2020-2021学年人教版数学八年级下册 18.2.2 菱形的判定 课件 （54张）

第十八章
18.2.4 菱形的判定
人教版数学八年级下册
A
B
C
D
O
(1)菱形具有平行四边形的一切性质；
(2)菱形的四条边都相等；
(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角
线平分一组对角；
菱形的性质
复习旧知
同学们，我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？
菱形的判定
导入新知
学习目标
1.掌握菱形的判定方法.
2.探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．
1
知识点
由对角线的位置关系判定菱形
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？
根据定义得：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
合作探究
平行四边形
菱形
一组邻边相等
还有其它的方法吗？
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形. 转动木条，这个四边形什么时候变成菱形?
猜想一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
证明：
判定一：对角线互相垂直的平行四形是菱形.
D
C
B
A
已知：在 ABCD中有对角线AC⊥BD，
且相交于点O
求证： ABCD是菱形
∵四边形ABCD是平行四边形. ∴BO=DO
又∵AO=AO，∠AOD=∠AOB
∴△AOD≌△AOB. ∴AD=AB
∴ ABCD是菱形
O
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
提示：此方法包括两个条件——
(1)是一个平行四边形；
(2)两条对角线互相垂直.
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
新知小结
例1 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且
AB=5，AO=4，BO=3.求证： □ ABCD 是菱形.
∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形，
AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形.
证明：
证明一个四边形是菱形的方法：
若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要
考虑证明这个四边形是平行四边形．
新知小结
1
如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构 成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
四边形ABCD是一个菱形．
理由：由题意易得
AB＝BC＝CD＝AD，
所以四边形ABCD是菱形．
解：
巩固新知
2
【2016·海南】如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD与AC交于点O，AB∥CD，则下列结论：
①AC⊥BD；②AD∥ BC；
③四边形 ABCD 是菱形；
④△ABD≌△CDB.
其中正确的是____________(只填写序号).
①②③④
3
【2017·泰安】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
D
2
知识点
由边的数量关系判定菱形
我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边
相等的四边形是菱形吗?
思考
合作探究
例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中
点．试说明：四边形EFGH是菱形．
由于点E，F，G，H分别是AD，BD，
BC，AC的中点，可知EH，HG，
GF，FE分别是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD
的中位线，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，
根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形
EFGH是菱形．
导引：
∵点E，H分别为AD，AC的中点，
∴EH为△ACD的中位线，∴EH＝ CD.
同理可证：EF＝ AB，FG＝ CD，HG＝ AB.
∵AB＝CD，
∴EH＝EF＝FG＝HG，
∴四边形EFGH是菱形．
解：
有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明
四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也
可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组
邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试．
新知小结
要证明一个四边形是菱形，
一般先证明它是平行四边
形，再证明它的一组邻边
相等或对角线互相垂直．
例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC
交BC于点D，CH⊥AB于点H，交AD于点F，DE⊥
AB于点E，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的
理由．
导引：
四边形CDEF是菱形．理由如下：
∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE，∠4＋∠5＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，DC⊥AC.
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴∠3＝∠4，DC＝DE，∴∠2＝∠5.
又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2.
∴CF＝CD，∴CF＝DE，即CF DE.
∴四边形CDEF是平行四边形．
又∵DC＝DE，∴四边形CDEF是菱形．
∥
＝
解：
判定菱形的方法：
①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，
再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角
线互相垂直平分；
②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再
证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都
相等．
新知小结
一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什 么？求出它的面积.
1
这是一个特殊的平行四边形，是菱形．
如图，在平行四边形ABCD中，
AB＝9，BD＝12，AC＝
所以OB＝OD＝6，
OA＝OC＝
解：
巩固新知
因为62＋( )2＝92，即OB2＋OA2＝AB2，
所以△AOB是直角三角形，
所以AO⊥BO，即AC⊥BD，
所以平行四边形ABCD是菱形．
S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×6 ×12＝36 .
2
如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是(　　)
A．BA＝BC
B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
B
3
【2017·河南】如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有(　　)
A．AC⊥BD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．∠1＝∠2
C
4
【2016·雅安】如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC ＝24 cm，则四边形ABCD的周长为 (　　)
A．52 cm　
B．40 cm
C．39 cm
D．26 cm
A
5
如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.如果AE＝4 cm，那么四边形AEDF的周长为(　　)
A．12 cm
B．16 cm
C．20 cm
D．22 cm
B
6
如图，分别以Rt△ABC的斜边AB和直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠BAC＝30°.给出以下结论：
①EF⊥AC；　　　
②四边形ADFE为菱形；
③AD＝4AG; ④FH＝ BD.
其中正确的结论是(　　)
A．①②③　 B．①②④　 C．①③④　 D．②③④
C
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
归纳新知
互相垂直
四边形
课后练习
C
D
【答案】C
一组邻边相等
四边形
C
A
B
C
【答案】D
再 见