3．3.2 均匀随机数的产生
内 容 标 准
学 科 素 养
1.能用模拟方法估计事件的概率.2.设计科学的试验来估计概率.
提升数学运算应用直观想象
授课提示：对应学生用书第63页
[基础认识]
知识点 均匀随机数的产生
预习教材P137－140，思考并完成以下问题
在古典概型中我们可以利用(整数值)随机数来模拟古典概型的问题，那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能，我们又如何产生随机数呢？
(1)几何概型的含义是什么？它有哪两个基本特点？
提示：含义：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例的概率模型．
特点：①可能出现的结果有无限多个；②每个结果发生的可能性相等．
(2)我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，如何利用计算器产生0～1之间的均匀随机数？如何利用计算机产生0～1之间的均匀随机数？
提示：用计算器产生0～1之间的均匀随机数的方法见教材；用计算机的方法如下：用Excel演示．
①选定A1格，键入“＝rand()”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的[0，1]上的均匀随机数；
②选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2～A100，点击粘贴，则在A1～A100的数都是[0，1]上的均匀随机数．这样我们就很快就得到了100个0～1之间的均匀随机数，相当于做了100次随机试验.
知识梳理 1.均匀随机数的产生
(1)计算器上产生[0，1]的均匀随机数的函数是RAND函数．
(2)Excel软件产生[0，1]区间上均匀随机数的函数为“rand(____)”．
2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
(2)计算机模拟的方法：用Excel的软件产生[0，1]区间上均匀随机数进行模拟，注意操作步骤．
[自我检测]
1．在区间(10，20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵a∈(10，13)，∴P(a<13)＝＝.
答案：C
2．在边长为2的正方形当中，有一个封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒入100粒豆子，恰有60粒豆子落入阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为__________．
解析：设阴影区域的面积为S，则≈，S≈.
答案：
授课提示：对应学生用书第64页
探究一 用随机模拟法估计长度型的概率
[例1] 取一根长度为5
m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2
m的概率有多大？
[解析] 设剪得两段的长都不小于2
m为事件A.
法一：(1)利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND；
(2)作伸缩变换：y＝x
(5－0)，转化为[0，5]上的均匀随机数；
(3)统计出[2，3]内均匀随机数的个数m；
(4)则概率P(A)的近似值为.
法二：(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[0，5](这里5和0重合)；
(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2，3]内(表示剪断绳子位置在[2，3]范围内)的次数m及试验总次数n；
(3)则概率P(A)的近似值为.
方法技巧 用均匀随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．法一用计算器或计算机产生随机数，法二是用转盘产生随机数．
跟踪探究 1.假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：
(1)小燕比小明先到校；
(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．
解析：记事件A“小燕比小明先到校”；记事件B“小燕比小明先到校且小明比小军先到校”．
①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND，c＝RAND分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；
②统计出试验总次数N及其中满足b＜c的次数N1，满足b＜c＜a的次数N2；
③计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，即分别为事件A，B的概率的近似值．
探究二 用随机模拟法估计面积型的概率
[阅读教材P137例2]假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？
[例2] 解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16
m，宽为14
m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为5
m，2
m，1
m．若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
[解析] 设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．
(1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8，8]与[－7，7]上的均匀随机数．
(3)统计满足－8＜a＜8，－7＜b＜7的点(a，b)的个数N.满足1＜a2＋b2＜4的点(a，b)的个数N1.
(4)计算频率fn(A)＝，即为所求概率的近似值．
方法技巧 一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量(如本例中的x，y)来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型．
跟踪探究 2.如图在一个边长为3
cm的正方形内部画一个边长为2
cm的正方形，向大正方形内随机投点，利用随机模拟的方法求所投的点落入小正方形内的概率．
解析：记事件A＝{所投点落入小正方形内}．
(1)用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝a1
3－1.5，b＝b1
3－1.5，得[－1.5，1.5]上的均匀随机数．
(3)统计落入大正方形内点数N(即上述所有随机数构成的点(a，b)数)及落入小正方形内的点数N1(即满足－1
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．
探究三 利用随机模拟试验估计不规则图形的
面积
[例3] 如图所示，曲线y＝x2与y轴、直线y＝1围成一个区域A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)．
[解析] 法一：我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据≈，即可求区域A面积的近似值．例如，假设撒1
000粒豆子，落在区域A内的豆子数为700，则区域A的面积S≈＝0.7.
