等差数列综合专项训练B
一．选择题（共8小题）
1．在等差数列中，，，若，则
A．6
B．7
C．8
D．9
2．已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，若，则
A．
B．
C．
D．
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意为：有一个人走252里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地，则此人后四天走的路程为
A．198里
B．192里
C．60里
D．90里
4．已知等差数列的前项和为，且，，则的最大值为
A．225
B．223
C．221
D．219
5．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为
A．63
B．64
C．65
D．66
6．已知等差数列，公差，为其前项和，，则
A．
B．
C．
D．
7．已知等差数列的前项和为，，，则的值为
A．5
B．8
C．12
D．14
8．设是等差数列的前项和，若为大于1的正整数，且，，则
A．1000
B．1010
C．1020
D．1030
二．多选题（共4小题）
9．设数列是等差数列，是其前项和，且，则
A．
B．
C．或为的最大值
D．
10．等差数列的前项和记为，若，，则
A．
B．
C．
D．当且仅当时，
11．设是等差数列，为其前项和，且，，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．、均为的最大值
12．已知数列的前项和为，前项积为，且，则
A．当数列为等差数列时，
B．当数列为等差数列时，
C．当数列为等比数列时，
D．当数列为等比数列时，
三．填空题（共4小题）
13．设数列的前项和为，写出一个同时满足条件①②的等差数列的通项公式 ．
①存在最小值且最小值不等于；
②不存在正整数，使得且．
14．已知等差数列的前项和为，且，，则 ．
15．等差数列中，，则的值为 ．
16．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而上各节的容积成等差数列，上面4节的容积共，下面3节的容积共，则公差为 ；第5节的容积为 ．
四．解答题（共4小题）
17．已知等差数列满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，，求数列的通项公式．
18．已知等差数列中，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）当取何值时，数列的前项和取得最值，并求出最值．
19．在等差数列中，，，求．
20．已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，若是等差数列，
（1）求及；
（2）令，若对一切，都有，求的取值范围．
等差数列综合专项训练B
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：由题意，可得，故．
公差，
，
，
解得．
故选：．
2．【解答】解：等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，，
，
故选：．
3．【解答】解：由题设可知：此人每天走的路程构成公比为的等比数列，不妨设为，其前项和为，且，
又，解得：，
，
即此人后四天走的路程为60里，
故选：．
4．【解答】解：法一：设等差数列的公差，
，，
，，
解得，，，
，
当时，取得最大值225．
法二：设等差数列的公差，
，，
，，
解得，，，
，
时，，
当时，取得最大值且．
故选：．
5．【解答】解：，，成等差数列，
①，
由①可得：，
，，
又②，
由②①可得：，
数列是公差为2的等差数列，
，，，
，
，
当时，，
的最大值为63．
故选：．
6．【解答】解：等差数列，公差，，
，
解得，
．
故选：．
7．【解答】解：，
，
即，
，
，
，
解得．
故选：．
8．【解答】解：是等差数列的前项和，若为大于1的正整数，
且，
则：
解得：，
，
当时，，此时解不合题意，
当时，，解得：
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：且，，化为：，可得，．
或为的最大值，．
故选：．
10．【解答】解：设等差数列的公差为，，，
，
化为：，
即，
，
，
，
当时，取得最大值，
，
若，则，解得，
综上可得：正确，不正确．
故选：．
11．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得等差数列单调递减，
且数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，
故、正确，选项也正确，
，
，
，
选项，，，故错误．
故选：．
12．【解答】解：由，可得，
令，
，，
是奇函数，且在上单调递减，所以，
所以当数列为等差数列时，；
当数列为等比数列时，且，，同号，所以，，均大于零，
故，
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：因为等差数列的前项和为，
其对应图像为开口向上的抛物线，对称轴为，
若存在最小值且最小值不等于，
则，且，
整理得，，
不存在正整数，使得且，且存在最小值且最小值不等于，
则连续两项取得最小值，令，，
即，
整理得，，
所以，
令，，
则有，
令，则为一个符合题意的通项公式．
故答案为：．
14．【解答】解：等差数列的前项和为，且，，
，
解得，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．【解答】解：因为为等差数列，
所以，
所以，
则．
故答案为：．
16．【解答】解：现有一根9节的竹子，自下而上各节的容积成等差数列，
上面4节的容积共，下面3节的容积共，
设下面第一节为，公差为，
则，
解得，，
公差为，
第5节的容积为．
故答案为：，．
四．解答题（共4小题）
17．【解答】解：（1）由题意得：，解得，．
．
（2），有，
累加整理，①
，②
②①得，满足上式，
故．
18．【解答】解：（Ⅰ），
公差，
（Ⅱ）
当或时，取最小值，最小值为．
19．【解答】解：因为等差数列中，，，
设等差数列的公差为，可得，
所以．
20．【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
，，，
是等差数列，
，
解得或（舍去），
，；
（2）由（1）可得，
，
，
，
