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人教版
八年级数学下册
18.1.1
平行四边形的性质（第1课时）
寻找生活中的平行四边形
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
四边形
平行四边形
观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
新知引入
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
D
C
A
B
注意:平行四边形的各顶点字母按顺时针或逆时针依次注明
平行四边形的定义
平行四边形常常
用“
”
表示
记作：
ABCD
读作：平行四边形ABCD
新知学习
如图:线段AC、BD就是
ABCD的对角线。
A
D
C
B
平行四边形不相邻的两个顶点
连成的线段叫平行四边形的对角线．
平行四边形相对的边称为
对边
平行四边形的基本元素
平行四边形相对的角称为
对角
平行四边形相邻的角称为
邻角
新知学习
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
D
B
C
AB∥CD，AD∥BC.
∵
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
AB∥CD，AD∥BC.
∴
具备“两组对边分别平行”
的四边形，是“平行四边形”
反之“平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”的性质
符号语言
判定
性质
新知学习
如图：
ABCD中，EF∥AB，
A
B
C
D
F
E
①则图中有＿＿个平行四边形；
②若GH∥AD，EF与GH交于点O，
则图中有＿＿个平行四边形．
G
H
O
3
9
分析：由平行四边形的定义可知平行四边形的对边平行，即AB∥CD，又因为EF∥AB,所以EF∥AB∥CD．
新知应用1
根据定义画出一个平行四边形．
A
B
C
D
画一画
平行四边形的对边、对角有怎样的数量关系？
A
B
C
D
猜想：平行四边形的对边相等,对角相等．
猜一猜
A
B
C
D
请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗?
测得AB=DC，AD=BC.
AB=8.4cm
DC=8.4cm
AD=4.3cm
BC=4.3cm
平行四边形的对边相等.
新知探究1
A
B
C
D
测得∠A
=∠C，∠B
=∠D.
请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与
∠D之间的数量关系吗?
怎样用以前所学的知识和方法证明这两个猜想呢？
∠A=60°
∠B=120°
∠c=60°
∠D=120°
平行四边形的对角相等.
新知探究1
已知：如图，在
ABCD中,
求证：AB=CD，BC=DA，
∠A=∠C，∠B=∠D.
A
B
C
D
分析：我们先来看边
?利用三角形全等
要证明:
AB＝CD，BC＝DA，
到目前为止，我们有哪些方法可以证明两条线段相等？
?等角对等边
图中没有现成的三角形，该怎么办？
添加辅助线构造三角形
平行四边形的对边相等,对角相等。
证明：
验证猜想
已知：如图，在
ABCD中
求证：AB=CD，BC=DA，
∠BAD=∠DCB，∠B=∠D.
A
B
C
D
证明：连接
1
2
3
4
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
在△ABC和△CDA中
∠1＝∠2
AC＝CA
∠3＝∠4
∴
△ABC≌△CDA.（ASA）
∴AB＝CD，BC＝DA，
∠B＝∠D,
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.
即∠BAD＝∠DCB.
AC.
证明：
平行四边形的对边相等,对角相等。
性质：
新知归纳
平行四边形的对边
相等。
A
B
C
D
平行四边形的性质
∵
四边形ABCD是平行四边形,
∴
AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC．
∠
A=∠C
,∠B＝∠D.
思考：平行四边形的邻角有什么关系呢？
平行四边形的邻角互补。
相等且平行。
性质1
性质2
平行四边形的对角
可证明线段平行或相等、
角相等。
符号语言：
新知归纳2
A
B
C
D
四边形问题
三角形问题
转化
连接对角线
思考
:
不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形
的定义，证明其对角相等？
构造
两个全等的三角形
小结归纳
例1
如图，在
ABCD中。
A
B
C
D
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A
=32。
解：
∴
∠C
=
∠A=32。,
∠B=
∠D.
(平行四边形的对角相等).
又∵AD∥BC
,
（平行四边形的对边平行），
∴
∠A
+
∠B
=180。(两直线平行，同旁内角互补)，
∴
∠B=
∠D=
180。－
∠A
=
180。－
32。=148。
变式：若∠A:∠B=2:3，求各角的度数。
(1)若∠A
=32。,求其余三个角的度数。
32°
例题讲解
例1
如图，在
ABCD中，
若∠A:∠B=2:3,求各角的度数。
A
B
C
D
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥
BC
.
∴∠A+∠B=180°.