法二：对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：
第一步，产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x，y)的坐标．如果一个点的坐标满足y≥x2，就表示这个点落在区域A内．
第二步，统计出落在区域A内的随机点的个数M与落在正方形内的随机点的个数N，可求得区域A的面积S≈.
方法技巧 1.利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率．
2．随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算器或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．
跟踪探究 3.利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y＝x3和x＝2以及x轴所围成的部分)的面积．
解析：(1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，a＝2a1，b＝8b1；
(3)统计出试验总次数N和落在阴影部分(满足b＜a3)点(a，b)的个数N1；
(4)计算频率就是点落在阴影部分的概率的近似值；
(5)设阴影部分的面积为S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为，所以＝，所以S≈，即为阴影部分面积的近似值．
授课提示：对应学生用书第65页
[课后小结]
随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算机或计算器模拟试验，首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．我们可以从以下几个方面考虑：
(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数．如长度、角度型只用一组，面积型需要两组．
(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围．
(3)由事件A发生的条件确定随机数所满足的关系式．
[素养培优]
对随机变换公式理解不清致误
用计算器或计算机产生20个0～1之间的随机数x，但是基本事件都在区间[－1，3]上，则需要经过的变换是( )
A．y＝3x－1
B．y＝3x＋1
C．y＝4x＋1
D．y＝4x－1
易错分析 (1)不考虑区间长度，因区间右端值为3，而x变为3x，导致选A.
(2)在平移变换中，变错方向而写成4x＋1，导致选C.
自我纠正 因为随机数x∈[0，1]，而基本事件都在[－1，3]上，其区间长度为4，所以首先把x变为4x，又因区间左端值为－1，所以4x再变为4x－1，故变换公式为y＝4x－1.
PAGE3．1 随机事件的概率
3．1.1 随机事件的概率
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解事件的分类及随机事件发生的不确定性和其概率的稳定性.2.理解频率与概率的联系与区别.3.能初步举出重复试验的结果.
发展数学抽象提示逻辑推理应用数据分析
授课提示：对应学生用书第47页
[基础认识]
知识点一 事件的概念与分类
预习教材P108，思考并完成以下问题
(1)在山顶上，抛一块石头，石头下落；
(2)在常温下，铁熔化；
(3)掷一枚硬币，出现正面向上．
以上3个事件中，哪一个是确定会发生的？哪一个是确定不会发生的，哪一个是有可能发生也有可能不发生的？
提示：(1)确定会发生；(2)确定不会发生；(3)可能发生也可能不发生．
知识梳理 1.确定事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称为必然事件；在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称为不可能事件．必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称为确定事件．
2．随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称为随机事件．
3．事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．
4．分类：事件
知识点二 频数与频率
预习教材P110，思考并完成以下问题
请班内四位同学依次、分别抛掷一枚硬币20次，其它同学观看并且记录硬币正面朝上的次数．
(1)比较他们的结果一致吗？为什么会出现这样的情况？
提示：通过实际比较可知一致的可能性小，因为抛掷硬币是随机事件，在每一次抛掷前不知道抛掷后会出现什么结果，因此四位同学的结果一致的可能性比较小．
(2)历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：
抛掷次数
正面向上的次数
正面向上的比例
2
048
1
061
0.518
1
4
040
2
048
0.506
9
12
000
6
019
0.501
6
24
000
12
012
0.500
5
30
000
14
984
0.499
5
72
088
36
124
0.501
1
在上述抛掷硬币的试验中，你会发现怎样的规律？
提示：当试验次数很多时，出现正面的比例在0.5附近摆动.
知识梳理 1.频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率，其取值范围是[0，1]．
2．概率
随机事件发生可能性的大小用概率来度量，概率是客观存在的．对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可用频率fn(A)来估计概率P(A)．
[自我检测]
1．下列事件中，是随机事件的有( )
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆．
②若a为整数，则a＋1为整数．
③发射一颗炮弹，命中目标．
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然事件，其余3个均为随机事件．
答案：C
2．下列事件是确定事件的是( )
A．2022年世界杯足球赛期间不下雨
B．没有水，种子发芽
C．对任意x∈R，有x＋1＞2x
D．抛掷一枚硬币，正面向上
解析：选项A，C，D均是随机事件，选项B是不可能事件，所以也是确定事件，故选B.
答案：B
3．某射击运动员射击20次，恰有18次击中目标，则该运动员击中目标的频率是__________．
解析：设击中目标为事件A，则n＝20，nA＝18，
则f20(A)＝＝0.9.
答案：0.9
授课提示：对应学生用书第48页
探究一 事件类型的判断
[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
(3)若x∈R，则x2＋1≥1.
