓展延伸）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且．若的边长为1，，求CD的长（直接写出结果）．
【答案】（1）=；（2）详见解析；[拓展延伸]4或2
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BCE==∠D=∠DEB，从而得到DB=BE=AE；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，则△AEF是等边三角形，根据AAS证明△BDE≌△FEC得到BD=EF=AE；（3）根据题意画出图形，分两种情况：当点E在AB延长线上时，当点E在BA延长线上时，过点E作EF∥BC，利用等边三角形的性质及平行线的性质证明△BDE≌△FEC即可求出答案
【详解】（1）当点E为AB的中点时，AE=DB，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，∴AE=BE，∠BCE=，
∵ED=EC，∴∠ECD=∠D=，又∵∠ABC=，∴∠DEB=，∴DB=BE=AE，故答案为：=；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=，∠AFE=∠ACB=，∠FEC=∠ECD，
∴△AEF是等边三角形，AE=EF=AF，∴BE=CF，
∵ED=EC，∴∠ECD=∠D，∴∠FEC=∠D，
∵∠DBE=∠EFC=，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD=EF=AE；
[拓展延伸]如图3，当点E在AB延长线上时，过点E作EF∥BC交AC的延长线于点F，
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=，∠AFE=∠ACB=，∠FEC=∠ECD，
∴△AEF是等边三角形，AE=EF=AF，∴BE=CF，∵ED=EC，∴∠ECD=∠D，∴∠FEC=∠D，
∵∠DBE=∠F=，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD=EF=AE=3，∴CD=BD+BC=3+1=4；
如图4，当点E在BA延长线上时，过点E作EF∥BC交CA的延长线于点F，
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=，∠F=∠ACB=，∠FEC=∠ECD，
∴△AEF是等边三角形，AE=EF=AF=3，∴BE=CF，∵ED=EC，∴∠ECD=∠D，∴∠FEC=∠D，
∵∠DBE=∠F=，∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF=AE=3，∴CD=BD-BC=3-1=2；综上，CD的长为4或2．
【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，平行线的性质，全等三角形的判定及性质，注意运用分类思想解决问题，辅助线EF∥BC的引出是解题的关键．
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精品试卷·第
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