∴2x+3x=
180°,
∴
x=
36°.
解：设∠A=2x°,
∴
∠A
=
∠C=72°,
∠B=
∠D=108°
则∠B=3x°
已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程.
归纳
例题讲解
(2)连接AC，已知
ABCD的周长等于28
cm，AC=7cm，求△ABC的周长。
A
B
C
D
解：
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD.
又∵AB+BC+CD+AD=28cm,
∴AB+BC=14cm,
∵AC=7cm,
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=
21cm。
分析：平行四边形ABCD
的周长
=AB＋BC＋CD＋DA，根据平行四边形的对边相等，
平行四边形的两条邻边之和等于平行四边形周长的一半。
平行四边形ABCD
的
周长
=2(AB＋BC)。
例题讲解
如图，在
1.若∠A=130°，则∠B=______
，∠C=______，∠D=______。
ABCD中，
A:基础知识：
B:变式训练：
2.若∠A+
∠C=
200°，则∠A=______
，∠B=______。
C
D
A
B
50°
130°
50°
100°
80°
C:拓展延伸：
3.若AE、AF为高，且∠EAF=60°,
则∠C
=______
，∠B=______
。
C
D
A
B
E
F
120°
60°
数形结合
60°
？
？
新知应用2
如图在
ABCD中
A基础知识：
1.若AB=1㎝，BC=2
㎝。
则
ABCD的周长=______。
B变式训练：
2.若AB：BC=3：4，周长为14㎝，则CD=
，DA=______。
3.若AB=x-4，BC=x+3，CD=6㎝，则AD=______
C
D
A
B
6cm
3cm
4cm
13cm。
x-4
x+3
6
新知应用2
如图，在
ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E，BC＝5，
AB＝3，则ED的长为
．
2
把AD分成
3和2两部分，则周长为（
）
16或14
C拓展延伸：
3
5
3
2
3
2
2
数形结合，
分类讨论。
2
1
3
新知应用2
例2
如图，在
ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，
垂足分别是E，F．求证：AE=CF．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∠A=
∠C，AD=CB.
又∠AED=
∠CFB=90°，
∴
△ADE≌△CBF（AAS）.
∴AE=CF.
D
A
B
C
F
E
DE和BF相等吗？
DE=BF
分析：要证AE=CF，可证ADE≌△CBF。由平行四边形的对角相等，对边相等，和垂直条件证全等。
例题讲解
A
B
C
D
E
F
a
b
AD与BC
对边
相等
N1
M1
Q1
P1
N2
M2
Q2
P2
M1N1//P1Q1
M2N2//P2Q2
AD//BC
M1N1=P1Q1
M2N2=P2Q2
若a
//
b，作
M1N1//P1Q1，分别交a于M1,P1，交
b
于N1,Q1。则线段
M1N1与P1Q1有什么关系？
结论
:两条平行线之间的任何两条
________
都相等。
平行线段
新知归纳2
a
b
N2
M2
Q2
P2
A
B
直线a上所有点到直线b上的距离都相等。
点到直线的距离
可得M2N2=P2Q2=AB
结论：
两条平行线中，______________________
————————————————————，叫做这两条
平行线之间的距离。
一条直线上的任意
一点到另一条直线的距离
两条平行线间的距离相等。
若a//b,点A是直线a上任意一点，且AB⊥b，B是垂足，
线段AB的长就是直线a,b之间的距离。
新知归纳2
BD
DC
AB
DC
A
B
C
D
a
b
新知应用3
18.1.1
平行四边形的性质
知
识
1、平行四边形定义
2、平行四边形的性质
3、夹在两条平行线
间的平行线段相等。
4、平行线间的距离
思
想
转
化
思
想
“猜想——验证——证明”
研究方法.