(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
[解析] 由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．
方法技巧 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
跟踪探究 1.给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；③“2020年的国庆节是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：“2020年的国庆节是晴天”是随机事件，故命题③错误，命题①②④正确．故选B.
答案：B
探究二 试验结果的列举
[例2] 某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
[解析] (1)当x＝1时，y＝2，3，4；当x＝2时，y＝1，3，4；当x＝3时，y＝1，2，4；当x＝4时，y＝1，2，3.因此，这个试验的所有结果是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)}．
方法技巧 1.准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础．
2．在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
跟踪探究 2.袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；
(2)从中任取2球．
解析：(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．
探究三 随机事件的频率与概率
[例3] 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值．
[解析] (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
方法技巧 1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率．
2．解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
延伸探究 1.若本例变为：某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数n
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数nA
81
95
120
81
119
127
121
(1)求各次击中飞碟的频率；(保留三位小数)
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
解析：(1)计算得各次击中飞碟的频率依次约为0.810，0.792，0.800，0.810，0.793，0.794，0.807.
(2)由于这些频率非常地接近0.800，且在它附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0.800.
2．本例条件不变，记C为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费的150%”，求P(C)的估计值．
解析：事件C发生当且仅当一年内出险次数大于或等于4，由表中数据知，一年内出险次数大于或等于4的频率为＝0.15，
故P(C)的估计值为0.15.
授课提示：对应学生用书第49页
[课后小结]
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
3．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
[素养培优]
1．不能正确理解试验结果导致解题错误
先后抛掷两枚质地均匀的硬币，则：
(1)一共可能出现多少种不同的结果？
(2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？
(3)出现“一枚正面，一枚反面”的概率是多少？
易错分析 将“一正，一反”与“一反，一正”两种情形错认为是一种情形，若在题干中强调了“先后”“依次”“顺序”“前后”就必须注意顺序问题．
自我纠正 (1)一共可能出现“两枚正面”“两枚反面”“第一枚正面，第二枚反面”“第一枚反面，第二枚正面”四种情况．
(2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有2种．
(3)出现“一枚正面，一枚反面”的概率为.
2．频率与概率概念不清
把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1
000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，求掷一次硬币正面朝上的概率．
错解 由题意，根据公式fn(A)＝＝＝0.498，故掷一次硬币正面朝上的概率是0.498.
易错分析 错解混淆了频率与概率的概念，0.498仅是正面朝上的概率的估计值，不能把0.498看成概率．
自我纠正 通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率在常数0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率为0.5.
PAGE3．1.2 概率的意义
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过实例进一步理解概率的意义.2.能用概率的意义解释生活中的事例.3.了解概率在其他领域中的统计规律.
提升数学运算发展数据分析应用数学抽象
授课提示：对应学生用书第50页
[基础认识]
知识点 概率的意义
预习教材P113－118，思考并完成以下问题
经市场抽检，质检部门得知市场上的食用油合格率为80%，现将对市场上的100个品牌的食用油进行检查．
(1)这100个品牌的食用油一定有20个不合格，对吗？
提示：不对．
(2)这100个品牌的食用油可能有20个不合格，对吗？
提示：对．
(3)以你对合格率的理解，这100个品牌的食用油，不合格的应有多少个？
提示：可能有20个，也可能一个也没有．
知识梳理 1.对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．
2．实际问题中几个实例
(1)游戏的公平性
①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．
②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．
(2)决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．
(3)天气预报的概率解释
天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，其指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小．
(4)试验与发现
概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔利用豌豆所做的试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律．
(5)遗传机理中的统计规律
孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系．
[自我检测]
1．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是( )
A．若他投100次，一定有50次投中
B．若他投一次，一定投中
C．他投一次投中的可能性大小为50%
D．以上说法均错
解析：概率是指一件事情发生的可能性大小．
答案：C
2．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有( )
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定
解析：随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．
答案：D
3．事件A发生的概率是，则表示的__________．
解析：根据概率的含义知表示的是事件A发生的可能性大小．
答案：事件A发生的可能性的大小
授课提示：对应学生用书第51页
探究一 对概率的理解
[例1] 经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由．
[解析] 这种解释不正确，原因如下：
因为“投篮命中”是一个随机事件，90%是指此事件发生的概率，即每次投篮有90%命中的把握，但就一次投篮而言，也可能不发生，也可能发生，并不是说投100次必中90次．
方法技巧 1.概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
2．由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
跟踪探究 1.某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%?
