人教版七年级数学下册6.1平方根 教案(含2课时)

第六章　实数
6．1　平方根
第1课时　算术平方根
【课标要求】
知识与技能
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算或计算器求某些非负数的算术平方根．
过程与方法
通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维．
情感态度价值观
通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和学习兴趣．
【教学重难点】
重点：理解算术平方根的概念．
难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
教师出示下列问题1，并引导学生分析．问题1由学生直接给出结果．
问题1　求出下列各数的平方．
1，0，(－1)，－1/3，3，1/2.
问题2　下列各数分别是某实数的平方，请求出某实数．
25，0，4，4/25，1/144，－1/4，1.69.
对学生进行提问，针对学生可能会得出的一个值，由学生互相交流指正，再由教师指明正确的考虑方式．
由于52＝25，(－5)2＝25，故平方为25的数为5或－5.
02＝0，故平方为0的数为0.
22＝4，(－2)＝4，故平方为4的数为2或－2.
(－)2＝，()2＝，故平方为的数为±.
(±)2＝，故平方为的数为±.
对于－这个数，没有实数的平方等于它，故平方为－的实数不存在．
(±1.3)2＝1.69，故平方为1.69的数是±1.3
问题3　学校要举行美术比赛，小壮想在一块面积为25 dm2的正方形画布画一幅画，这块画布的边长应取多少？
分析：本题实质是要求一个平方后得25的数，由上面的讨论可知这个数为±5，但考虑正方形的边长不能为负数，所以正方形边长应取5 dm.
【思考探究，获取新知】
教师归纳出新定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”，a叫作被开方数．
规定：0的算术平方根是0.
例1求下列各数的算术平方根．
(1)(－3)2；(2)1；(3)0；(4).
分析：正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根．
解：(1)因为32＝9＝(－3)2，所以(－3)2的算术平方根是3，即＝3.
(2)因为()2＝＝1，
所以1的算术平方根是，即＝.
(3)因为0的算术平方根是0，故＝0.
(4)因为是81的算术平方根9，而9的算术平方根是3，所以的算术平方根是3.
教学说明
(1)算术平方根是非负数，要注意不要弄错算术平方根的符号．如：不要把＝3写成＝－3；(2)要审清题意，不要被表面现象迷惑．如求81的算术平方根，错误地理解为求81的算术平方根.
探究：当a为负数时，a2有没有算术平方根？其算术平方根与a有什么关系？举例说明所得结论．
教学指导
当a为负数时，a2为正数，故a2有算术平方根，如a＝－5时，a2＝(－5)2＝25，＝＝5，5是－5的相反数，故a<0时，a2的算术平方根与a互为相反数，表示为－a.
当a2为正数时，a的算术平方根表示为，其值为a，即＝a.当a＝0时，＝0.
综上所述，＝|a|＝
教学说明
应用上述结论解题时，可如例题的解答写出过程，熟练后再直接写出结果．对结果的讨论，可以检验学生是否真正理解了算术平方根的含义．学生中出现的问题，可由学生间交流讨论．
教师向学生介绍用计算器求算术平方根的方法，并由学生实际运用，体会方法．
【运用新知，深化理解】
1．“的算术平方根是”用数学式子表示为(　A　)
A.＝ B.＝±
C．±＝ D.＝
2．计算的结果是(　A　)
A．5 B．－5 C．±5 D．25
3．下列各式中无意义的是(　D　)
A．－ B.
C. D.
4．求下列各式的值．
(1)；(2)；
(3)－；(4).
解：(1)＝1.2
(2)＝＝0.1
(2)－＝0.9－0.2＝0.7
(4)＝＝
教学说明
学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知．
【师生互动，课堂小结】
1．读一读本节课学习的主要内容，说出平方根与平方的关系．
2．算术平方根的意义是什么样的？
3．怎样求一个正数的算术平方根？
教学说明
小组间学生互相交流并总结．
【课后作业】
1．布置作业：从教材“习题6.1”中选取．
2．完成练习册中本课时的练习．
【教学反思】
本课时采用观察、思考、讨论等探究活动归纳得出相应结论，使学生感受到算术平方根的概念与以前学过的求一个数的平方之间的联系．教学时应注意让学生通过探究活动经历一个由特殊到一般的认识过程，从而更好地接受新知识．
第2课时　平方根
【课标要求】
知识与技能
1．掌握平方根的概念，明确平方根与算术平方根之间的联系与区别．
2．能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系．
过程与方法
通过探索平方根与算术平方根的区别与联系，学会用算术平方根解决平方根的问题．
情感态度价值观
通过对平方根的学习，培养学生从多方面，多角度分析问题，解决问题的思想意识，养成全面分析问题的习惯．
【教学重难点】
重点：平方根的概念和求一个数的平方根．
难点：平方根和算术平方根的联系与区别．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
问题　已知一个数的平方等于16，这个数是多少？如何表示这个数呢？
【教学分析】
由于42＝16，(－4)2＝16，故平方等于16的数有两个：4和－4，把4和－4叫做16的平方根，记为4＝，则－4＝－，把4和－4称为16的平方根．
提出平方根定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即若x2＝a，则x为a的平方根，记为x＝±.
