§6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 学案（Word无答案）

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6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
[目标]
1.会实数与向量积的坐标表示；2.记住两个向量共线的坐标表示；3.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题．
[重点]
向量共线的坐标表示．
[难点]
向量共线的坐标表示的应用．
首都北京的中轴线是北京的中心标志,也是世界上现存最长的城市中轴线,在北京700余年的建筑格局上,中轴线起着相当重要的作用,但是科学家们发现“中轴线”并不是“正南正北”的朝向,即它并没有和子午线重合.
问题1:如何判断两条直线平行或重合呢?
问题2:两向量是否共线又如何判断呢?
知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式
[填一填]
(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的
；
(2)设向量a＝(x1，y1)，则λa＝
．
(3)中点坐标公式：若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则
[答一答]
1．已知A(－5，－1)，B(3，－2)，则－的坐标为
．
知识点二　两个向量共线的坐标表示
[填一填]
向量共线的坐标表示的推导
①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b?a＝λb(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为a∥b?
，
即a∥b??
.
②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0时，a∥b?
.
综上①②，向量共线的坐标表示为a∥b?
.
典例讲练破题型
类型一　平面向量数乘运算的坐标表示
[例1]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
[变式训练1]　如图，在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标．
类型二　两个向量共线的坐标表示
[例2]　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[变式训练2]　(1)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)
A.　　
B.
C.
D.
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝
.
类型三　三点共线问题
[例3]　(1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；
(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
类型四　利用向量共线解决几何问题
例4.设P是线段上的一点，点的坐标分别是（），（）.
（1）当P是线段的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标
探究：设P是直线上的一点，点的坐标分别是（），（）.当时，点P的坐标是什么？