解析：不一定．如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能不能治愈．
2．经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，已知他连续投篮5次均未投中，那么下次投篮的命中率一定会大于90%，这种理解对吗？
解析：这种理解不正确．此运动员命中率为90%，是他每次投中的可能性，但对于每一次投篮，其结果都是随机的，他连续5次未中是有可能的，但对下一次投篮而言，其命中率仍为90%，而不会大于90%.
探究二 游戏的公平性
[例2] 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
[解析] 该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
方法技巧 游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平；否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
跟踪探究 3.玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？
解析：两枚硬币落地共有四种结果：
正，正；正，反；反，正；反，反．
由此可见，她们两人得到门票的概率都是，所以公平．
探究三 概率的应用
[例3] 为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2
000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．
[解析] 设水库中鱼的尾数是n，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝{带记号的鱼}，则P(A)＝.
第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P(A)≈，即≈，解得：n≈25
000.
所以估计水库中的鱼有25
000尾．
方法技巧 1.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
2．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．
跟踪探究 4.某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩戴胸卡的学生的名字．结果，150名学生中有60名佩戴胸卡．第二次检查，调查了初中部的所有学生，有500名学生佩戴胸卡．据此估计该中学初中部一共有多少名学生．
解析：设初中部有n名学生，依题得＝，解得n＝1
250.∴该中学初中部共有学生大约1
250名．
授课提示：对应学生用书第52页
[课后小结]
1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只能认为事件发生的可能性大．
2．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养．
[素养培优]
1.
不理解概率的意义致误
已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是( )
A．合格产品少于9件
B．合格产品多于9件
C．合格产品正好是9件
D．合格产品可能是9件
易错分析 因不理解概率的意义而错选C.
自我纠正 一个事件的概率是通过大量的重复试验得到的，其反映了该随机事件发生的可能性大小，因此在本题中“抽出10件产品”相当于做了10次试验，而每次试验结果可能是正品，也可能是次品．故只有D正确．
答案：D
2．游戏公平性的判断
下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球．
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
若从袋中无放回地取球，则其中不公平的游戏是__________．
易错分析 游戏1中取2个球的所有可能情况有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)，所以甲
胜的概率为，所以游戏1是不公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性是0.5，游戏是公平的；游戏3中取2个球的所有可能情况有(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)，所以甲胜的可能性为，游戏是不公平的．错误的原因是游戏1中取两球的情况漏掉了(黑2，黑3)的情况．
自我纠正 游戏1中，取两球的所有可能情况是(黑1，黑2)(黑1，黑3)(黑2，黑3)(黑1，白)(黑2，白)(黑3，白)，所以甲胜的概率为，游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的概率为，游戏是公平的；游戏3中，取两球的所有可能情况是(黑1，黑2)(黑1，白1)(黑2，白1)(黑1，白2)(黑2，白2)(白1，白2)，甲胜的概率为，游戏是不公平的．
答案：游戏3
PAGE3．1.3 概率的基本性质
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解事件间的包含关系和相等关系.2.理解互斥事件和对立事件的概念及关系.3.了解两个互斥事件的概率加法公式.
提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象
授课提示：对应学生用书第53页
[基础认识]
知识点一 事件的关系与运算
预习教材P119－120，思考并完成以下问题
一袋中有2个红球，2个白球，从中摸出两个球，记“摸出的两球是红球”为事件A，“摸出的两球是白球”为事件B，“摸出的两球是一红一白”为事件C，“摸出的两球至少一个红球”为事件D，“摸出的两球至少有一个白球”为事件E.
(1)若事件A发生，事件D发生吗？它们是什么关系？
提示：事件A发生，则事件D一定发生，它们是包含关系．
(2)若事件C发生，则事件D会发生吗？事件A，C，D之间有何关系？
提示：事件C发生，则事件D一定会发生；事件D包含事件A和事件C两个事件．
(3)若事件C发生，那么事件E会发生吗？事件C，D，E又有何关系？
提示：若事件C发生，那么事件E一定会发生；事件D、事件E均包含事件C.
(4)事件A与事件B能同时发生吗？事件A与事件E能同时发生吗？事件A与事件E的并事件是什么事件？交事件又是什么事件？
提示：事件A与事件B不能同时发生；事件A与事件E也不能同时发生；A∪E是必然事件；A∩E是不可能事件．
知识梳理 1.事件的关系：
定义
表示法
图示
包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等关系
A?B且B?A
A＝B
事件互斥
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝?
