第五讲：多边形内角和与外角和
主要内容
多边形的概念
2、多边形内角和定理
3、多边形的外角和
二、基本概念
1、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3.
多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
1．如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形有（ ）条对角线．
A．27
B．35
C．40
D．44
【答案】B．
【解析】解：当n=10时，==35，
即凸十边形的对角线有35条．
【总结升华】本题考查了多边形的边数与对角线的条数之间的关系，熟记多边形的边数与对角线的条数的关系式是解决此类问题的关键．
举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有
条对角线，一个正十二边形共有
条对角线
【答案】9，54。
2、多边形内角和定理
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点诠释：
内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
2.证明：
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
【思路点拨】先写出已知、求证，再画图，然后证明．
【答案与解析】已知：n边形A1A2……An，求证：∠A1+∠A2+……+∠An=180°，
证法一：如图(1)所示，在n边形内任取一点O，连O与各顶点的线段把n边形分成了n个三角形，n个三角形内角和为n·180°，减去以O为公共顶点的n个角的和2×180°(即一个周角)得n边形内角和为n·180°-2×180°-(n-2)·180°．
证法二：如图(2)所示，过顶点A1作对角线，把n边形分成了(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角和恰是多边形的内角和，即(n-2)·180°．
方法三：如图(3)所示，在多边形边上任取一点P，连这点与各顶点的线段把n边形分成了(n-1)个三角形，n边形内角和为这(n-1)个三角形内角和减去在点P处的一个平角，即(n-1)·180°-180°＝(n-2)·180°．
【总结升华】证明多边形内角和定理，关键是构造三角形，利用三角形的内角和定理进行证明．
举一反三：【变式】练习：求下列图中的x的值.
【答案】
3.
一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是
(
)
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】解：设这个多边形为n边形，则有：
(n-2)×180°＝720°，∴
n＝6．
【总结升华】①已知边数，求内角和，是求代数武(n-2)×180°的值；②已知内角和求边数，可先设出边数，根据内角和列出方程求解．
举一反三：【变式】已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形
B．六边形
C．七边形
D．八边形
【答案】C．
3、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．
4.如图所示，五边形公园中，∠1＝90°，张老师沿公园边由A点经B→C→D→E→F散步，则张老师共转了
(
)
A．440°
B．360°
C．260°
D．270°
【思路点拨】解答该问题中应注意张老师没转过与∠1相邻的这个外角，所以用五边形的外角和减去它即得答案，
【答案】D【解析】解：360°-(180°-90°)＝270°，所以张老师共转了270°
【总结升华】解决此题的关键同样是把生活实际问题转化为数学问题，在散步之中感悟数学知识．其中蕴含了多边形的外角和为360°的有关知识．
举一反三：【变式1】如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？
【答案】：如图，当小汽车从P出发行驶到B市，由B市向C市行驶时转的角是，由C市向A市行驶时转的角是，由A市向P市行驶时转的角是.
因此，小汽车从P市出发，经B市、C
市、A市，又回到P市，共转.
【变式2】已知一个多边形的内角和与外角和共2160?，则这个多边形的边数是
.
【答案】12
【变式3】一个正多边形的每个外角都是36°．这个正多边形的每个内角的度数是________．
【答案】144°
三、课堂讲解
1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?
【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．
按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．
按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．
按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．
答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．
【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．
如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝
。
【答案】220°
3、一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（
）.
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】C.
4、如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【思路点拨】根据三角形外角的性质及四边形的内角和为360°，即可解答．
【答案与解析】解：如图，
∵∠BPO是△PDC的外角，∴∠BPO=∠C+∠D，
∵∠POA是△OEF的外角，∴∠POA=∠E+∠F，
∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
【总结升华】本题考查了三角形外角的性质及四边形的内角和为360°，解决本题的关键是熟记三角形外角的性质．
5、（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=
.
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=
.
【答案】（1）360°；（2）540°
6、一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为
(
)
．
A．15
B．16
C．17
D．15或16或17
【思路点拨】一个多边形截去一个角后的多边形的边数不确定，要分类讨论．
【答案】D
【解析】解：本题可设新多边形为n边形，由题意可知，原多边形可以为n边形；(n+1)边形；(n-1)边形：即(n-2)×180°＝2520°
解得n＝16．
故n-1＝15，n+1＝17．
因此原多边形可以是十五边形，也可以是十六边形，也可以是十七边形
7、（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005?，求多边形的边数。
（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数.
