18.1勾股定理课时训练(含答案)
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18.1勾股定理课时训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．CD的长 C．AD的长 D．BC的长
2．在周长为的直角三角形中，斜边长为，则该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某校教学楼在校门（图中点处）正东方向的点处，学生食堂在距离校门北偏东60°方向，且在教学楼的正北方向（图中点处），经测得校门与学生食堂相距200米，那么学校校门与教学楼的距离是（ ）
A．100米 B．米 C．米 D．米
4．如图，在中，，于点，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别交边，于点，（点不与点，重合），下列说法正确的是（ ）
①；②；③
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．如图，在中，，以点为圆心，长为半径 画弧，交于点和点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
8．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．20 B．40 C．80 D．100
9．如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点．若是轴上的动点，则的最小值（ ）
A． B．6 C． D．4
10．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．1，，
二、填空题
11．如图，△ABC与△BED全等，点A，C分别与点B，D对应，点C在BD上，AC与BE交于点F．若∠ABC＝90°，∠D＝60°，则AF：BD的值为_____．
12．已知点G是边长为2的等边三角形ABC的重心，则G、A两点间的距离等于_____．
13．在中，，，，则线段AC的长为________．
14．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足，则此等腰三角形的面积为____．
15．如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为为______．
16．如图，在平面直角坐标系中有一个，点的坐标为，点的坐标为，将绕点顺时针旋转45°，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为__________．
三、解答题
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，将△DCE沿DE翻折，使点C落在点A处．
（1）设BD=x．在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得关于x的方程 ；
（2）分别求DC、DE的长．
18．如图，在中，，D为CA延长线上一点，于点E，交AB于点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求线段DE的长．
19．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值．
20．如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在处，交于点．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，求的面积．
参考答案
1．C
2．B
3．B
4．D
5．B
6．A
7．A
8．A
9．B
10．B
11．3：4．
12．
13．
14．或
15．
16．
17．（1）；（2）DC=，DE=．
解：（1）∵将△DCE沿DE翻折，使点C落在点A处．
∴AD=CD，AE=EC，
设BD=x，则DC=AD=8-x，
∵AB2+BD2=AD2，
∴62+x2=（8-x）2，
故答案为：62+x2=（8x）2；
（2）由（1）得62+x2=（8x）2，
解得x=，
∴BD=，
∴DC=BCBD=8=．
∵AB=6，BC=8，
∴AC=，
∴CE=AC=5，
∴DE=．
18．（1）证明见解析；（2）．
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠C+∠D=90°，∠B+∠BFE=90°，
∴∠D=∠BFE，
又∵∠BFE=∠AFD，
∴∠D=∠AFD，
∴AD=AF，即△ADF为等腰三角形；
（2）过A作AH⊥BC，
∵，DE⊥BC，
∴EF//AH，
∴EF是△BAH的中位线，
∵BE=2，
∴EH=2，
∵AB=AC，
∴BC=4BE=8，EC=HC+HE=BH+EH=6，
∵DA=AF=5，AC=AB=10，
∴DC=AD+AC=15，
∴．
19．（1）见解析；（2）12或3
解：（1）证明：∵△=[-（2k+1）]2-4×（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x2-（2k+1）x+k2+k=0，即（x-k）[x-（k+1）]=0，
解得：x1=k，x2=k+1．
当BC为直角边时，k2+52=（k+1）2，
解得：k=12；
当BC为斜边时，k2+（k+1）2=52，
解得：k1=3，k2=-4（不合题意，舍去）．
答：k的值为12或3．
20．（1）等腰三角形，证明见解析；（2）．
解：（1）△BDF是等腰三角形，
理由：由折叠可知，∠CBD＝∠FBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠FDB，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴BF＝DF，
即△BDF是等腰三角形；
（2）设DF＝x，则BF＝x，AF＝10?x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＋AF2＝BF2，即62＋（10?x）2＝x2，
解得：x＝，
所以S△BDF＝DF×AB＝××6＝20.4．
．