事件对立
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝?且A∪B＝U
2.事件的运算：
定义
表示法
图示
并事件
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
知识点二 概率的基本性质
知识梳理 1.概率的取值范围：[0，1]．
2．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．
3．概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
4．若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0．
思考 若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B是否一定对立？试举例说明．
提示：事件A与事件B不一定对立．例如：抛掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝＋＝1.当出现2点时，事件A与事件B同时发生，所以事件A与事件B不互斥，显然也不对立．
[自我检测]
1．同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有( )
A．M?N B．M?N
C．M＝N
D．M＜N
解析：事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反．则当M发生时，事件N一定发生，则有M?N.故选A.
答案：A
2．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为__________．
解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
答案：0.65
授课提示：对应学生用书第54页
探究一 事件关系的判断
[例1] 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
[解析] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
方法技巧 1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．
2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．
跟踪探究 1.从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)至少有1个白球，都是白球；
(2)至少有1个白球，至少有一个红球；
(3)至少有一个白球，都是红球．
解析：(1)不是互斥事件，因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件．
(2)不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是互斥事件．
(3)是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件．
探究二 事件的关系及运算
[例2] 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
[解析] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球，故C∩A＝A.
方法技巧 进行事件运算应注意的问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
跟踪探究 2.掷一枚骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．
求：(1)A∩B，B∩C；
(2)A∪B，B＋C；
(3)记是事件H的对立事件，求，∩C，∪C，＋.
解析：(1)A∩B＝?，B∩C＝{出现2点}．
(2)A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，B＋C＝{出现1，2，4或6点}．
(3)＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；
∩C＝BC＝{出现2点}；
∪C＝A∪C＝{出现1，2，3或5点}；
＋＝{出现1，2，4或5点}．
探究三 互斥事件与对立事件的概率公式及应用
[阅读教材P121例]如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是，取到方块(事件B)的概率是，问：
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？
方法步骤：
第一步，判断事件间的关系；
第二步，若是互斥事件，使用加法公式；
第三步，若是对立事件，利用间接法求解．
[例3] 在数学考试中，小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；
(2)小明数学考试及格的概率．
[解析] 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)法一：小明数学考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.
方法技巧 1.互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
3．当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
延伸探究 本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率．
解析：分别记小明的成绩“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“在60分以下”为事件A、B、C、D、E，则这五个事件彼此互斥．
∴小明成绩在80分以下的概率是：
P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.
授课提示：对应学生用书第55页
[课后小结]
1．要注意互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生；(2)事件A不发生且事件B发生；(3)事件A与事件B同时不发生．而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件B发生且事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．
2．关于概率的加法公式：
(1)使用条件：A、B互斥．
(2)推广：若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(3)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．
[素养培优]
不能区分事件是否互斥而出现错误
抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)．
错解 设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，则它们两两是互斥事件，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3.
P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝.
则P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝＋＋＝.
P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝＋＋＝.
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1.
易错分析 错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解．
自我纠正 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4.
故P(A∪B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.
PAGE3．2 古典概型
3．2.1 古典概型
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解基本事件的特点，理解古典概型的定义.2.会判断古典概型，会用古典概型的概率公式解决问题.
提升数学运算发展逻辑推理应用数学建模
授课提示：对应学生用书第56页
[基础认识]
知识点一 古典概型的概念
预习教材P125－126，思考并完成以下问题
抛掷两枚质地均匀的硬币．
(1)有哪几种可能结果？
提示：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．
(2)上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件．在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？
提示：由于任何两种结果都不可能同时发生，所以它们的关系是互斥关系．
知识梳理
基本事件
古典概型
特点
任何两个基本事件是互斥的
试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
每个基本事件出现的可能性相等
知识点二 古典概型的概率公式
预习教材P126－127，思考并完成以下问题
在抛掷硬币试验中，如何求正面朝上及反面朝上的概率？
提示：出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)．
由概率的加法公式，得P(“正面朝上”)＋P(“反面朝上”)＝P(必然事件)＝1，
因此P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)＝，
即P(出现正面朝上)＝
＝.
知识梳理 对于任何事件A，P(A)＝
.
思考：掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？
提示：不是．因为骰子不均匀，所以每个基本事件出现的可能性不相等，不满足等可能性．
[自我检测]
1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
解析：基本事件有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)共3个．
答案：C
2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：P＝＝.
答案：C
3．若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本，3本，2本，则随机抽出一本是物理书的概率为__________．
解析：从中随机抽出一本书共有10种取法，抽到物理书有3种情况，故抽到物理书的概率为.
