【单元培优卷】第16章 二次根式 （含解析）

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2020-2021学年人教版七年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第16章二次根式
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·全国八年级）下列式子中是二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·全国八年级）下列二次根式的运算：①，②，③，④；其中运算正确的有（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．（2021·山西九年级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·长沙市望城区郡维学校八年级月考）下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．（2020·浙江九年级）以下关于的说法，错误的是（
）
A．是无理数
B．
C．
D．
6．（2021·全国八年级）从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（+1）□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x不可能是（　　）
A．+1
B．5﹣1
C．﹣2
D．1﹣
7．（2021·全国八年级专题练习）已知，，a与b大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·湖南八年级期末）计算的结果估计在（
）
A．10到11之间
B．9到10之间
C．8到9之间
D．7到8之间
9．（2020·南通市启秀中学八年级月考）把根号外的因式移入根号内，结果为(
)
A．
B．
C．
D．
10．（2021·全国八年级）计算（1﹣）×（+）﹣（1﹣）×（）的结果等于（　　）
A．
B．
C．
D．
11．（2019·湖北省中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．（2021·讷河市初二期中）若化简|1-x|-的结果为2x﹣5，则x的取值范围是（　　）
A．
x为任意实数
B．1≤x≤4
C．x≥1
D．
x≤4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
13．（2021·叙州区双龙镇初级中学校九年级期末）计算：＝_____________．
14．（2021·河南九年级期末）若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是______________．
15．（2021·四川八年级期末）化简：______
16．（2020·浙江七年级期中）把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是_________．
17．（2020·成都市新都区新川外国语学校八年级月考）已知y＝＋＋18，求代数式﹣的值为_____．
18．（2020·浙江杭州市·九年级）已知：，，，则、、的大小关系为
.
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·山东八年级期末）计算
（1）；
（2）
20．（2020·四川天府四中八年级期中）已知．（1）求的值．（2）求的值．
21．（2021·湖南八年级期末）
（1）从计算过程中找出规律，可知
；用含有（是正整）的等式表示上述变化规律
；
（2）利用上述变化规律计算：的值．
22．（2021·江苏八年级期末）（阅读材料）
小慧同学数学写作片段
乘法公式“大家族”
学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如，
；
；
；
．……
（解题运用）（1）在实数范围内因式分解：___________；
（2）设满足等式，求的值；
（3）若正数满足等式，求代数式的值．
23．（2020·南通市启秀中学八年级月考）化简：
（1）
（2）（）
（3）当时，求的值．
24．（2020·山东省烟台第十中学初三期中）阅读下列解题过程：
例：若代数式，求a的取值．
解：原式=，
当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a＝2(舍去)；
当2≤a＜4时,原式＝(a-2)+(4-a)=2=2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝(a-2)+(a-4)=2a－6＝2，解得a=4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简：＝_________；
(2)请直接写出满足＝5的a的取值范围__________；
(3)若＝6，求a的取值．
25．（2020·河南省王店一中初二月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝
，b＝
；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：
＋2
＝（
＋
）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
2020-2021学年人教版七年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第16章二次根式
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·全国八年级）下列式子中是二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的定义进行解答即可．
【详解】A、中，当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、中当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、，恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意；
D、中被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式定义，关键是掌握形如()的式子叫做二次根式．
2．（2021·全国八年级）下列二次根式的运算：①，②，③，④；其中运算正确的有（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】由二次根式的性质、二次根式的混合运算进行计算，再进行判断，即可得到答案．
【详解】解：，故①正确；，故②正确；
，故③正确；，故④错误；∴正确的3个；故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
3．（2021·山西九年级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】把各选项中的数化简后根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A.∵=，∴与是同类二次根式；B.∵=2，∴与不是同类二次根式；
C.∵，∴与不是同类二次根式；D.∵，∴与不是同类二次根式；故选A．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
4．（2020·长沙市望城区郡维学校八年级月考）下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【分析】利用最简二次根式的概念分析得出答案．
【详解】解：①是最简二次根式；②=，不是最简二次根式；
③，不是最简二次根式；④，不是最简二次根式；最简二次根式有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
5．（2020·浙江九年级）以下关于的说法，错误的是（
）
A．是无理数
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】表示求8的算术平方根，而算术平方根是求一个非负数的正的平方根，据此可以得到结果．