解得．等差数列综合专项训练A
一．选择题（共8小题）
1．已知等差数列的公差为正数，，，为常数，则
A．
B．
C．
D．
2．等差数列的前项和为．已知，．记，2，，则数列的
A．最小项为
B．最大项为
C．最小项为
D．最大项为
3．《算法统宗》古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为
A．65
B．99
C．133
D．150
4．已知等差数列的前项和为，，则的值为
A．33
B．44
C．55
D．66
5．已知数列的前项和为，若，，，为等差数列，则
A．
B．
C．
D．
6．已知等差数列的前项和为，若，，，则
A．2
B．3
C．4
D．5
7．在等差数列中，，．记，2，，则数列
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
8．数列是等差数列，为其前项和，且，，，则使成立的最大正整数是
A．2020
B．2021
C．4040
D．4041
二．多选题（共4小题）
9．已知等差数列是递增数列，其前项和为，且满足，则下列结论正确的是
A．
B．
C．当时，最小
D．当时，的最小值为8
10．已知在数列中，，其前项和为，下列说法正确的是
A．若为等差数列，，则
B．若为等比数列，，则
C．若为等差数列，则
D．若为等比数列，则
11．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是
A．
B．与是的最大值
C．
D．
12．已知数列是首项为1，公差为的等差数列，则下列判断正确的是
A．
B．若，则
C．可能为6
D．，，可能成等差数列
三．填空题（共4小题）
13．等差数列和的前项和分别为与，若对一切自然数，都有，则等于 ．
14．设为等差数列的前项和，若，，且，则的值为 ．
15．在数列中，，，则数列中最大项的数值为 ．
16．已知数列，满足，，其中是等差数列，，则 ．
四．解答题（共4小题）
17．设数列是公差大于零的等差数列，已知，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求．
18．已知等差数列的前项的和记为，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求的最小值及其相应的值．
19．已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列的前项和为，且，，，求满足的的最大值．
20．已知数列是递增的等差数列，且，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求正整数，使得．
等差数列综合专项训练A
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：，，
令，则，
解得，
令，则，
即，
若，则，，与已知矛盾，
故解得，
等差数列，
则公差，
所以
故选：．
2．【解答】解：等差数列中，，，
所以，，，
则，
令，，
则，
故在，上单调递增，没有最大值，
因为，，，
结合数列的函数特性易得，当时，取得最小值．
故选：．
3．【解答】解：设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列，
由题设知：公差，
又，解得，
故，
故选：．
4．【解答】解由题意得，，
所以，
由等差数列的性质得，，
所以，
故选：．
5．【解答】解：由题意得，，
故，且，
故，
则，
，
则是首项为6，公比为的等比数列，
故，
则，
故选：．
6．【解答】解：，，，
，，
，
，，
解得，
故选：．
7．【解答】解：等差数列中，，，则，
，
当时，即，解得，
数列前6项为负数，从第7项开始为正数，且数列单调递增，
数列的前5项最小，无最大项，
故选：．
8．【解答】解：设数列的公差为，
则由，，，
可知，，所以，
数列为递增数列，，，
所以可知的最大值为4040．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：因为是递增数列，所以．
因为，所以，所以，
所以，故，正确；
又因为，所以，且为的最小值，故错误；
又，，故正确．
故选：．
10．【解答】解：在数列中，，其前项和为，
对于，为等差数列，，
则，解得，，
，故正确；
对于，为等比数列，，
则，解得．则，故错误；
对于，为等差数列，，，
故，均大于0或一正一负，
，一正一负时，成立，
当，均大于0时，则，当且仅当时取等号，故正确；
对于，为等比数列，，，
当，均大于0时，，当且仅当时取等号，
当，均小于0时，，当且仅当时取等号，故错误．
故选：．
11．【解答】解：设是等差数列，是其前项的和，且，，
则由得，即，
又，，
，故正确；
同理由，得，，故正确；
而选项，即，可得，由结论，，显然是错误的．
，，与均为的最大值，故正确；
故选：．
12．【解答】解：由已知可得数列的通项公式为，
当时，，解得，故正确；
若，则，所以，故错误；
若，则，，故正确；
若，，成等差数列，则，
即，解得，故，，可能成等差数列，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：因为等差数列和的前项和分别为与，且都有，
所以．
故答案为：．
14．【解答】解：为等差数列的前项和，，，且，
由等差数列的性质得：
，，是等差数列，
，，是等差数列，
，
，
，的值为30．
故答案为：30．
15．【解答】解：当时，，
所以数列中最大项的数值为17．
故答案是：17．
16．【解答】解：数列，满足，，其中是等差数列，
是等比数列，
，
．
故答案为：1010．
四．解答题（共4小题）
17．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则由题意有，解得或，
，，
．
（Ⅱ）当为奇数时，，
当为偶数时，，
故是以2为周期的周期数列，且，
．，
18．【解答】解：（Ⅰ）等差数列的前项的和记为，，．
由已知得：，解得：，
数列的通项公式为．
（Ⅱ）解法一：
，
当取最接近3.5的整数，即或4时，有最小值，
最小值为．
解法二：，为递增数列，
当时，，
当时，，
当时，，
或4时，有最小值，最小值为．
19．【解答】解：（1）数列为等差数列，首项为：，公差为，
因为，．
所以，解得：，
所以．
（2）设等比数列的公比为，
因为，，即，，解得，，或，
因为，所以，
所以，
因为，即，解得，
所以的最大值为10．
20．【解答】解：（Ⅰ）数列是递增的等差数列，且，，设公差为，则，
则，
即，
解得，（舍去），
；
（Ⅱ），
，
，
，
，
解得．