答案：
授课提示：对应学生用书第57页
探究一 基本事件的计数问题
[例1] 连续掷3枚硬币，观察落地后3枚硬币是正面向上还是反面向上．
(1)写出这个试验的所有基本事件；
(2)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？
[解析] (1)由树形图表示如下：
试验的所有基本事件为(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
(2)“恰有两枚正面朝上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
方法技巧 基本事件的两种探求方法
(1)列表法：将基本事件用表格的形式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法(关键词：基本事件的总数)．
(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目(关键词：结构关系)．
跟踪探究 1.连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
(1)写出这个试验的所有基本事件；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
解析：(1)这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；
(2)这个试验包含的基本事件的总数是8.
探究二 简单古典概型的概率
[阅读教材P127例3]同时掷两个骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少？
方法步骤：
第一步，列出所有的基本事件；
第二步，找出满足条件的基本事件；
第三步，根据古典概型概率公式进行计算．
[例2] 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2；现从袋中任取两张卡片．
(1)若把所取卡片的所有不同情况作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？
(2)若把所取出卡片的标号之和作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？
(3)求所取卡片标号之和小于4的概率．
[解析] (1)基本事件为(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)共10种，由于基本事件个数有限，且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型．
(2)由(1)知，基本事件为2，3，4，5共4种，且他们出现的频数依次为1，4，3，2；故每个基本事件发生的可能性不同，不是古典概型．
(3)设A＝{所取两张卡片标号之和小于4}，由(1)知，A事件包含(红1，红2)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，蓝1)，(蓝1，蓝2)共5种，由古典概型概率公式得：
P(A)＝＝.
方法技巧 1.判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
2．求古典概型概率的计算步骤
(1)确定基本事件的总数n；
(2)确定事件A包含的基本事件的个数m；
(3)计算事件A的概率P(A)＝.
3．解决古典概型问题的基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率．
延伸探究 1.本题条件不变，求所取两张卡片标号之和不大于4且颜色相同的概率．
解析：所有基本事件为(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)共10种．
设A＝{所取两张卡片标号之和不大于4且颜色相同}，则A事件包含(红1，红2)，(红1，红3)，(蓝1，蓝2)
共3种，由古典概型概率公式得：
P(A)＝.
2．在本题原条件不变的情况之下，现往袋中再放一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解析：加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，所有可能情况如下表所示：
绿
蓝
红
0
1
2
1
2
3
绿
0
1
2
1
2
3
蓝
1
3
2
3
4
2
3
4
5
红
1
3
4
2
5
3
由表格可知，从六张卡片中任取两张的所有可能情况有15种．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有{绿0，蓝1}，{绿0，蓝2}，{绿0，红1}，{绿0，红2}，{绿0，红3}，{蓝1，红1}，{蓝1，红2}，{蓝2，红1}，共8种情况．由古典概型的概率计算公式可得，所求事件的概率P＝.
探究三 复杂古典概型的概率
[阅读教材P129例5]某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？
方法步骤：
第一步，列出所有的基本事件；
第二步，找出满足条件的基本事件；
第三步，根据古典概型概率公式进行计算．
[例3] 袋中有两个红球和两个白球，现从中任取两个小球，求所取的两个小球中至少有一个红球的概率．
[分析]
[解析] 给两个红球编号为1，2，两个白球编号为3，4，从中任取两个，共有6个基本事件：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}．设至少有一个红球为事件A.
法一：至少有一个红球的结果有5个：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，则至少有一个红球的概率为
P(A)＝.
法二：设事件B＝“有一个红球与一个白球”，事件C＝“两个都是红球”，则A＝B∪C.由互斥事件的概率加法公式得P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.
法三：设事件D＝“两个都是白球”，则事件A与事件D互为对立事件，所以P(A)＝1－P(D)＝1－＝.
方法技巧 在古典概型中，求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．凡涉及“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论思想求解，当涉及的互斥事件多于2个时，一般用对立事件求解．
跟踪探究 2.先后抛掷两枚大小相同的骰子．
(1)求点数之和为7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
解析：如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1)记“点数之和为7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)．故P(A)＝＝.
(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4，4)．故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)．故P(C)＝＝.
授课提示：对应学生用书第58页
[课后小结]
1．古典概型是一种最基本的概型，在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m、n.
