数列的概念专项训练A
一．选择题（共8小题）
1．数列2，，6，，的通项公式可能是
A．
B．
C．
D．
2．数列中，若，则
A．
B．
C．
D．8
3．已知数列的一个通项公式为，则是该数列的
A．第5项
B．第6项
C．第7项
D．不是数列中的任何一项
4．若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是
A．第43项
B．第44项
C．第45项
D．第46项
5．已知数列，则该数列中最小项的序号是
A．3
B．4
C．5
D．6
6．设数列的前项和为，且，若，则的值为
A．
B．
C．
D．
7．若数列满足，则称为“型数列”，则下列数列不可能是“型数列”的是
A．，0，1，0，，0，1，
B．1，2，1，3，5，2，3，
C．0，0，0，0，0，0，0，
D．2，1，，0，1，2，1，
8．若数列的通项公式为，则满足的最小的的值为
A．1009
B．1010
C．1011
D．1012
二．多选题（共4小题）
9．满足下列条件的数列是递增数列的为
A．
B．
C．
D．
10．已知数列的通项公式为，，，下列仍是数列中的项的是
A．
B．
C．
D．
11．已知数列0，2，0，2，0，2，，则前六项适合的通项公式为
A．
B．
C．
D．
12．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是
A．
B．为的最小值
C．
D．
三．填空题（共4小题）
13．数列的通项公式为，则它的第5项 ．
14．已知数列：，，为递减数列，则的范围为 ．
15．数列的前项和满足：，，则数列的通项公式 ．
16．数列的前项和为，且，成立，则的最小值为 ．
四．解答题（共4小题）
17．已知数列的通项公式为．
（1）求这个数列的第10项；
（2）在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
18．已知数列的通项公式为．
（1）求．
（2）判断是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由．
（3）求证：．
19．已知无穷数列7，4，3，，，．
（1）求这个数列的第10项；
（2）是这个数列的第几项？
（3）这个数列有多少个整数项？
（4）是否有等于序号的的项？如果有，求出这些项；如果没有，试说明理由．
20．已知两个数列的前5项如下：
，37，49，61，73，
，4，9，16，25，
（1）根据前5项的特征，分别求出它们的一个通项公式；
（2）根据第（1）题的两个通项公式，判断这两个数列是否有序号与项都相同的项．如果没有，请说明理由；如果有，指明它们是第几项．
数列的概念专项训练A
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：根据题意，数列2，，6，，，
其中，，，，
其通项公式可以为，
故选：．
2．【解答】解：因为数列中，，
所以，
故选：．
3．【解答】解：设是第项，因为数列的一个通项公式为，
所以，解得或（舍去），
所以，是该数列的第7项．
故选：．
4．【解答】解：根据题意，设，，
则，又由，当且仅当时，等号成立，
则当时，取得最小值，此时取得最大值，
对于数列，其通项公式为，
而，则有，
则数列中最大项是第45项，
故选：．
5．【解答】解：，
由二次函数的单调性可得：时，取得最小值．
则该数列中最小项的序号是3．
故选：．
6．【解答】解：，，
，
解得，
故选：．
7．【解答】解：数列满足，称为“型数列”，
即数列的每个偶数项都等于其相邻两项的和，
故不符合条件的只有，
故选：．
8．【解答】解：，
；
又因为为正整数；
故满足的最小的的值为1011；
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，，，不是递增数列，不符合题意，
对于，，，是递增数列，符合题意，
对于，，，不是递增数列，不符合题意，
对于，，函数为递增函数，则是递增数列，符合题意，
故选：．
10．【解答】解：，，，
，，
，
，
故选：．
11．【解答】解：对于选项，取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件；
对于选项，取前六项得0，，0，2，0，，不满足条件；
对于选项，取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件；
对于选项，取前六项得0，2，2，8，12，22，不满足条件；
故选：．
12．【解答】解：数列的前项和为，
当时，，
当时，，
当时也成立，
，故正确；
由于，当或17时，取得最小值，故正确；
由于，解得，
，故正确；
，故错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：数列的通项公式为，则它的第5项，