【详解】A、是无理数，故A正确．B、表示求8的算术平方根，而算术平方根是求一个非负数的正的平方根，．故B错误．
C、．故C正确．
D、．故D正确．故选B．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义、二次根式的除法及无理数的有关概念，正确的理解算术平方根是解决此题的关键．
6．（2021·全国八年级）从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（+1）□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x不可能是（　　）
A．+1
B．5﹣1
C．﹣2
D．1﹣
【答案】B
【分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．
【详解】解：A、（+1）﹣（+1）＝0，故本选项不合题意；
B、无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；
C、（+1）﹣（﹣2）＝3，故本选项不合题意；
D、（+1）（1﹣）＝﹣2，故本选项不合题意．故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则以及平方差公式是解答本题的关键．（a+b）（a-b）=a2-b2．
7．（2021·全国八年级专题练习）已知，，a与b大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据分母有理化将进行整理即可求解．
【详解】解：，
又，．故选：D．
【点睛】此题主要考查分母有理化的应用，正确掌握分母有理化是解题关键．
8．（2021·湖南八年级期末）计算的结果估计在（
）
A．10到11之间
B．9到10之间
C．8到9之间
D．7到8之间
【答案】D
【分析】先根据二次根式的乘法计算得到原式为，再估算出的范围，即可得出答案．
【详解】解：原式，
∵，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
9．（2020·南通市启秀中学八年级月考）把根号外的因式移入根号内，结果为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由于被开方数，可确定x?1的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．
【详解】解：由已知可得：，∴
，即，
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，由已知得出x?1的取值范围是解答此题的关键．
10．（2021·全国八年级）计算（1﹣）×（+）﹣（1﹣）×（）的结果等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设，原式变形后计算即可求出值．
【详解】解：设a＝，
原式＝（1﹣a）（a+）﹣（1﹣a﹣）×a＝a+﹣a2﹣﹣a+a2+＝．故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的乘除法、分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2019·湖北省中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.
【解析】设，且，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴原式，故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.
12．（2021·讷河市初二期中）若化简|1-x|-的结果为2x﹣5，则x的取值范围是（　　）
A．
x为任意实数
B．1≤x≤4
C．x≥1
D．
x≤4
【答案】B
【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．
【解析】原式可化简为|1-x|-|x-4|，
当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；
当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；
当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；
当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，
据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，故选B．
【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
13．（2021·叙州区双龙镇初级中学校九年级期末）计算：＝_____________．
【答案】2
【分析】利用二次根式分母有理化的方法对原式进行计算．
【详解】解：原式．故答案是：2．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式分母有理化的方法．
14．（2021·河南九年级期末）若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是______________．
【答案】-2
【分析】让被开方数为非负数列式求得x的取值范围，找到最小的整数解即可．
【详解】∵二次根式
有意义，∴2x＋7≥0，解得x≥?3.5，
当x=-3时，二次根式的值为1，不是最简二次根式，不符合题意；
当x=-2时，二次根式的值为，是最简二次根式，
综上所述:若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是-2.故答案为：-2
【点睛】考查二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数．
15．（2021·四川八年级期末）化简：______
【答案】-1
【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的范围，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，即可得到答案．
【详解】由可知，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式化简求值，正确掌握二次根式有意义的条件，二次根式的性质，绝对值的性质是解题关键．
16．（2020·浙江七年级期中）把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是_________．
【答案】16cm
【分析】根据题意分别列出关系式，得出关于图②中两块阴影部分的长和宽，再利用周长公式时行计算，去括号合并即可得到结果．
【详解】解：设小长方形卡片的长为xcm，小长方形卡片的宽为，
根据题意得：
x＝－2，
则图②中两块阴影部分的长分别为：－2和2，宽分别为：2和4－x＝6－，
∴图②中两块阴影部分的周长和是：2（－2＋2）＋2（2＋6－）＝2＋16－2＝16（cm）．故答案为：16cm．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，在解题时要根据题意结合图形得出两块阴影部分的长和宽是解题的关键．
17．（2020·成都市新都区新川外国语学校八年级月考）已知y＝＋＋18，求代数式﹣的值为_____．
【答案】-
【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x＝8，则y＝18，然后代入化简后的代数式求值．
【详解】解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，解得，x＝8，则y＝18，
∵x＞0，y＞0，∴原式＝﹣＝﹣
＝＝﹣
把x＝8，
y＝18代入
原式＝﹣＝2﹣3＝-，故答案为：-．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．
18．（2020·浙江杭州市·九年级）已知：，，，则、、的大小关系为
.