2．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．
3．对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度．
[素养培优]
基本事件的概念理解不清致误
任意投掷两枚骰子，求“出现的点数之和为奇数”的概率．
错解 任意投掷两枚骰子，点数之和可能是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共有11个基本事件，
设出现的点数之和为奇数为事件A，则事件A包含3，5，7，9，11，共5个基本事件，
故P(A)＝，即出现的点数之和为奇数的概率为.
易错分析 出现点数之和为奇数与偶数的11种情况不是等可能事件，如点数之和为2只出现一次，即(1，1)；点数之和为3则出现两次，即(2，1)，(1，2)．因此以点数之和为基本事件不属于古典概型，不能应用古典概型概率公式计算．
自我纠正 任意投掷两枚骰子，可看成等可能事件，其结果即基本事件可表示为数组(i，j)(i，j＝1，2，…，6)．其中两个数i，j分别表示这两枚骰子出现的点数，则有
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
共有36个基本事件．
设出现的点数之和为奇数为事件A，则包含(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，2)，(5，4)．(5，6)，(6，1)，(6，3)，(6，5)，共有18个基本事件．
故P(A)＝＝.
即出现的点数之和为奇数的概率为.
PAGE3．2.2 (整数值)随机数(random
numbers)的产生
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解随机数的意义.2.会用模拟方法(包括计算器产生的随机数进行模拟)估计概率.3.理解用模拟方法估计概率的实质.发展数据分析
提升数学运算应用数学建模
授课提示：对应学生用书第59页
[基础认识]
知识点 随机数的产生
知识梳理 1.随机数
要产生1～n(n∈N
)之间的随机整数、把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．
2．伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质，因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．
3．产生整数值随机数的方法
用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数；也可用计算机中的Excel软件产生随机数．
用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法．
思考：掷硬币、掷骰子可以产生怎样的随机数？
提示：掷硬币时，会出现反面表示0，出现正面表示1，可产生0，1两个随机数．掷骰子可产生1，2，3，4，5，6六个随机数．
[自我检测]
1．用随机模拟方法得到的频率( )
A．大于概率
B．小于概率
C．等于概率
D．是概率的近似值
解析：用随机模拟方法得到的频率是概率的近似值．
答案：D
2．随机函数RANDBETWEEN(0，7)不可能产生的随机数是( )
A．0
B．2
C．3
D．9
解析：由随机函数RANDBETWEEN(a，b)的含义知，选D.
答案：D
3．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率为__________．
解析：所有子集共8个，?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，含两个元素的子集共3个，故所求概率为.
答案：
授课提示：对应学生用书第59页
探究一 随机数的产生方法
[例1] 产生10个在1～25之间的取整数值的随机数．
[解析] 方法如下：
反复按ENTER键10次，就可以产生10个1～25之间的随机数．
方法技巧 1.产生随机数可以采用抽签法或用计算机(器)产生随机数．
2．利用计算机或计算器产生随机数时，需切实保证操作步骤与顺序的正确性．并且注意不同型号的计算器产生随机数的方法可能会不同，具体操作可参照其说明书．
跟踪探究 1.某校高一年级共有20个班1
200名学生，期末考试时，如何把学生随机地分配到40个考场中去？
解析：第一步，n＝1；
第二步，用RANDI(1，1
200)产生一个[1，1
200]内的整数随机数x表示学生的考号；
第三步，执行第二步，再产生一个考号，若此考号与以前产生的考号重复，则执行第二步，否则n＝n＋1；
第四步，如果n≤1
200，则重复执行第三步，否则执行第五步；
第五步，按考号的大小排列，作为考号(不足四位的前面添上“0”，补足位数)，程序结束．
探究二 用随机模拟估计概率
[阅读教材P132例6]天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%.这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？
方法步骤：
第一步，设计概率模型；
第二步，进行模拟试验；
第三步，统计试验结果；
第四步，计算．
[例2] 种植某种树苗成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．设计一个试验，随机模拟估计上述概率．
[解析] 利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9，因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组可产生30组随机数：
69801 66097 77124 22961
74235 31516 29747 24945
57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120
21782 58555 61017 45241
44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624
30344 01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率约为＝30%.
方法技巧 整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
跟踪探究 2.某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，那么在连续三次投篮中，三次都投中的概率是多少？
解析：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数．我们用1，2，3，4，5，6表示投中，用7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组．例如：产生20组随机数：
812 932 569 683 271 989 730 537 925 834 907 113 966 191 432 256 393 027 556 755
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果3个数均在1，2，3，4，5，6中，则表示三次都投中，它们分别是：113，432，256，556，即共有4个数，我们得到了三次投篮都投中的概率近似为＝20%.