故答案为：0．
14．【解答】解：数列：，，为递减数列，
，解得，
故答案为：．
15．【解答】解：因为数列的前项和满足：，，
当时，，
当时，不适合上式；
故数列的通项公式．
故答案为：．
16．【解答】解：依题意：，
当时，，
当时，，
令得即，
则的最小值为2020．
四．解答题（共4小题）
17．【解答】解：（1）根据题意，数列的通项公式为，
则；
（2）根据题意，，解可得：，
又由为正整数，则，
则在区间内只存在数列的一项．
18．【解答】（1）解：根据题意可得．
（2）解：令，即，解得，
为数列中的项，为第3项．
（3）证明：由题知，
，，，，即．
19．【解答】解：设数列7，4，3，，为，
（1），
（2）令，解得，
所以是这个数列的第100项．
（3）因为，
所以只有当，2，3，6时，为整数，因此这个数列有4个整数项．
（4）假设，解得，
因此有等于序号的的项目，是第6项．
20．【解答】解：（1）；．
（2）令，得，可解得或（舍．
所以这两个数列是否有序号与项都相同的项．它们是第13项．数列的概念专业训练B
一．选择题（共8小题）
1．数列1，，，，的一个通项公式是
A．
B．
C．
D．
2．数列的通项公式，若该数列的第项满足，则的值为
A．3
B．4
C．5
D．6
3．数列2，3，4，5，的一个通项公式为
A．
B．
C．
D．
4．数列，，则是这个数列的第
A．8项
B．7项
C．6项
D．5项
5．已知数列的通项为，对任意，都有，则正数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．下列数列是递减数列的是
A．
B．
C．
D．
7．数列1，，5，，9，的一个通项公式为
A．
B．
C．
D．
8．若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“积列”．若各项均为正数的等比数列是一个“2020积数列”，且，则当其前项的乘积取最大值时，的最大值为
A．1009
B．1010
C．1011
D．2020
二．多选题（共4小题）
9．对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”．下列叙述正确的有
A．若数列单调递增，则数列单调递增
B．若数列是常数列，数列不是常数列，则数列是周期数列
C．若，则数列没有最小值
D．若，则数列有最大值
10．下列选项中能满足数列1，0，1，0，1，0，的通项公式的有
A．
B．
C．
D．
11．下面结论正确的是
A．一个数列的前三项是1，2，3，那么这个数列的通项公式是
B．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理
C．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适
D．“所有3的倍数都是9的倍数，某数是3的倍数，则一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的
12．某地2020年12月20日至2021年1月23的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如图所示．
若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列，的前项和为，则下列说法正确的是
A．数列是递增数列
B．数列不是递增数列
C．数列的最大项为
D．数列的最大项为
三．填空题（共4小题）
13．在数列1，，，，，，中，是它的第 项．
14．一个等差数列共项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则第项为 ．
15．设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ．
16．若数列的前4项分别是，，，，则数列的一个通项公式为
．
四．解答题（共4小题）
17．已知数列的前项和为，试写出的前3项，并求的通项公式．
18．写出下列各数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（1）4，，2，，，；
（2），，，，，；
（3）5，55，555，5555，；
（4）2，0，2，0，2，0，．
19．已知数列中，，，通项是项数的一次函数，
（1）求的通项公式，并求；
（2）若是由，，，，，组成，试归纳的一个通项公式．
20．写出下面各数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）7，14，21，28；
（2），，，；
（3），，，；
（4），，，；
（5）34，334，3334，33334；
（6）1，3，1，3．
数列的概念专业训练B