【思考探究，获取新知】
把求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，而平方运算与开平方运算互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根．
例1　求下列各数的平方根和算术平方根．
(1)；(2)0.000 4；(3)(－6)2；(4)256.
分析：一个正数的平方根有两个，且互为相反数，其中正的平方根为算术平方根．可根据平方与开平方的互逆关系，通过平方运算求一个数的平方根．
解：(1)因为(±)2＝，
所以的平方根是±，的算术平方根是.
(2)因为(±0.02)2＝0.0004，所以0.000 4的平方根是±0.02，它的算术平方根是0.02.
(3)因为(－6)2＝36，故±＝±6，＝6.
(4)因为(±16)2＝256，故±＝±16，＝16.
教学说明
一个正数的平方根有两个，不要丢掉其中负的平方根，算术平方根是其中的一个正平方根，不要弄错了符号．求平方根时一定要把所求的数化成x2的形式，同时注意正数有两个平方根．
例2　计算下列各题．
(1)；(2)±；(3)－；(4).
分析：(1)就是求484的算术平方根；(2)是求12的平方根，可把带分数化成假分数；(4)应先求出被开方数的大小．
解：(1)＝＝22.
(2)±＝±＝±.
(3)－＝－4.5.
(4)＝＝＝89.
教学说明
提醒学生注意分清每个算式的符号(包括性质符号)．
例3　求下列各式的值．
(1)·；
(2)－－.
分析：先要弄清每个符号表示的意义，并注意运算顺序．
解：(1)原式＝·＝7×5＝35.
(2)原式＝－×0.6－×30＝－0.2－6＝－1.7.
教学说明
(1)混合运算的运算顺序是先算开平方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学时可根据平方根，算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据＝a(a>0)来解．
例4　求下列各式中的x.
(1)x2－361＝0；(2)(x＋1)2＝289；(3)9(3x＋2)2－64＝0.
分析：表面上本题是求方程的解，但实质上可理解为求平方根，用开平方求出x值；(2)中(x＋1)、(3)中(3x＋2)看作一个整体，求出它们后，再求x.
解：(1)∵x2－361＝0，∴x2＝361.
∴x＝±，即x＝±19.
(2)∵(x＋1)2＝289，∴x＋1＝±，即x＋1＝±17.当x＋1＝17时，x＝16；当x＋1＝－17时，x＝－18.
(3)∵9(3x＋2)2＝64，∴(3x＋2)2＝.
∴3x＋2＝±，即3x＋2＝±.
当3x＋2＝时，x＝；
当3x＋2＝－时，x＝－.
例5　某建筑工地，用一根钢筋围成一个面积是25 m2的正方形后还剩下7 m，你能求出这根钢筋的长度吗？
分析：先求出面积是25 m2的正方形需用的钢筋长度，然后再求出这根钢筋的总长度．
解：正方形的边长为5 m，钢筋的长度为27 m.
教学说明
在实际问题中要注意正方形的面积与边长的关系即一个正数与它的算术平方根的关系．
【运用新知，深化理解】
1.的平方根是　±__，1的平方根是 ± .
2．81的算术平方根的相反数为 －9 .
3．若|a－2|＋＝0，则a2－2b＝ －2 .
4．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是(　C　)
A．1 B．－1 C．0 D．1，0
5．要使有意义，则a的取值范围是(　D　)
A．a>0 B．a≥0 C．a>－4 D．a≥－4
6．求下列各式的值．
(1)＋；(2)＋5；
(3)；(4)1－；
(5)×；(6).
教学说明
学生自主完成，教师巡视，然后集体订正．
【师生互动，课堂小结】
根据下列问题梳理所学知识，学生交流．
问题：1.什么叫一个数的平方根？
2．正数，0，负数的平方根有什么规律？
3．怎样求出一个数的平方根？数a的平方根怎样表示？
【课后作业】
1．布置作业：从教材“习题6.1”中选取．
2．完成练习册中本课时的练习．
【教学反思】
本课时教学重在挖掘平方根与算术平方根间的区别与联系，通过实例训练引导学生认识新知识，形成计算能力．