【答案】（1）用2005÷180=11余25，n-2=11，n=13．
（2）用2570÷180=14余50，180o-50o
=130o
8、已知：如图，AB∥CD，求图形中的x的值．
【答案】解：∵AB∥CD，∠C=60°，
∴∠B=180°﹣60°=120°，
∴（5﹣2）×180°=x+150°+125°+60°+120°，
∴x=85°．
9、科研人员为某机器人编制了一段程序，如果机器人在平地上按照图中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为
(
)
A．6米
B．8米
C．12米
D．不能确定
【答案】B
【解析】解析：先按照程序的步骤画图(如图所示)，发现一次转弯后不能回到出发点，从画出的图形，可以发现要使机器人回到点A处，那么机器人走过的路径应该是一个多边形，每次转弯的角就是这个多边形的外角．利用多边形的外角和为360°，而45°×8＝360°，所以经过8次转弯即可到达点A处．又因为每次走1米，所以该机器人所走的总路程为8米．
【总结升华】解决此题的关键同样是把生活实际问题转化为数学问题，在散步之中感悟数学知识．其中蕴含了多边形的外角和为360°的有关知识．本例为“设计程序”类考题，读懂程序，画出图形，理解很重要．
10、如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE.
按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量.
这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测那一个角吗？说明理由.
【答案】解：测∠A或∠C的度数，只需∠A=100°或∠C=100°，
即知模板中AB、CD的延长线的夹角是否符合规定.
理由如下：连接AF，∵AB∥CF，
∴∠BAF+∠AFC=180°.
又∵∠EAF+∠E+∠AFE=180°，
∴∠BAE+∠E+∠EFC=360°.
若∠C=100°，
则AB、CD的延长线的夹角=540°－
360°－
100°=
80°，
即符合规定.
同理：若连接CE，可得∠AEF+∠F+∠DCF=360°.若∠A=100°，则也符合规定.
【达标检测】
一、选择题
1．从n边形的一个顶点出发共有对角线(
)
A．(n-2)条
B．(n-3)条
C．(n-1)条
D．(n-4)条
2．如图，图中凸四边形有(
)
A．3个
B．5个
C．2个
D．6个
3．下列图形中，是正多边形的是(
)
A．三条边都相等的三角形
B．四个角都是直角的四边形
C．四边都相等的四边形
D．六条边都相等的六边形
4．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形
B．正六边形
C．正七边形
D．正八边形
5．一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，这个多边形的边数为
(
)
A．12
B．13
C．14
D．15
6．当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和
(
)
A．都不变
B．内角和增加180°，外角和不变
C．内角和增加180°，外角和减少180°
D．都增加180°
7．如图所示，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为(
)
A．135°
B．240°
C．270°
D．300°
二、填空题
8．一个n边形的内角和为1080°，则n=
．
9．从n边形的一个顶点出发可作______条对角线，从n边形n个顶点出发可作_______条对角线，除去重复作的对角线，则n边形的对角线总数为________条．
10．在有对角线的多边形中，边数最少的是______边形，它共有______条对角线．
11．若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是________．
12．一个多边形的内角和为5040°，则这个多边形是____边形，共有____条对角线．
三、解答题
13．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．
14．如图∠A=40°，∠ABD=∠D=∠F=90°，AG⊥GF于G，求∠E的度数．
【答案与解析】
一、选择题
1.B
2.A
3.A
4.B
5.C
6.B；
7.C
二、填空题
8.8．
9.n-3
n(n-3)
；
10.四，
2；
11．4；
12.三十，405；
三、解答题
13.解：设多边形的边数为n，根据题意，有：
n＝2(n-3)，解得n＝6，故这个多边形的边数为6．
14.解：∵∠A=40°，AG⊥BF，∴∠ABG=50°，
∵∠ABD=90°，∴∠DBF=40°，
∵∠D=∠F=90°，∴∠E=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°．
【达标检测】
一、选择题
1．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，这个多边形的边数为
(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
2．一个多边形的内角和超过640°，则此多边形边数的最小值是
(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
3．一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
4．用一种正多边形铺地，使它铺成平整无隙的图案，顶点处最多能用正多边形的块数是
(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
5．利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖(ab≠0)，同a+b的值为
(
)
A．3或4
B．4或5
C．5或6
D．4
6．如图所示，已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是
(
)
A．360°
B．540°
C．720°
D．630°
7．两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是
(
)
∠1与∠2
B．∠2与∠3
C．∠1与∠3
D．三个内角都相等
8.从一个边形中除去一个角后，其余个内角和是2580°，则原多边形的边数是（
）.
A.15
B.17
C.19
D.13
二、填空题
9.从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为 边形．
10.如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是
.
11．将一块正六边形硬纸片(如图(1))，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，如图(2))，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图(1)中的四边形，那么的度数是________．
12．将一个宽度相等且足够长的纸条打一个结，如图(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝________．
13.
用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各板完全吻合，如果其中两块木板的边数都是5，则第三块木板的边数是________．
14.小勇制造了一个简单的机器人，小勇遥控它每前行1m就向左转30°，再向前行1m又向左转30°，问它需要走
m才能走回原地.
三、解答题
15.
在△ABC中，如果∠A、∠B、∠C的外角的度数之比是4：3：2，求∠A的度数．
【答案与解析】
一、选择题
1.D
2.B
3.C．
4.B
5.B
6.D
7.B
8.B
二、填空题
9.九.