授课提示：对应学生用书第60页
[课后小结]
1．随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验．通过本节课的学习，我们要熟练掌握随机数产生的方法以及随机模拟试验的步骤：(1)设计概率模型，(2)进行模拟试验，(3)统计试验结果．
2．计算器和计算机产生随机数的方法
用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．
[素养培优]
随机模拟的易错点
通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740
4422 7884 2604 3346 0952
6807 9706 5774 5725 6576
5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为__________．
易错分析 由于审题不清，或因击中的目标数多查或漏查而出现错误，导致计算结果不对．
自我纠正 表示三次击中目标分别为3013，2604，5725，6576，6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似值为＝25%.
答案：25%
PAGE3．3 几何概型
3．3.1 几何概型
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解几何概型的定义及特点.2.掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题.3.与长度、角度有关的几何概型问题.
提升数学运算发展数学抽象应用数学运算
授课提示：对应学生用书第61页
[基础认识]
知识点 几何概型
预习教材P135－136，思考并完成以下问题
每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准①，②或③区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，一位顾客消费了120元．
(1)这位顾客获得100元购物券的概率与什么因素有关？
提示：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关．
(2)在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？
提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等．
(3)如何计算该顾客获得100元购物券的概率？
提示：用标注①的扇形面积除以圆的面积．
知识梳理 1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点：
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．几何概型的概率公式：
P(A)＝.
4．当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是等可能的，我们称X服从[a，b]上的均匀分布，X为[a，b]上的均匀随机数．
[自我检测]
1．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析：A中奖概率为，B中奖概率为，C中奖概率为，D中奖概率为，故选A.
答案：A
2．X服从[3，40]上的均匀分布，则X的值不能等于( )
A．15 B．25
C．35
D．45
解析：由于X∈[3，40]，则3≤X≤40，则X≠45.故选D.
答案：D
3．在区间[－1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为__________．
解析：∵区间[－1，2]的长度为3，由|x|≤1得x∈[－1，1]，而区间[－1，1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1，2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第61页
探究一 与长度、角度有关的几何概型
[阅读教材P136例1]某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．
方法步骤：
第一步，表示出事件；
第二步，分析是否满足几何概型的条件；
第三步，计算．
[例1] 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM大于AC的概率．
[解析] 如图，点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长度为试验的全部结果所构成的区域长度，在AB上截取AC′＝AC，当点M位于线段C′B上时，AM>AC，
故线段C′B即为构成事件的区域长度．
∴P(AM>AC)＝P(AM>AC′)＝＝1－.
方法技巧 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．
延伸探究 本例条件不变．
若求AM不大于AC的概率，结果有无变化？
解析：结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为0，包含与不包含一点，不改变概率的结果．
探究二 与面积有关的几何概型
[例2] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)
[解析] 设小王到校时间为x，小张到校时间为y，则小张比小王至少早到5分钟时满足x－y≥5.如图，原点O表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为×15×15＝，故所求概率为P＝＝.
[答案]
方法技巧 与面积有关的几何概型问题的解法：
(1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
(2)求几何概型的概率的关键是：确定试验的全部结果所构成的图形及事件A对应的图形，并求出它们的面积．
跟踪探究 1.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30
m，宽20
m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2
m的概率．
解析：如图所示，区域Ω是长30
m、宽20
m的长方形，图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2
m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．
由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．所以P(A)＝＝.即海豚嘴尖离岸边不超过2
m的概率为.
探究三 与体积有关的几何概型
[例3] 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率．
[解析] 圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，
以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝××13＝；
则点P到点O的距离小于或等于1的概率为＝.
故点P到点O的距离大于1的概率为1－＝.
方法技巧 与体积有关的几何概型问题的解决：
(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
(2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．
跟踪探究 2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率．
解析：如图是正方体ABCD－A1B1C1D1，
设四棱锥M－ABCD的高为h，
由×SABCD×h＜，
又SABCD＝1，
∴h＜，即点M在正方体的下半部分．
∴所求概率P＝＝.
授课提示：对应学生用书第63页
[课后小结]
1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．
2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．
3．注意理解几何概型与古典概型的区别．
4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝.
[素养培优]
几何度量(长度、角度、面积或体积)的选择错误
如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM易错分析 错误的原因在于选择的观察角度有问题，题目中的条件是过C作射线CM，错解中先在AB上取点，将问题转化为长度之比，从而导致错误．
自我纠正 在AB上取AC′＝AC，
则∠ACC′＝＝67.5°.
设事件A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°，
所以P(A)＝＝.
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