第四讲：认识三角形（1）
主要内容
三角形的定义
2、三角形的三边关系
3、三角形的分类
二、基本概念
1、三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段．
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
1．如图，图中共有三角形（ ）
A．4个
B．5个
C．6个
D．8个
举一反三：【变式】如图，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．
2、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
（4）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.
（5）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和.
2.
三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是(
)
举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.
(1)
3，4，5；
(2)
3，5，9
；
(3)
5，5，8.
3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.
举一反三：【变式】已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)
3、三角形的分类
1.按角分类：
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形．
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形．
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角．
③等边三角形：三边都相等的三角形.
三、课堂讲解
1．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（
）．
A．2对
B．3对
C．4对
D．6对
2、根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(
)
．
A．6(n-1)
B．6n
C．6(n+1)
D．12n
3、三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成
个不同的三角形.当x为
时，所组成的三角形周长最大.
4、如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．
(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?
(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?
5、在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．
【达标检测】
一、选择题
1．如图，以BC为边的三角形有（ ）个．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
2.已知三角形的三边分别为4，a,8,那么a的取值范围是（
）
A.4＜a＜8
B.1＜a＜12
C.4＜a＜12
D.4＜a＜6
3．有a.b.c.d四根木棒长度分别为4.5.6.9，从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，则可以围成的三角形共有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是(
)
．
A．5m
B．15m
C．20m
D．28m
二、填空题
5.一个等腰三角形的一边是3cm，另一边是7cm
,则这个三角形的周长
是
cm.
6.
△ABC中，AB=9，BC=2，周长是偶数，则AC=______，△ABC是______三角形。
7．若a、b、c表示△ABC的三边长，则|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|＝________．
8．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为
．
三、解答题
9.如图，AD⊥CD，∠E=∠A=41°，求∠EBC的度数。第四讲：认识三角形（1）
主要内容
三角形的定义
2、三角形的三边关系
3、三角形的分类
二、基本概念
1、三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段．
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
1．如图，图中共有三角形（ ）
A．4个
B．5个
C．6个
D．8个
【思路点拨】对比三角形的相关概念分析和思考．
【答案】D．
【解析】解：图中三角形有：△ABC，△ABE，△ACD，△BCF，△BCD，△BCE，△BFD，△CFE，共8个三角形．
【总结升华】本题考查了三角形，注意找的时候要有顺序，也可从小到大找．
举一反三：【变式】如图，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．
【答案】3个,分别是△EAB,
△BAC,
△CAD.
2、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
（4）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.
（5）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和.
2.
三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是(
)
【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值．
【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．
举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.
(1)
3，4，5；
(2)
3，5，9
；
(3)
5，5，8.
【答案】（1）能；
（2）不能；
（3）能.
3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.
【答案】
【总结升华】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│
举一反三：【变式】已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)
【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．
3、三角形的分类
1.按角分类：
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形．
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形．
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角．
③等边三角形：三边都相等的三角形.
三、课堂讲解
1．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（
）．
A．2对
B．3对
C．4对
D．6对
【答案】B
【解析】以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
【总结升华】根据新定义和已学过的知识，全面准确的识图．
2、根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(
)
．
A．6(n-1)
B．6n
C．6(n+1)
D．12n
【答案】C
3、三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成
个不同的三角形.当x为
时，所组成的三角形周长最大.
【答案】三；8
4、如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．
(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?
(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?
【答案与解析】
解：(1)如图，延长BO交AC于点E，
在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，
∴AB+AE+OE+EC＞BE+OC．∵AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．
∴AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．
(2)∵OB+OC＞BC，∴OB+OC＞7．
∵OB+OC＜AB+AC，∴OB+OC＜11，∴7＜OB+OC＜11．
【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．
5、在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．
【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝．
(1)设AB+AD＝12，即，∴x＝8，
∴AB＝AC＝8，∴CD＝4．∴BC＝15-4＝11．
此时AB+AC＞BC，∴三边长为8，8，11．
(2)如图(2)，设AB+AD＝15，即，∴x＝10．
∴AB＝AC＝10，∴CD＝5．∴BC＝12-5＝7．
此时AB+BC＞AC，∴三边长为10，10，7．
综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．
【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．
【达标检测】
一、选择题
1．如图，以BC为边的三角形有（ ）个．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
2.已知三角形的三边分别为4，a,8,那么a的取值范围是（
）
A.4＜a＜8
B.1＜a＜12
C.4＜a＜12
D.4＜a＜6
3．有a.b.c.d四根木棒长度分别为4.5.6.9，从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，则可以围成的三角形共有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是(
)
．
A．5m
B．15m
C．20m
D．28m
二、填空题
5.一个等腰三角形的一边是3cm，另一边是7cm
,则这个三角形的周长
是
cm.
6.
△ABC中，AB=9，BC=2，周长是偶数，则AC=______，△ABC是______三角形。
7．若a、b、c表示△ABC的三边长，则|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|＝________．
8．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为
．
三、解答题
9.如图，AD⊥CD，∠E=∠A=41°，求∠EBC的度数。
【答案与解析】
一、选择题
1.B
2.C
3.C
4.
D
二、填空题
5.17
cm；
6.9，等腰
7.；
8.8．
三、解答题
9.90°，