方
法
探索新知识
分类讨论思想
数形结合思想
课堂小结
选做
1.数学书第43页练习第1，2题；
2.不添加辅助线，直接运用平行四边形的定义，
证明其对角相等。
必做
△ABC是等腰三角形，AB=AC,
P是底边BC
上一动点，PE∥AB，PF∥AC，点E，F分别在AC，AB上．求证：PE+PF=AB．
A
B
C
E
F
P
作业
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
18.1.1
平行四边形的性质（第1课时）同步练习
一、选择题
1．（2020秋?招远市期末）已知平行四边形中，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020春?武汉期中）如图，若平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是
A．
B．
C．
D．
3．（2020春?漳州期末）如图，在中，平分，，，则的长是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．（2020春?和平区校级月考）已知的周长为56，，则
A．4
B．12
C．24
D．28
5．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和之间的距离是
A．
B．
C．
D．或
二、填空题
6．（2020秋?招远市期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为
．
7．（2021?云南模拟）在中，，，连接，若，则线段的长为
．
8．（2020春?哈尔滨期末）在□中，平分交于点，点将分为4和3两部分，则□的周长为
．
9．（2020?金华）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是
．
10．已知直线、、互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，那么直线与的距离是
．
11．如图，，在外角平分线上，且，的面积为，则的面积为
．
12．（2020?龙岗区校级模拟）如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，，，且，则的长是
．
三、解答题
13．（2021?泗洪县一模）如图，□中，是边的中点，的延长线与的延长线相交于．
求证：．
14．（2020?启东市三模）如图，已知，在平行四边形中，点，分别在边，上，，连接，．求证：．
15．（2020秋?招远市期末）如图，在平行四边形中，．若平分．
（1）求证：；
（2）若，求：的度数．
16．（2020秋?锦江区期末）如图1，在平行四边形中，过点作交于点，连接，且平分．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作交于点，连接，，猜想的形状并证明．
18.1.1
平行四边形的性质（第1课时）同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?招远市期末）已知平行四边形中，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：四边形为平行四边形，，
，，
，
，
故选：．
2．（2020春?武汉期中）如图，若平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：在中，，，
，
又，，
点的纵坐标与点的纵坐标相等，
，
即；
故选：．
3．（2020春?漳州期末）如图，在中，平分，，，则的长是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
故选：．
4．（2020春?和平区校级月考）已知的周长为56，，则
A．4
B．12
C．24
D．28
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
的周长为56，
，
，
，
故选：．
5．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和之间的距离是
A．
B．
C．
D．或
【解析】解：如图1，直线和之间的距离为：；
如图2，直线和之间的距离为：．
故选：．
二、填空题
6．（2020秋?招远市期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为 15 ．
【解析】解：四边形为平行四边形，，
，，
，
平分，
，
，
，
同理，
，
，
，
故答案为15．
7．（2021?云南模拟）在中，，，连接，若，则线段的长为 4或8 ．
【解析】解：作于，如图所示：
，
，
，，
，或，
四边形是平行四边形，
或8；
故答案为：4或8．
8．（2020春?哈尔滨期末）在□中，平分交于点，点将分为4和3两部分，则□的周长为 20或22 ．
【解析】解：平分，
，
∵□的边，
，
，
，
①当时，，，
□的周长，
②当时，，，
□的周长，
所以，□的周长为22或20．
故答案为：22或20．
9．（2020?金华）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是 30 ．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：30．
10．已知直线、、互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，那么直线与的距离是 或 ．
【解析】解：①当直线与在直线的同一侧时，
与的距离是：．
②当直线与在直线的异侧时，
与的距离是：．
综上，直线与的距离是或．
故答案为：或．
11．如图，，在外角平分线上，且，的面积为，则的面积为 12 ．
【解析】解：过作于，
在外角平分线上，且，
，
的面积为：，的面积为：，
又，
的面积与的面积相等为．
故答案为：12．
12．（2020?龙岗区校级模拟）如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，，，且，则的长是 ．
【解析】解：延长和交于，过点作于点，如图：
四边形为平行四边形，
，
，．
为的中点，
．
在和中，
，
，
，，
为边的中点，
，即，
，，且，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
三、解答题
13．（2021?泗洪县一模）如图，□中，是边的中点，的延长线与的延长线相交于．
求证：．
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
．
14．（2020?启东市三模）如图，已知，在平行四边形中，点，分别在边，上，，连接，．求证：．
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
在与中，
．
15．（2020秋?招远市期末）如图，在平行四边形中，．若平分．
（1）求证：；
（2）若，求：的度数．
【解析】解：（1）四边形为平行四边形，
，．
．
，
．
．
在和中，
，
，
（2），
，
平分（已知），
；
又，
．
为等边三角形．
．
，
，
．
16．（2020秋?锦江区期末）如图1，在平行四边形中，过点作交于点，连接，且平分．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作交于点，连接，，猜想的形状并证明．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
又平分，
，
，
，
；
（2）是等腰直角三角形，
证明：，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
即，
是等腰直角三角形．
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精品试卷·第
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