【答案】
【分析】先利用平方差公式进行二次根式的运算，再比较大小即可．
【详解】
即．
【点睛】本题考查了平方差公式、二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·山东八年级期末）计算
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）9．
【分析】（1）先将二次根式化简，再合并计算即可；（2）先利用完全平方公式，二次根式的性质化简，再合并计算即可．
【详解】解：（1）＝＝
（2）＝＝9．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练运用二次根式的运算法则是解题的关键．
20．（2020·四川天府四中八年级期中）已知．（1）求的值．（2）求的值．
【答案】（1）1；（2）2014．
【分析】（1）由，可得，两边平方整理可得，再代入求值即可得到答案；（2）由，，再整体代入求值即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴，，∴，∴．
（2）
，
∴
【点睛】本题考查的是代数式的求值，整式的乘法运算，完全平方公式的运用，二次根式的乘方，掌握以上知识是解题的关键．
21．（2021·湖南八年级期末）
（1）从计算过程中找出规律，可知
；用含有（是正整）的等式表示上述变化规律
；
（2）利用上述变化规律计算：的值．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）按照题中给出的形式直接求解即可；
（2）结合（1）中总结出的规律，逐项化简，再求和即可．
【详解】解：（1），
，
故答案为：，；
（2）原式
【点睛】本题主要考查二次根式分母有理化，能够根据题目所给出的方法进行二次根式的分母有理化是解题关键．
22．（2021·江苏八年级期末）（阅读材料）
小慧同学数学写作片段
乘法公式“大家族”
学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如，
；
；
；
．
……
（解题运用）
（1）在实数范围内因式分解：___________；
（2）设满足等式，求的值；
（3）若正数满足等式，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）12；（3）．
【分析】（1）根据公式即可完成多项式的因式分解；
（2）利用公式法将多项式转化为，求得即可计算出结果；（3）利用公式可将分解为，并再根据完全平方公式将分解结果转化为，再由已知可推出，将其代入化简后的代数式即可得出计算结果．
【详解】解：（1），
故答案为：．
（2），
则，∴∴．
（3）
．
∵，∴，
∴，∴原式．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握因式分解的基本方法，牢记因式分解的相关公式且准确灵活运用公式是解题的关键．
23．（2020·南通市启秀中学八年级月考）化简：
（1）
（2）（）
（3）当时，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把2和5看作和，然后把被开方数化简成完全平方式的形式，再去根号即可．
（2）根据x的范围，得出，然后把被开方数化简成完全平方式的形式，再去根号，合并同类项即可．（3）首先把a的值化简，再把化简，然后把a的值代入计算即可．
【详解】（1）．
（2）∵，∴，∴，，
∴
．
（3）∵
∴
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及化简求值，关键是开放数的结果为非负数，即，当为非负数时等于它本身，当为负数时，等于它的相反数．
24．（2020·山东省烟台第十中学初三期中）阅读下列解题过程：
例：若代数式，求a的取值．
解：原式=，
当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a＝2(舍去)；
当2≤a＜4时,原式＝(a-2)+(4-a)=2=2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝(a-2)+(a-4)=2a－6＝2，解得a=4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简：＝_________；
(2)请直接写出满足＝5的a的取值范围__________；
(3)若＝6，求a的取值．
【答案】（1）4；（2）；（3）或4
【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案；（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
【解析】解：（1）∵时，∴，
∴===；故答案为：4；
（2）由题意可知，，∴，
当时，则，，∴原式=，解得：；
当时，则，，∴原式=，∴符合题意；
当时，则，，∴原式=，解得：；
∴满足＝5的a的取值范围是；故答案为：；
（3）∵，∴，
当时，则，，∴原式=，解得：；
当时，则，，∴原式=，∴不符合题意；
当时，则，，∴原式=，解得：；
∴a的值为：或4；
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质，化简绝对值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简，本题属于中等题型．注意运用分类讨论的思想进行分析．
25．（2020·河南省王店一中初二月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝
，b＝
；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：
＋2
＝（
＋
）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）m2＋3n2，2mn；（2）4,，1
,（答案不唯一）；（3）7或13．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）取m=2，n=1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a=m2+3n2，2mn=4和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解析】解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn，故答案为：m2＋3n2，2mn；
（2）取m=2，n=1，则a=7，b=4，∴7+4=（2+）2，故答案为：4,，1
,（答案不唯一）；
（3）a=m2+3n2，2mn=4，∵a、m、n均为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2，
当m=2，n=1时，a=4+3=7，当m=1，n=2时，a=1+3×4=13，∴a的值为7或13．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及阅读理解问题，正确理解题意并掌握基本运算法则是解题的关键．
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精品试卷·第
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