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：根据题意，数列1，，，，
其，
，
，
，
则该数列的一个通项公式可以为，
故选：．
2．【解答】解：根据题意，的通项公式，
若该数列的第项满足，则有，
又由且，则，
故选：．
3．【解答】解：数列2，3，4，5，的一个通项公式为．
故选：．
4．【解答】解：根据题意，数列，，其一个通项公式可以为，
若，解可得，
即是这个数列的第6项，
故选：．
5．【解答】解：，，．
对任意，都有，
时，取得最小值，
由是正数以及反比例函数的单调性可知且，
正数的取值范围是．
故选：．
6．【解答】解：对于为递增数列，
对于为递减数列，
对于，先增后减数列，
对于，先减后增数列，
故选：．
7．【解答】解：由数列中
1，，5，，9，可以看出：符号正负相间，通项的绝对值为1，3，5，7，为等差数列，其通项公式．
数列1，，5，，9，的一个通项公式为．
故选：．
8．【解答】解：由题意可得：，，．
又，
，
，，，
当其前项的乘积取最大值时，的最大值为1010．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：对于：函数在和上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，
可知数列数列单调递增，则数列不是单调递增，例如：，则，，故错误；
对于：数列是常数列，可设，则，
，
数列不是常数列，
，
，
整理可得，
，
数列是以2为周期的周期数列，故正确；
对于，若，则，
①当为偶数时，且单调递增，
，
，且数列单调递增，此时，
①当为奇数时，且单调递减，
，
，且数列单调递减，此时，
综上所述列既有最大值，也有最小值，故错误，正确．
故选：．
10．【解答】解：可以验证，当为奇数时，对应的项均为1，
当为偶数时，对应的项均为0，
故选：．
11．【解答】解：一个数列的前三项是1，2，3，那么这个数列的通项公式是错误，如数列1，2，3，5．
由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理，且是类比推理，正确．
在类比时，平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，故错误．
“所有3的倍数都是9的倍数，某数是3的倍数，则一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的，原因是大前提“所有3的倍数都是9的倍数”错误，故正确．
故选：．
12．【解答】解：因为12月27日新增确诊人数小于12月26日新增确证人数，即，所以不是递增数列，所以错误；
因为1月22日新增确诊病例为0，即，所以不是递增数列，所以错误；
因为12月31日新增确诊病例最多，从12月20日算起，12月31日是第11天，所以数列的最大项是，所以选项正确，
数列的最大项是最后一项，所以选项错误，
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：根据题意，数列1，，，，，，中，其通项公式，
若，解可得，即是它的第6项；
故答案为：6
14．【解答】解：奇数项和，
数列前项和，
，
，
故答案为：．
15．【解答】解：，
若递增，则，
即，
则，
，
，
则，
故答案为：．
16．【解答】解：数列的前4项分别是，，，，则数列的一个通项公式为．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
17．【解答】解：根据题意，数列的前项和为，
则，
，
，
则，
又由，则．
18．【解答】解：（1）由题意得，第2项与第4项的分母恰好是所在项的序号，
所以这个数列的前5项可以改写成，，，，，
这5项的分母都与项的序号相同，分子都恰好是序号加3，且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为，．
（2）考虑分子2，4，6，8，10恰好是序号的2倍，
分母，，，，
都为分子的平方减去1，
所以它的一个通项公式为：，．
（3）由题意，这个数列的前4项可以改写成，
，，，，
其中9，99，999，9999，又可表示成：
，，，，
这里的10的正整数次幂恰好与数列中的项的序号对应，
所以它的一个通项公式为，．
（4）由题意，，，
考虑到其每一项与序号的关系，将前6项分别写成：，
，，，，，
所以它的一个通项公式为，．
19．【解答】解：①由题意可设
，，
，解得、，
，，
②由题意可得，，，，，
即中的第项即为中的第项，
所以．
20．【解答】解：（1）数列7，，，，
所以通项公式为．
（2）数列，，，，
所以数列通项公式为．
（3）数列，，，，
所以数列通项公式．
（4）数列，，，，
所以数列通项公式．
（5）数列，，，．
所以数列通项公式为．
（6）数列，，，，
所以数列通项公式为．