10.36°
11.60°
12.36°
13.10
14.12
三、解答题
15.解：设∠A、∠B、∠C的外角分别为∠1=4x度、∠2=3x度、∠3=2x度．
因为∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，
所以4x+3x+2x=360，
解得x=40．
所以∠1=160°、∠2=120°、∠3=80°．
因为∠A+∠1=180°，
所以∠A=20°．第五讲：多边形内角和与外角和
主要内容
多边形的概念
2、多边形内角和定理
3、多边形的外角和
二、基本概念
1、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3.
多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
1．如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形有（ ）条对角线．
A．27
B．35
C．40
D．44
举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有
条对角线，一个正十二边形共有
条对角线
2、多边形内角和定理
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点诠释：
内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
2.证明：
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
举一反三：【变式】练习：求下列图中的x的值.
3.
一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是
(
)
A．4
B．5
C．6
D．7
举一反三：【变式】已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形
B．六边形
C．七边形
D．八边形
3、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．
4.如图所示，五边形公园中，∠1＝90°，张老师沿公园边由A点经B→C→D→E→F散步，则张老师共转了
(
)
A．440°
B．360°
C．260°
D．270°
举一反三：【变式1】如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？
【变式2】已知一个多边形的内角和与外角和共2160?，则这个多边形的边数是
.
【变式3】一个正多边形的每个外角都是36°．这个正多边形的每个内角的度数是________．
三、课堂讲解
1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?
如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝
。
3、一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（
）.
A.6
B.7
C.8
D.9
4、如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
5、（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=
.
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=
.
6、一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为
(
)
．
A．15
B．16
C．17
D．15或16或17
7、（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005?，求多边形的边数。
（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数.
8、已知：如图，AB∥CD，求图形中的x的值．
9、科研人员为某机器人编制了一段程序，如果机器人在平地上按照图中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为
(
)
A．6米
B．8米
C．12米
D．不能确定
10、如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE.
按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量.
这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测那一个角吗？说明理由.
【达标检测】
一、选择题
1．从n边形的一个顶点出发共有对角线(
)
A．(n-2)条
B．(n-3)条
C．(n-1)条
D．(n-4)条
2．如图，图中凸四边形有(
)
A．3个
B．5个
C．2个
D．6个
3．下列图形中，是正多边形的是(
)
A．三条边都相等的三角形
B．四个角都是直角的四边形
C．四边都相等的四边形
D．六条边都相等的六边形
4．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形
B．正六边形
C．正七边形
D．正八边形
5．一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，这个多边形的边数为
(
)
A．12
B．13
C．14
D．15
6．当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和
(
)
A．都不变
B．内角和增加180°，外角和不变
C．内角和增加180°，外角和减少180°
D．都增加180°
7．如图所示，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为(
)
A．135°
B．240°
C．270°
D．300°
二、填空题
8．一个n边形的内角和为1080°，则n=
．
9．从n边形的一个顶点出发可作______条对角线，从n边形n个顶点出发可作_______条对角线，除去重复作的对角线，则n边形的对角线总数为________条．
10．在有对角线的多边形中，边数最少的是______边形，它共有______条对角线．
11．若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是________．
12．一个多边形的内角和为5040°，则这个多边形是____边形，共有____条对角线．
三、解答题
13．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．
14．如图∠A=40°，∠ABD=∠D=∠F=90°，AG⊥GF于G，求∠E的度数．
【达标检测】
一、选择题
1．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，这个多边形的边数为
(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
2．一个多边形的内角和超过640°，则此多边形边数的最小值是
(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
3．一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
4．用一种正多边形铺地，使它铺成平整无隙的图案，顶点处最多能用正多边形的块数是
(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
5．利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖(ab≠0)，同a+b的值为
(
)
A．3或4
B．4或5
C．5或6
D．4
6．如图所示，已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是
(
)
A．360°
B．540°
C．720°
D．630°
7．两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是
(
)
∠1与∠2
B．∠2与∠3
C．∠1与∠3
D．三个内角都相等
8.从一个边形中除去一个角后，其余个内角和是2580°，则原多边形的边数是（
）.
A.15
B.17
C.19
D.13
二、填空题
9.从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为 边形．
10.如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是
.
11．将一块正六边形硬纸片(如图(1))，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，如图(2))，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图(1)中的四边形，那么的度数是________．
12．将一个宽度相等且足够长的纸条打一个结，如图(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝________．
13.
用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各板完全吻合，如果其中两块木板的边数都是5，则第三块木板的边数是________．
14.小勇制造了一个简单的机器人，小勇遥控它每前行1m就向左转30°，再向前行1m又向左转30°，问它需要走
m才能走回原地.
三、解答题
15.
在△ABC中，如果∠A、∠B、∠C的外角的度数之比是4：3：2，求∠A的度数．