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18.1勾股定理课时训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．CD的长 C．AD的长 D．BC的长
2．在周长为的直角三角形中，斜边长为，则该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某校教学楼在校门（图中点处）正东方向的点处，学生食堂在距离校门北偏东60°方向，且在教学楼的正北方向（图中点处），经测得校门与学生食堂相距200米，那么学校校门与教学楼的距离是（ ）
A．100米 B．米 C．米 D．米
4．如图，在中，，于点，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，为斜边的中点，在内绕点转动，分别交边，于点，（点不与点，重合），下列说法正确的是（ ）
①；②；③
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．如图，在中，，以点为圆心，长为半径 画弧，交于点和点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
8．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．20 B．40 C．80 D．100
9．如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点．若是轴上的动点，则的最小值（ ）
A． B．6 C． D．4
10．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．1，，
二、填空题
11．如图，△ABC与△BED全等，点A，C分别与点B，D对应，点C在BD上，AC与BE交于点F．若∠ABC＝90°，∠D＝60°，则AF：BD的值为_____．
12．已知点G是边长为2的等边三角形ABC的重心，则G、A两点间的距离等于_____．
13．在中，，，，则线段AC的长为________．
14．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足，则此等腰三角形的面积为____．
15．如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为为______．
16．如图，在平面直角坐标系中有一个，点的坐标为，点的坐标为，将绕点顺时针旋转45°，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为__________．
三、解答题
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，将△DCE沿DE翻折，使点C落在点A处．
（1）设BD=x．在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得关于x的方程 ；
（2）分别求DC、DE的长．
18．如图，在中，，D为CA延长线上一点，于点E，交AB于点F．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求线段DE的长．
19．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值．
20．如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在处，交于点．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，求的面积．
参考答案
1．C
2．B
3．B
4．D
5．B
6．A
7．A
8．A
9．B
10．B
11．3：4．
12．
13．
14．或
15．
16．
17．（1）；（2）DC=，DE=．
解：（1）∵将△DCE沿DE翻折，使点C落在点A处．
∴AD=CD，AE=EC，
设BD=x，则DC=AD=8-x，
∵AB2+BD2=AD2，
∴62+x2=（8-x）2，
故答案为：62+x2=（8x）2；
（2）由（1）得62+x2=（8x）2，
解得x=，
∴BD=，
∴DC=BCBD=8=．
∵AB=6，BC=8，
∴AC=，
∴CE=AC=5，
∴DE=．
18．（1）证明见解析；（2）．
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠C+∠D=90°，∠B+∠BFE=90°，
∴∠D=∠BFE，
又∵∠BFE=∠AFD，
∴∠D=∠AFD，
∴AD=AF，即△ADF为等腰三角形；
（2）过A作AH⊥BC，
∵，DE⊥BC，
∴EF//AH，
∴EF是△BAH的中位线，
∵BE=2，
∴EH=2，
∵AB=AC，
∴BC=4BE=8，EC=HC+HE=BH+EH=6，
∵DA=AF=5，AC=AB=10，
∴DC=AD+AC=15，
∴．
19．（1）见解析；（2）12或3
解：（1）证明：∵△=[-（2k+1）]2-4×（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x2-（2k+1）x+k2+k=0，即（x-k）[x-（k+1）]=0，
解得：x1=k，x2=k+1．
当BC为直角边时，k2+52=（k+1）2，
解得：k=12；
当BC为斜边时，k2+（k+1）2=52，
解得：k1=3，k2=-4（不合题意，舍去）．
答：k的值为12或3．
20．（1）等腰三角形，证明见解析；（2）．
解：（1）△BDF是等腰三角形，
理由：由折叠可知，∠CBD＝∠FBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠FDB，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴BF＝DF，
即△BDF是等腰三角形；
（2）设DF＝x，则BF＝x，AF＝10?x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＋AF2＝BF2，即62＋（10?x）2＝x2，
解得：x＝，
所以S△BDF＝DF×AB＝××6＝20.4．
．
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