2020-2021学年高二数学选修1-1第二章2.1.1 椭圆及其标准方程 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
人教版
A版
高二数学选修1-1
§2.1.1椭圆及其标准方程
1：准备一张圆形纸片。设圆心是O，在圆内不是圆心处取一点，标上F。
2.把纸片翘起一角，使圆周正好通过F。
把纸片抹平，于是就留下一条折痕。为了清楚些，你可以再折痕上标上红线。如图。
如何用折纸法将圆形变成了椭圆形？
一.课题引入：趣味数学
3:然后，继续重复上述过程。
得到若干条折痕。
你会发现，这些（红色）折痕已经围成一个椭圆了！如图。
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？
生活中的椭圆
北京天坛公园回音壁
探究1:取一条定长的细绳，把它的两端固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，慢慢移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么呢？
圆
探究与思考：
探究2:取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，慢慢移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么呢？
探究与思考：
椭圆
数
学
实
验
[1]取一条没有弹性的细绳
[2]把它的两端固定在板上的
两点F1、F2.（|F1F2|<绳长
）
[3]用铅笔尖（P）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
现在请同学们自己动手来画椭圆：
思考3：细绳的长度变了没有呢？
是
思考1:椭圆是平面图形吗？
椭圆上的点P到两个定点F1，F2的距离之和就是绳长即定值
思考4：拉紧细绳起到什么作用呢？
不变
思考2:在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
固定
思考7:这现象你能用文字语言来概括出椭圆的定义来呢？
思考6:移动笔尖时动点P满足什么几何条件？
|PF1|+|PF2|=定值（即绳长）
思考5:绳长与这两个定点的大小关系又怎么样？
绳长大于两个定点的距离
温馨提醒：椭圆定义的要点
（1）必须在平面内;
（2）两个定点---两点间的距离确定即焦距;(常记作2c)
（3）常数---轨迹上任意点到两定点距离之和确定.
(常记作:2a,且
2a>2c)
椭圆定义
文字语言：平面内与两个定点（
）的距离之和等于
常
数（
）的点的轨迹叫椭圆。
符号语言：|PF1|+|PF2|=常数
焦点
大于|F1F2|
思考10：若2a轨迹是一条线段
轨迹不存在
探究3:取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离等于细绳的长度，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么呢？
思考8：2a=2c
或
2a<2c?
思考9：若2a=F1F2轨迹是什么呢？
例题1：平面上有动点P到两个定点F1
（-3，0）、F2
（3，0）
的距离之和为8，则动点P的轨迹是（
）
A.圆
B.
椭圆
C.
线段
D.直线
例题巩固：
B
C
变式：平面上有动点P到两个定点F1
（-3，0）、F2
（3，0）
的距离之和为6，则动点P的轨迹是（
）
A.圆
B.
椭圆
C.
线段
D.直线
?
求动点轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）
表示曲线上任意一点M的坐标;即建系，设点
（2）写出适合条件
P（M）
;即列限制条件
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程
;即代方程
（4）化方程为最简形式;即化简
（5）证明以化简后的方程为所求方程(可以省略
不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)
坐标法
二、椭圆方程推导的准备
?
探讨建立平面直角坐标系的方案
O
x
y
M
F1
F2
方案一
F1
F2
方案二
O
x
y
M
求椭圆的方程的推导：
原
则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)
(“对称”、“简洁”)
O
x
y
O
x
y
O
x
y
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设M(x,
y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于常数2a(2a>2c)
，则F1、F2的坐标分别是方案一：(?c,0)、(c,0)
；
{方案二：
(0,-c)、(0,c)}
以下以方案一为说明，方案二进行类比。
（问题：下面怎样化简？）
由椭圆的定义得，限制条件：
代入坐标：
x
F1
F2
M
0
y
b的引入：
a
c
b
y
1
o
F
x
2
F
M
a
c
b
焦点在y轴：
焦点在x轴：
椭圆的标准方程:
1
o
F
y
x
2
F
M
1
2
y
o
F
F
M
x
它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是
中心在坐标原点的椭圆
方程
,其中
它所表示的椭圆的焦点在y轴上，焦点是
中心在坐标原点的椭圆
方程
,其中
答：在
X
轴。（-4，0）和（4，0）
答：在
y
轴。（0，-5）和（0，5）
答：在
y
轴。（0，-1）和（0，1）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
例2判定下列是不是椭圆方程？若是椭圆，求它的焦点在什么轴上，并指明a2、b2，写出焦点坐标。
解：连接AO，与折痕有一个交点P，连接OP,PF,PA
用折纸法将圆形变成了椭圆形,如何求解它的方程？
课题引入：
∵|PF|=|PA|,
∴|OP|+|PF|=|OA|=R
点P的轨迹就是椭圆。
设R=10,|OF|=6.即|OP|+|PF|=10
P
例题3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(2)焦点为F1(0,－3)
，且a=5；
(1)a=
,b=1,焦点在x轴上；
(3)两个焦点分别是F2(2,0),且过P(2,3)点；
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
图
形
方
程
焦
点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
|MF1|+|MF2|=2a
(2a>2c>0)
定
义
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
总结与反思：
椭圆方程有特点
系数为正加相连
分母较大焦点定
右边数“1”记心间
注:
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标
原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆
项分母较大.
焦点在y轴的椭圆
项分母较大.
练习1.
已知椭圆的方程为：
，请填空：
(1)
a=__，b=__，c=__，焦点坐标为
，焦距等于__.
(2)已知椭圆上一点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离__
变式：
若椭圆的方程为
,试口答完成.
5
4
3
6
(-3,0)、(3,0)
7
练习2：若方程?
,表示焦点在?y
轴上的椭圆，则k的取值范围是_______。
变式2：方程
，分别求方程满足
下列条件的m的取值范围：
①表示一个圆；
②表示一个椭圆；
③表示焦点在x轴上的椭圆。
m=8
回顾小结：
求椭圆标准方程的方法
一种方法：
二类方程:
三个意识：
求美意识，
求简意识，前瞻意识
作业布置：
选修1-1
书本P42
A组1、2