6.2.3　向量的数乘运算 学案（Word无答案）

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6.2.3　向量的数乘运算
素养目标
学法指导
1．了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(直观想象)2．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(数学运算)3．理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(逻辑推理)
1．要进一步深化类比实数的乘法运算，加强对向量的数乘运算的理解，并且感受两者的差异.2．类比三角函数伸缩变换的特征感受向量的数乘运算中向量伸缩的含义，进一步理解两个平面向量共线的含义.3．进一步深化对线性运算几何意义的理解，把握平面几何中位置关系与向量共线之间的联系.
一只兔子第1秒钟向东跑了2米,第2、3秒钟又向东各跑了2米.
问题1:兔子3秒的位移一共是多少?
问题2:若兔子向西跑3秒,则向量是多少?
必备知识·探新知
知识点1　向量的数乘运算
1．向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个
____，这种运算叫做向量的
____，记作
，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝
____.(2)λa(a≠0)的方向
?；
?.
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝
____.(2)(λ＋μ)a＝
__
_.(3)λ(a＋b)＝
___.
特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝
__
__.
知识点2　向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使
____.
[知识解读]　关于共线向量定理的说明：
(1)定理中，向量a为非零向量，即定理不包含0与0共线的情况.
(2)条件a≠0是必须的.否则当a＝0，b≠0时，虽然b与a共线，但不存在实数λ，使得b＝λa；当a＝0，b＝0时，λ可以是任意实数.
(3)要证明向量a，b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa即可.
(4)若b＝λa(λ∈R)，则a与b共线.
(5)由本性质定理知，若向量＝λ，则，共线.又，有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法.
题型探究　　
题型一　向量的线性运算
典例1　计算：
(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；(3)[(4a－3b)＋b－(6a－7b)].
【对点练习】?　(1)下列各式计算正确的有(　　)
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
(2)若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　)
A．－a　　
B．－4b　　C．c　　
D．a－b
题型二　用向量的线性运算表示未知向量
典例2　如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形，又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示、、.
【对点练习】?　(1)在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　)
A．＋　　B．－
C．－　　D．＋
(2)如图所示，已知在△ABC中，＝，DE∥BC，DE交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N，设＝a，＝b，用a，b表示向量，，，.
题型三　共线向量定理及其应用
典例3　如图，已知任意两个非零向量a，b，试作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b，猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
【对点练习】?　已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，
a－3b共线，求实数t的值.
易错警示　　
典例4　已知点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.
【对点练习】?　已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.
求证：＝(＋).
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